任何习题都非常简单。任何一道题，只要出现在试卷上，就有一个巨大的提示：它一定可以在5分钟里解出来，如果你解不出来，那就是想错了。

星期四晚上，在地铁上看到C教授转过来的一道趣味概率题目：4只鸭子在一个大的圆形水池中，分别随机出现在圆里的任意一点。4只鸭子出现在同一个半圆里的几率是多少？

很容易猜出答案是1/2。因为1/4显然不对，而作为趣味题目来说，肯定应该是个简单解。

但是当时我认为它是一道证明题，这就需要用微积分的方法，而我现在已经不能口算微积分了。只能回到家里，用纸笔来算，当然也不难，需要大约五分钟。如下图所示，左边是计算，右边是解释。

这是个简单的微积分题目，但是能够算出来，还是让我自豪了3分钟。

后来我才想到，这道题有个简单的解释：

$n$只鸭子随机地位于弧度为$x$的扇形里的几率是$n (x/2\pi)^{n-1}$。

随便选一个点，其他$n-1$个点位于它右手$x\le \pi$弧度内的几率是$ (x/2\pi)^{n-1}$，有$n$个这样的选择，所以，最终的几率就是$n (x/2\pi)^{n-1}$。把$x=\pi, n=4$带入，就是1/2。

我当时认为它是一道证明题。要是上来就让猜答案的话，而且给的不是4个鸭子，而是n个鸭子，我想我也能猜到那个答案——用物理的方法。

这个结论可以用数学归纳法证明。如果，$P_n(x)=n (x/2\pi)^{n-1}=\int ^x _0 nx^{n-2}/(n-1)(2\pi)^{n-1} \mathrm {d}{\alpha}=\int ^x _0 Q(\alpha)\mathrm {d}{\alpha}$

则，$P_{n+1}(x)=\int ^x _0 Q(\alpha)\mathrm {d}{\alpha} \int ^x_{-(x-\alpha)} \mathrm {d}{\beta}$

$ =\int ^x _0 Q(\alpha) (2x-\alpha)/2\pi \mathrm {d}{\alpha} =(n+1) (x/2\pi)^n=P_{n+1}(x)$

这个结果可以推广到球面上（表达式不一样，因为圆锥球面的面积与圆锥角的大小不是简单的平方关系），证明也是数学归纳法。