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光学教学笔记之空留明月辉 精选

已有 5569 次阅读 2019-8-31 10:13 |个人分类:大众物理学|系统分类:科普集锦

 

镜与人俱去,镜归人不归。

无复嫦娥影,空留明月辉。

 

在我看来,最重要的四个光学实验分别是:反射和折射(几何光学),双缝干涉(波动性),光电效应(粒子性),氢原子光谱(光源)。而激光只是工具,全息不过应用。

折射定律似乎是光学研究的第一个定量结论。光的直线传播和光的反射定律(入射角等于反射角),都是很容易就可以观察到的结果。入射角和折射角的关系,并不是显而易见的,以前曾经认为这两者成正比,后来才认识到,是二者的正弦成正比。当然这也不是特别奇怪:衡量一个角的大小,可以用它对应的弧长,但也可以考虑用它对应的弦长。后者就得到了折射定律,$n_1 \sin i_1= n_2 \sin i_2$。

神奇的是,根据这么一个简单的公式,费马居然能够提出最短时间原则(或者光程最短),而牛顿和惠更斯竟然能够提出微粒说和波动说来解释光的性质。科学巨人们总是能从简单的表象下看到深刻的内涵,而我们普通人只能满足于做做事后诸葛亮。

利用费马原理,很容易理解光的折射和反射现象,以及很大部分的几何光学。我们先从折射和反射定律开始。A点发射的光在两个透明介质的分界面处发生反射和折射,到达B点和C点。光的行程为什么是经过O点而不是X点呢?费马原理说,因为AOBAOC的光程最短。

可以用几何方法来证明(反射情况很简单,折射情况有些难),也可以用标准的微分法来证明(随便找本书都有的,也都很直接),我们这里稍微变个形式,只用到直角三角形的简单性质。

 

     

 

如果两个直角边的长度相差很大,$x\ll 1$,斜边的长度就是$\sqrt{1+x^2}\approx 1+x^2/2\approx 1$。另外,直角边的长度等于其对角的正弦值乘以斜边的长度。

假设OX的长度$x$很小,AOAX的长度差就是$\sim x\sin i' _1$。所以,AOB和AXB的长度差是$\sim x(\sin i_1 - \sin i'_1)$。为了让AOB的长度达到最小值,也就是这个长度差达到最小值,必须有$\sin i_1 - \sin i'_1=0$,这就是反射定律。如果等式不成立,只需$x$选择适当的符号,就可以让X位置比O更有利。

再看折射定律。OBXB的长度差是$\sim x\sin i_2$。所以,AOCAXC的光程差是$\sim n_1 x\sin i_1 - n_2 x\sin i_2$。同样可以得到最佳位置必须满足的条件是$n_1 \sin i_1 - n_2 \sin i_2 =0$,而这正是折射定律。

 

 

这个太简单了。下面考虑两种介质的分界面不是平面的情况。最简单的情况是旋转对称面,具有一个对称轴(光轴),而光源就位于这个光轴上(如上图所示)。在离这个轴足够近的地方(傍轴近似),分界面总是可以用球面来近似的,不管它是抛物面、双曲面还是椭球面。

先考虑折射,不是因为它简单,而是因为光学课本上都是这么考虑的。

从$Q$点(所在介质的折射率为$n$)出发的光线,经过半径为$r$的球面分界面,汇聚在$Q'$(所在介质的折射率为$n'$),这就是“成像”。我们来推导一下“成像公式”。

入射角$i=u+\phi$,折射角$r=\phi - u'$,根据折射定律,可以得到$n \sin(u + \phi) = n' \sin (\phi- u')$。在$\phi$很小的情况下,$\sin u \sim \tan u \sim h/s$$\sin u' \sim \tan u' \sim h/s'$$\sin \phi =h/r$。所以,$n (h/s+h/r)=n' (h/r - h/s')$,即$\frac{n}{s}+\frac{n'}{s'}=\frac{n'-n}{r}$。这就是标准教科书里得到的物距和像距的关系。

你也许觉得这里采用的近似太多了。我们换种方法,证明QAQ'的光程等于QMQ'的光程,而且不依赖于$d$$h$。因为$h^2=r^2-(r-d)^2=2rd+d^2\approx 2rd$,所以QMQA的长度差就是,$d+h^2/2(s+d)\approx d(1+r/s)$。同样的,MQ'AQ'的长度差是$h^2/2(s'+d) -d\approx d(r/s' -1)$。为了让QAQ'的光程等于QMQ',必须满足$nd(1+r/s)=n'd(r/s' -1)$,即$n(1+r/s)=n'(r/s' -1)$,我们又得到了$\frac{n}{s}+\frac{n'}{s'}=\frac{n'-n}{r}$

把Q点拉到左边的无穷远位置,入射光就是平行光,此时的像距称为像方焦距$f'$。如果把Q'拉到右边的无穷远位置,出射光就是平行光,此时的物距成为物方焦距$f$。这样就可以得到一个更简单的成像公式

$\frac{f}{s}+\frac{f'}{s'}=1$

我们平常用的透镜至少有两个分界面,所谓的“薄透镜近似”就是忽略这两个界面之间的距离,再加上傍轴近似,就可以得到常见的透镜成像公式了

$\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}$

这个公式,我在高中时就学过,可是现在的中学课本里都不提它了。


 

位于光轴上的点,可以通过透镜公式得到它的成像点。不在光轴上的点呢?很简单,选择两条适当的光线,就可以确定其像点:一条光线平行于光轴,它被透镜折射后就会经过像方焦点;另一条光线经过物方焦点,它被透镜折射后就会平行于光轴。折射后两条光线的交点就是像点了。用这个方法,不仅可以计算像距,还可以得到像的放大率,当然,必须满足傍轴近似和薄透镜的条件。

 

对于望远镜来说,物体离镜头很远,傍轴近似条件很容易满足。然而,对于显微镜来说,因为物体离镜头很近,通常不满足傍轴近似条件,就不能够成清晰的像。对于单球面折射,有一个特殊的位置,能够让该处发出的所有光线都成像于一个点上。显微镜就要利用这对特殊的位置。

这两个点到球心的距离分别是$s_0=\frac{n'}{n}r$和$s'_0=\frac{n}{n'}r$。显然,$s_0\cdot s'_0=r^2$,正好满足共轭条件:这两个点其实就是球的一对特殊的共轭点。因为要讨论所有方向的光线,前面的近似方法就不适用了。但是几何证明也不难,只要注意到三角形CQM相似于CMQ',就可以了。与显微镜成像有关的还有一个著名的阿贝正弦定理,也需要用几何方法证明,这里就不讨论了。



 

刚才讨论的是球形分界面的折射情况。反射其实更简单,因为入射角等于反射角,而且入射光线和反射光线位于同一种介质里。可以得到,球面反射镜在傍轴近似下的焦点是$r/2$。对于凸面反射镜来说,平行入射的光就像是来自于镜面后的焦点处的点光源所发出的光;而对于凹面反射镜来说,焦点发出的光经镜面反射后就变成了平行光。手电筒和耳鼻喉镜都用的是这种原理,凸面镜也经常用在汽车或者街角上,用来扩大视野。

 

上面这些陈述利用了球面的特性,得到的结果并不都是严格成立的。还有几种特殊的情况也能够严格成立,都跟圆锥曲线有关,很容易用等光程的观点来理解。简单说一下。

圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线。把它们绕着对称轴旋转,就得到响应的椭球镜、抛物面镜和双曲面镜。

椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数,所以,如果在一个焦点上放置点光源,它的像就会成在椭圆的另一个焦点上。抛物线上的点到焦点的距离等于它到某个特定直线(准线)的距离,所有平行于光轴的光线,都汇聚在焦点上。双曲线上的点到两个焦点的距离差是常数,情况稍微复杂一点,需要画个图。

 

F1F2是两个焦点,MF1MF2的长度差$\bar{MF_1}-\bar{MF_2}$是常数,所以蓝色曲线是双曲线的一支,也是两种不同介质的分界线。蓝色直线经过F2垂直于光轴。如果$n_1\bar{MF_1}+n_2\bar{MB}$也是常数,所有平行于光轴的光线就会聚焦到F1。因为

$n_1\bar{MF_1}+n_2\bar{MB}=n_1\bar{MF_1}-n_1\bar{MF_2}+n_1\bar{MF_2}+n_2\bar{MB}$

这就要求$n_1\bar{MF_2}+n_2\bar{MB}$是常数。令角F1F2M$\theta$,则MF2的长度$ r \propto \frac{1}{1+e\cos \theta}$,而MB的长度$\propto r \cos \theta$。只要选择合适的偏心率$e$(依赖于两种介质的折射率),就可以消去变量$\theta$,使得它们的和为常数。

所以,只要选用合适的双曲透镜(一个面是平面,另一个面是旋转双曲面),就可以把平行光全部汇聚到焦点上。

 

好了,休息休息吧。这里用到的都是简单的中学数学知识,讲述的也是以前的中学物理内容。看起来像是新东西,其实只不过换个包装而已。世界上哪里有那么多新东西?大多是些旧道理而已。各位大二的同学们,现在会不会有些乐昌公主的感念:

今日何迁次,新官对旧官。

笑啼俱不敢,方验做人难。

 

 

 

[转载]破镜诗与饯别诗

http://blog.sciencenet.cn/blog-1319915-889134.html


折射定律的两种证明方法(详细)(费马原理证明 几何法证明)

http://www.doc88.com/p-975196703776.html




http://blog.sciencenet.cn/blog-1319915-1195967.html

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