所有极值原理中唯最大发生概率原理可以独立存在

美国归侨冯向军博士，2017年7月28日写于美丽家乡

有诗为证：

有禅有净土犹如戴角虎

无禅有净土万修万人去

有禅无净土十人九蹉路

 科学往往只是精准再发现，其大道理早已存在于天地宇宙间。假如把“禅”比作各种广义熵原理，那么“净土”就是以果为因(“以果地觉为因地心”）的最大发生概率原理。于是上面的诗歌可以理解为：

发生概率和广义熵同时最大原理一级棒

独立的最大发生概率原理也完美无缺

独立的最大广义熵原理则十之有九问题大^*

^*注：这里十之有九问题大是指除了对均匀分布外，这些广义熵极值原理都有

不自洽（不相容）所导出的分布都不具备最大发生概率等根本性大问题。

 由于除了最大发生概率原理以外所有极值原理一般而言都不自洽（不相容）所导出的分布一般而言都不具备最大发生概率，因此我提出了发生概率广义熵同时最大原理来挽救所有这些在历史上作出过重要贡献的极值原理。但是从理论上来讲，只要你告诉我符合实际的分布和非自然约束条件是什么，我就都可以唯独通过最大发生概率原理和自洽约束条件外加自然约束条件把这个分布推导出来而完全不再需要任何其他的极值原理。非但如此而且最大发生概率原理的自洽性自然得到保证并且所导出的分布自然具备自洽约束条件下的最大发生概率。我然后可以借助非自然约束条件定出待定常数。这也就是说：在最大发生概率原理中，决定自洽且具备最大发生概率分布的约束条件是自洽约束条件而不是其他别的什么非自然约束条件，而其他非自然约束条件却可以帮助最大发生概率原理确定待定常数。

【举例：用最大发生概率原理推导负指数分布并确定待定常数】  

假设符合实际的概率分布pi=f(xi)是负指数分布，就有：

pi = aexp(-bxi)，i=1，2，...,n。    (1-1)

这其中，xi是概率pi所对应的变量。

于是自然而然有自洽约束条件：

p1/(aexp(-bx1)) + p2/(aexp(-bx2)) + ...+ pn/(aexp(-bxn)) = 常量 = n

或

p1/aexp(+bx1) + p2/aexp(+bx2) +...+pn/aexp(+bxn) = n    (1-2)

以及

pi/aexp(+bxi) = 1，i = 1，2，...n。    （1-3）

又假设非自然约束条件是变量的统计平均值为常量C，就有：

p1x1 + p2x2 +...+pnxn = 常量C    (1-4)

我们还有自然约束条件：

p1 + p2 +...+ pn = 1    (1-5)

以目标函数发生概率P的对数log(P)以及上述自然约束条件，非自然约束条件和自洽约束条件可构造拉格朗日算子

L = log(p1) + log(p2) +...+ log(pn)

+ C1(p1 + p2 +...+ pn - 1)

+  C2(（p1/aexp(+bx1) + p2/aexp(+bx2) +...+ pn/aexp(+bxn) - n)

+ C3(p1x1 + p2x2 + pnxn - C)

对于拉格朗日算子L求一阶偏导数dL/dpi(i=1，2，...,n)并令之为零。有：

dL/dpi =  1 /pi + C1 + C2/aexp(+bxi) + C3xi= 0，

i = 1，2，...，n。

命：C1 = 0, C2 = -1，C3 = 0，就有：

pi = f(xi) = aexp(-bxi)，i = 1，2，...，n。        

但是拉格朗日算子L的二阶偏导数矩阵为一主对角线上元素恒负而其余元素全为零的负定对称矩阵，因此令拉格朗日算子L一阶偏导数为零的上述负指数分布pi = aexp(-bxi)也必定是令拉格朗日算子L或约束条件下的目标函数发生概率的对数取得最大值或极大值的概率分布。这种负指数分布pi = aexp(-bxi)符合最大发生概率原理。

 于是无须任何其他的广义熵极值原理，唯独只靠最大发生概率原理我们也推导出了既满足自洽约束条件又满足非自然约束条件和自然约束条件并且具备最大发生概率的负指数分布 pi = f(xi) = aexp(-bxi)，i = 1，2，...，n。  

 至于用非自然约束条件来确定待定常数a和b的方法，则请参考看下面所附的博文。

小技巧：如何用免费的WPS表格确定负指数分布的待定常数？

美国归侨冯向军博士，2017年7月28日写于美丽家乡

【摘要】当变量的统计平均值为常量，一种可能的分布是负指数分布。但是，在具体确定负指数分布时，要想得到待定常数的解析解相当困难。那么如何得到待定常数呢？很容易！用免费的WPS表格分分钟搞定！

对于负指数分布，有：

pi = aexp(-bxi)，i = 1，2，...,n    (1-1)

p1x1 + p2x2 + ...+ pnxn = 常量C    (1-2)

p1 + p2 + ... + pn = 1        (1-3)

这其中pi为待确定的负指数分布而xi为pi所对应的变量值，i = 1，2，...,n。

在待定常数b和变量值给定的情况下，在待定常数a很好确定。

把式（1-1）代入式（1-2）就有：

a = C / (x1exp(-bx1) + x2exp(-bx2) +...+ xnexp(-bxn)) (1-4)

关键是要得到b的解析解相当困难。但是现在好了：人们有了人人都容易得到免费的WPS表格。

（一）我们先给出一个b的试验值。

（二）在WPS表格中用式（1-4）计算a的值。

（三）用式（1-1）计算概率分布pi。

（四）计算全部概率之和看看它满不满足式（1-3）。如果满足，试验值b就O.K.,就是所要求的值；如果不满足，就选一个估计能让式（1-3）更容易满足的b的试验值，然后回到（二）。

一般用不了试多久就可确定b和a以及概率分布。

【举例说明】

表一给定了三组4元负指数分布所对应的上述常量C和变量x1，x2，x3，x4。

表一： 三组4元负指数分布所对应的常量C和变量x1，x2，x3，x4。

表二即是按本文所示的方法所确定的常数a和b以及分布pi及其总和sum(p)，i = 1，2，3，4。

表二：按本文所示的方法所确定的常数a和b以及分布pi及其总和sum(p)，i = 1，2，3，4。