镜与人俱去，镜归人不归。

无复嫦娥影，空留明月辉。

在我看来，最重要的四个光学实验分别是：反射和折射（几何光学），双缝干涉（波动性），光电效应（粒子性），氢原子光谱（光源）。而激光只是工具，全息不过应用。

折射定律似乎是光学研究的第一个定量结论。光的直线传播和光的反射定律（入射角等于反射角），都是很容易就可以观察到的结果。入射角和折射角的关系，并不是显而易见的，以前曾经认为这两者成正比，后来才认识到，是二者的正弦成正比。当然这也不是特别奇怪：衡量一个角的大小，可以用它对应的弧长，但也可以考虑用它对应的弦长。后者就得到了折射定律，$n_1 \sin i_1= n_2 \sin i_2$。

神奇的是，根据这么一个简单的公式，费马居然能够提出最短时间原则（或者光程最短），而牛顿和惠更斯竟然能够提出微粒说和波动说来解释光的性质。科学巨人们总是能从简单的表象下看到深刻的内涵，而我们普通人只能满足于做做事后诸葛亮。

利用费马原理，很容易理解光的折射和反射现象，以及很大部分的几何光学。我们先从折射和反射定律开始。A点发射的光在两个透明介质的分界面处发生反射和折射，到达B点和C点。光的行程为什么是经过O点而不是X点呢？费马原理说，因为AOB和AOC的光程最短。

可以用几何方法来证明（反射情况很简单，折射情况有些难），也可以用标准的微分法来证明（随便找本书都有的，也都很直接），我们这里稍微变个形式，只用到直角三角形的简单性质。

如果两个直角边的长度相差很大，$x\ll 1$，斜边的长度就是$\sqrt{1+x^2}\approx 1+x^2/2\approx 1$。另外，直角边的长度等于其对角的正弦值乘以斜边的长度。

假设OX的长度$x$很小，AO和AX的长度差就是$\sim x\sin i' _1$。所以，AOB和AXB的长度差是$\sim x(\sin i_1 - \sin i'_1)$。为了让AOB的长度达到最小值，也就是这个长度差达到最小值，必须有$\sin i_1 - \sin i'_1=0$，这就是反射定律。如果等式不成立，只需$x$选择适当的符号，就可以让X位置比O更有利。

再看折射定律。OB和XB的长度差是$\sim x\sin i_2$。所以，AOC和AXC的光程差是$\sim n_1 x\sin i_1 - n_2 x\sin i_2$。同样可以得到最佳位置必须满足的条件是$n_1 \sin i_1 - n_2 \sin i_2 =0$，而这正是折射定律。

这个太简单了。下面考虑两种介质的分界面不是平面的情况。最简单的情况是旋转对称面，具有一个对称轴（光轴），而光源就位于这个光轴上（如上图所示）。在离这个轴足够近的地方（傍轴近似），分界面总是可以用球面来近似的，不管它是抛物面、双曲面还是椭球面。

先考虑折射，不是因为它简单，而是因为光学课本上都是这么考虑的。

从$Q$点（所在介质的折射率为$n$）出发的光线，经过半径为$r$的球面分界面，汇聚在$Q'$（所在介质的折射率为$n'$），这就是“成像”。我们来推导一下“成像公式”。

入射角$i=u+\phi$，折射角$r=\phi - u'$，根据折射定律，可以得到$n \sin(u + \phi) = n' \sin (\phi- u')$。在$\phi$很小的情况下，$\sin u \sim \tan u \sim h/s$，$\sin u' \sim \tan u' \sim h/s'$，$\sin \phi =h/r$。所以，$n (h/s+h/r)=n' (h/r - h/s')$，即$\frac{n}{s}+\frac{n'}{s'}=\frac{n'-n}{r}$。这就是标准教科书里得到的物距和像距的关系。

你也许觉得这里采用的近似太多了。我们换种方法，证明QAQ'的光程等于QMQ'的光程，而且不依赖于$d$和$h$。因为$h^2=r^2-(r-d)^2=2rd+d^2\approx 2rd$，所以QM和QA的长度差就是，$d+h^2/2(s+d)\approx d(1+r/s)$。同样的，MQ'和AQ'的长度差是$h^2/2(s'+d) -d\approx d(r/s' -1)$。为了让QAQ'的光程等于QMQ'，必须满足$nd(1+r/s)=n'd(r/s' -1)$，即$n(1+r/s)=n'(r/s' -1)$，我们又得到了$\frac{n}{s}+\frac{n'}{s'}=\frac{n'-n}{r}$。

把Q点拉到左边的无穷远位置，入射光就是平行光，此时的像距称为像方焦距$f'$。如果把Q'拉到右边的无穷远位置，出射光就是平行光，此时的物距成为物方焦距$f$。这样就可以得到一个更简单的成像公式

$\frac{f}{s}+\frac{f'}{s'}=1$

我们平常用的透镜至少有两个分界面，所谓的“薄透镜近似”就是忽略这两个界面之间的距离，再加上傍轴近似，就可以得到常见的透镜成像公式了

$\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}$

这个公式，我在高中时就学过，可是现在的中学课本里都不提它了。

位于光轴上的点，可以通过透镜公式得到它的成像点。不在光轴上的点呢？很简单，选择两条适当的光线，就可以确定其像点：一条光线平行于光轴，它被透镜折射后就会经过像方焦点；另一条光线经过物方焦点，它被透镜折射后就会平行于光轴。折射后两条光线的交点就是像点了。用这个方法，不仅可以计算像距，还可以得到像的放大率，当然，必须满足傍轴近似和薄透镜的条件。

对于望远镜来说，物体离镜头很远，傍轴近似条件很容易满足。然而，对于显微镜来说，因为物体离镜头很近，通常不满足傍轴近似条件，就不能够成清晰的像。对于单球面折射，有一个特殊的位置，能够让该处发出的所有光线都成像于一个点上。显微镜就要利用这对特殊的位置。

这两个点到球心的距离分别是$s_0=\frac{n'}{n}r$和$s'_0=\frac{n}{n'}r$。显然，$s_0\cdot s'_0=r^2$，正好满足共轭条件：这两个点其实就是球的一对特殊的共轭点。因为要讨论所有方向的光线，前面的近似方法就不适用了。但是几何证明也不难，只要注意到三角形CQM相似于CMQ'，就可以了。与显微镜成像有关的还有一个著名的阿贝正弦定理，也需要用几何方法证明，这里就不讨论了。

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刚才讨论的是球形分界面的折射情况。反射其实更简单，因为入射角等于反射角，而且入射光线和反射光线位于同一种介质里。可以得到，球面反射镜在傍轴近似下的焦点是$r/2$。对于凸面反射镜来说，平行入射的光就像是来自于镜面后的焦点处的点光源所发出的光；而对于凹面反射镜来说，焦点发出的光经镜面反射后就变成了平行光。手电筒和耳鼻喉镜都用的是这种原理，凸面镜也经常用在汽车或者街角上，用来扩大视野。

上面这些陈述利用了球面的特性，得到的结果并不都是严格成立的。还有几种特殊的情况也能够严格成立，都跟圆锥曲线有关，很容易用等光程的观点来理解。简单说一下。

圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线。把它们绕着对称轴旋转，就得到响应的椭球镜、抛物面镜和双曲面镜。

椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数，所以，如果在一个焦点上放置点光源，它的像就会成在椭圆的另一个焦点上。抛物线上的点到焦点的距离等于它到某个特定直线（准线）的距离，所有平行于光轴的光线，都汇聚在焦点上。双曲线上的点到两个焦点的距离差是常数，情况稍微复杂一点，需要画个图。

F₁和F₂是两个焦点，MF₁和MF₂的长度差$\bar{MF_1}-\bar{MF_2}$是常数，所以蓝色曲线是双曲线的一支，也是两种不同介质的分界线。蓝色直线经过F₂垂直于光轴。如果$n_1\bar{MF_1}+n_2\bar{MB}$也是常数，所有平行于光轴的光线就会聚焦到F₁。因为

$n_1\bar{MF_1}+n_2\bar{MB}=n_1\bar{MF_1}-n_1\bar{MF_2}+n_1\bar{MF_2}+n_2\bar{MB}$

这就要求$n_1\bar{MF_2}+n_2\bar{MB}$是常数。令角F₁F₂M为$\theta$，则MF₂的长度$ r \propto \frac{1}{1+e\cos \theta}$，而MB的长度$\propto r \cos \theta$。只要选择合适的偏心率$e$（依赖于两种介质的折射率），就可以消去变量$\theta$，使得它们的和为常数。

所以，只要选用合适的双曲透镜（一个面是平面，另一个面是旋转双曲面），就可以把平行光全部汇聚到焦点上。

好了，休息休息吧。这里用到的都是简单的中学数学知识，讲述的也是以前的中学物理内容。看起来像是新东西，其实只不过换个包装而已。世界上哪里有那么多新东西？大多是些旧道理而已。各位大二的同学们，现在会不会有些乐昌公主的感念：

今日何迁次，新官对旧官。

笑啼俱不敢，方验做人难。

[转载]破镜诗与饯别诗

http://blog.sciencenet.cn/blog-1319915-889134.html

折射定律的两种证明方法（详细）（费马原理证明 和 几何法证明）

http://www.doc88.com/p-975196703776.html