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解出了一道概率题

已有 1469 次阅读 2020-1-12 22:04 |个人分类:大众物理学|系统分类:科普集锦

 

 

任何习题都非常简单。任何一道题,只要出现在试卷上,就有一个巨大的提示:它一定可以在5分钟里解出来,如果你解不出来,那就是想错了。

 

星期四晚上,在地铁上看到C教授转过来的一道趣味概率题目:4只鸭子在一个大的圆形水池中,分别随机出现在圆里的任意一点。4只鸭子出现在同一个半圆里的几率是多少?

很容易猜出答案是1/2。因为1/4显然不对,而作为趣味题目来说,肯定应该是个简单解。

但是当时我认为它是一道证明题,这就需要用微积分的方法,而我现在已经不能口算微积分了。只能回到家里,用纸笔来算,当然也不难,需要大约五分钟。如下图所示,左边是计算,右边是解释。

 

这是个简单的微积分题目,但是能够算出来,还是让我自豪了3分钟。

 

后来我才想到,这道题有个简单的解释:

$n$只鸭子随机地位于弧度为$x$的扇形里的几率是$n (x/2\pi)^{n-1}$

随便选一个点,其他$n-1$个点位于它右手$x\le \pi$弧度内的几率是$ (x/2\pi)^{n-1}$,有$n$个这样的选择,所以,最终的几率就是$n (x/2\pi)^{n-1}$$x=\pi, n=4$带入,就是1/2

我当时认为它是一道证明题。要是上来就让猜答案的话,而且给的不是4个鸭子,而是n个鸭子,我想我也能猜到那个答案——用物理的方法。

 

这个结论可以用数学归纳法证明。如果,$P_n(x)=n (x/2\pi)^{n-1}=\int ^x _0 nx^{n-2}/(n-1)(2\pi)^{n-1} \mathrm {d}{\alpha}=\int ^x _0 Q(\alpha)\mathrm {d}{\alpha}$

则,$P_{n+1}(x)=\int ^x _0 Q(\alpha)\mathrm {d}{\alpha} \int ^x_{-(x-\alpha)} \mathrm {d}{\beta}$

$ =\int ^x _0 Q(\alpha) (2x-\alpha)/2\pi \mathrm {d}{\alpha} =(n+1) (x/2\pi)^n=P_{n+1}(x)$

 

这个结果可以推广到球面上(表达式不一样,因为圆锥球面的面积与圆锥角的大小不是简单的平方关系),证明也是数学归纳法。




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