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计算方法之习题的效用 精选

已有 3048 次阅读 2018-10-13 22:42 |个人分类:大众物理学|系统分类:科普集锦

 


 

 

我已经发现了一个绝妙的证明,但是这里太窄了,我写不下了。

 

 

现在这个系列名为“计算方法”,但仍然是我讲《力学》课程的一些笔记。以前讲过的内容,不想再重复了,所以就想看看有没有什么新的东西。

课本里的习题和例题一样,都是为了让学生检查自己是否掌握了相应的概念和技巧(力学教学笔记之例题的效用)。不幸的是,现在几乎所有的习题都有详细的解答——我说的不仅仅是《力学》这门课,而是所有的课程。以前的传说是,杰克逊《电动力学》的习题没有解答,但是现在也有了。

本来,习题出现在课本上,就已经是巨大的提示了,比试题还要强烈的提示:考试半年才有一次,习题每周都有,肯定是刚刚讲过的内容嘛。有了解答,就很难控制自己不去看。多快好省,别人也不知道,何乐而不为呢?人啊,最容易欺骗的就是自己了。

可是,最难欺骗的也是自己。你最明白自己到底有没有搞清楚了。作业、考试也还罢了,总是能过关的,老师、同学也没有那么大的兴趣监督你。但是,将来总要有一天,你会碰到必须自己解决的问题。

 

没必要这么严肃的,还是讲几个故事吧。

首先,“这道题可解”是个巨大的提示,有时候甚至可以创造奇迹。“线性规划之父”丹齐格刚读博士的时候,有一次上课迟到了,看到黑板上写着两道题,他就赶快抄下来。回去以后,他觉得这两个题目好难啊,但还是吭哧吭哧做完了、交上去了,结果他的老师说,这是两个统计学上未解决的难题!丹齐格把它们当作习题做,还做出来了!

反面的例子也有。我们知道,数学课本里最常见的话就是“易知”和“同理可证”,比这些还要简单的就是,“我们把这个问题当作一个练习题留给读者”。有位教授就被学生给问住了,某道习题怎么也证不出来。他回去到处找书找答案,结果发现这道题出现在他写的书里,该习题后面还给了提示——“显然”。

很久很久以前,有些写书的人是故意让人看不大懂的,这样才能显得自己水平高,比如说,笛卡尔,比如说,著名的牛顿,据说他的《原理》故意采用几何方法,就是为了不让笨蛋们看懂!可是牛顿太牛了,估计在他看来,我们大家都是笨蛋,所以没有几个人能看懂。

真写书的人都不打算让人看懂,那些随便在书上写评语的就更别说了。费马大定理就是这样一个悲剧。只是因为费马的信用好,他以前说的东西很快就被别人验证了,所以才一直有人琢磨他这个费马大定理,否则的话,谁爱搭理他呀。

后来的数学家们表现得就很好了,是就是,不是就不是。定理就是定理,猜想就是猜想,比如说,哥德巴赫猜想、雅克比猜想、庞加莱猜想、黎曼猜想,等等。黎曼的信用特别高,他说证出来了,就是证出来了,他证不出来的,就说这是个猜想——甚至连很多重要的辅助定理都没有发表,要靠后人检查他的演草纸才发现。

佩雷尔曼也是个很好的例子。他从小就搞数学竞赛,总是要做到尽善尽美,从来不搞“假证明”,更是看不起别人做“假证明”(玛莎·葛森,《完美的证明》,北京理工大学出版社,2012年)。有一天,他说自己证明了庞加莱猜想,然后把文章挂到arXiv上,再通知几位同行,就算结束了。其他人又花了很长时间,才彻底搞明白他的证明。当然,他的证明是正确的。

为什么要说这些呢?因为有很多发表出来的科学文章其实是错的,只不过大多数文章都不重要,错了也没人关心。但是,这种错误有时候会非常可怕的。张益唐就吃过大亏。对了,就是那个证明了“孪生素数定理”的张益唐(严格地说,这个定理还没有得到完全的证明,但是张益唐的工作是个巨大的成就)。在读博士的时候,张益唐就干出了一件大事,他证明了雅克比猜想!这是个轰动性的结果,很多人都关心。结果发现,他的证明依赖于他的导师莫宗坚以前证明的一个定理,而那个定理发现是错误的——以前没有什么人关心这个定理,可是雅克比猜想太重要了,大家就返回头去检验,张的证明是不是没有漏洞,结果发现他依赖的这个定理有错误。张益唐在博士毕业后潦倒了几十年,跟这件事有很大的关系。幸亏他最后解决了“孪生素数猜想”,证明的文章写得完全没有漏洞,才能够自豪地说,“庾信平生最萧瑟,暮年诗赋动江关”。

张是先摔了跟头,然后才成功的。更多的人是不停的摔跟头,从来没有成功过。当然也有人先成功,再摔跟头,这样的例子也很多。比如说,数学家阿蒂亚做出过非常重要的工作,得过几乎所有重要的数学奖,最近宣布他证明了黎曼猜想,引起了世界范围的关注,甚至超出了数学界以外。但是,现在看来,情况很不乐观,除了他自己:“人们常说,‘数学家最好的工作都是在40岁之前做出来的’,我想告诉他们,他们都错了。我90岁了,还是能做点什么。”

 

做习题和做研究完全是两码事。你们很可能不会像丹齐格那么幸运,也不大可能像黎曼和佩雷尔曼那么严谨,但是,你们也同样不会碰到像张益唐和阿蒂亚那样的巨大风险。

所以,放松一下吧,别那么紧张!



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