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力学教学笔记之例题的效用 精选

已有 3852 次阅读 2016-11-24 20:22 |个人分类:个人看法|系统分类:教学心得


解题之法,父不能喻之于子,夫不能喻之于妻

我现在选用的力学教材是北京大学舒幼生老师编写的《力学(物理类)》。选用这本教材,主要是因为前几届基本上都用的是这本,而且邢老师也推荐,还把刘老师的授课ppt给我参考。另外我觉得,力学是相当成熟的学科,有很多优秀的教材,其实用哪本都差不多的——大学普通物理教学的困难不在于讲义,而在于很多初学者不适应大学的学习方式。他们也往往还没有区分哪些是物理(这是我们这门课的目的),哪些是数学(这是高等数学的任务),也没有认识到,科学的语言和日常语言有很大差异——在学习过程中,逐渐建立起自己的物理图像、思维习惯,其实比学习具体的课程内容重要得多。

《力学(物理类)》一个很大的优点是有很多的例题和习题。例题大约170道,习题大约380道,总计550道题,都有详细的解答,有助于学生理解和检验自己学习的内容和掌握的程度。但是,我觉得,如果使用不当的话,这个优点也许会有不利之处。我是这么想的,刚脱离高考指挥棒的学生也许还保留了刷题的习惯,也许还继续把书本吃透(其实可能是背下来)的学习方法,这样就有可能贪多嚼不烂,觉得每个题都可以看懂,甚至能背下来,但是并没有转化为自己的能力,最后落得个事倍功半的下场。特别是,大学一年级的新课程很多、很重,根本不可能给某一门特定功课很多的时间,而刷题是最容易让自己觉得充实的方法。

有什么解决的办法吗?其实我也没有,我只是个新老师。布置习题方面我是萧规曹随,完全遵循刘老师以前的选择;讲解例题方面,也只是自己随意挑选的几道。我希望并努力做的是,让学生理解书上说的这些科学化的话,其实跟我们的日常思维是一样的,他们在中学学到的知识也没有过时。我希望他们认识到,重要的是去做事情,而不是一上来就要把事情做得完美无缺。最关键的是,这些例题和习题都是用来让你理解物理的,而不是为了考核你们的。从实用的意义上来说,它们都是假问题,都可以找出正确答案的,只用几秒钟,花不了几分钱;只有你将来在工作中碰到的问题,没有现成答案的问题,需要你解决的问题,才是真问题,这也是你们学习的真正目标。


上面这些都是套话,谁来说也只能这么说的。稍微具体一点吧。我觉得有道题很好地反映了解决问题的途径:“刚性细杆横向分布力的内在矛盾”(讲义p170,题目及解答见本文附录的图一)。

先是从刚体旋转出发,用转动定理得到细杆的运动方程,这是单变量二次微分方程,需要初始角度和角速度即可确定其后的运动(这是个数学问题!)。然后分为把细杆分为两段,上半部分的质心运动已经知道(由前述运动方程得出),受的外力为该段的重力(已知)和分界处的横向力,根据质心运动方程就可以得到横向分布力了。

这都是标准的解题方法:建立模型、确定已知条件、求得结果。一般的题目到这里就完了,但是,这道题不是,他换了一种方法,继续分析前述结果的合理性,发现了一个矛盾。接下来他分析了矛盾产生的原因,在于细杆在倾斜过程中必然会发生扭曲,不可能完全用刚性模型描述。换句话说,细杆不仅存在横向分布力,还有径向的应变(和应力),而后者有可能使得足够长、足够中的细杆(比如说,烟囱)在倾倒的时候发生断裂。刘老师的ppt里还引用了一篇文章,更仔细地探讨了这个问题(比如说,杆子有一定的粗细)。

其实,中学物理知识对这个问题也能有所帮助。

比如说,我们先把杆子倾斜某个角度,然后施用化骨绵掌:杆子虽然还保持原来的形状,但是已经节节断裂,变成一长串没有相互作用的质点。接下来,这些质点就会因为重力而下降,而且下降速度和距离都是相同的。显然,相对于支点来说,远处的质点转动角度小、转动速度慢,近处的质点转动角度大、转动速度快,而刚性杆子的转动角度和速度是处处相同的。所以,如果不用化骨绵掌的话,杆子必然是略微向上弯,靠近根部的横向力也必然是向上,而靠近顶部的横向力则是向下。

再比如说,我们考虑一个质点放置在轻质刚性细杆(长度为$l$,无质量)的顶部,那么,利用中学物理知识,我们也可以得到它倾倒时的运动方程。可以发现,两者的运动方程是非常相似的,仅仅相差一个常数系数,而且,当$l=2L/3$的时候($L$为前面所说的均匀刚性细杆的长度),两者的运动方程完全相同。如果我们用了化骨绵掌,那么距离根部为2/3长度处的质点,其运动方式与之前完全相同。也就是说,运动方程完全正确地描述了根部($l=0$)和$l=2L/3$ 的运动,其他地方与理想状态的偏离的最简单形式就是:你拿住这两个点,然后往外掰一下——这就对应于$L/3$ 处应力最大。

当然,我并不是说,上面这些中学物理知识就真的能够帮助你解决这个问题,但是它们至少能增进你对这个问题的理解,增强你对别人给出的答案的信心。

我认为这道题很好,并不在于它的立意有多巧妙,也不在于它的分析有多全面,而是因为它告诉我们:分析主要矛盾、建立模型并得到数值结果,固然很重要,但更重要的是,知道模型的局限,在需要的时候建立更细致的模型,把以前忽略的次要矛盾中的最主要的因素考虑进来——物理学解决问题的过程,其实就是这样的迭代过程。


顺便说一下。书上白纸黑字写的东西,并不一定就是正确的。即使这样一本非常优秀的讲义,你在使用的过程中也不能完全相信,毕竟学习是你自己的事情,而这本书只不过是一本讲义而已,是帮助你学习物理的手段,而不是至高无上的圣经。

有些题可能就考虑得不那么周详。比如说,有一道题讲的是小球从斜坡上滑下来(讲义p8,题目及解答见本文附录的图二),把小球当作质点处理。但是,如果更严格地说,小球在斜坡上一定会滚动的,那么,小球到达底部时的速度就会不一样。这个效应基本上不依赖于球的大小——费曼谈论过这个事情

还有些题可能模型就不太合适。比如说,有一道题是两本书交叉产生的摩擦力(习题解答p36,题目及解答见本文附录的图三),这里就只考虑了纸张重力的复用对摩擦力的影响,而忽略了非常关键的因素(当然这也不能怪编者,因为这个因素也是最近才被认识到的)。简单地说,采用这里的模型,如果把两本书竖起来放,就不会有摩擦力了,但是,最新的研究工作表明,竖着交叉的书页,摩擦力强得足以吊起汽车


总而言之,例题和习题的作用是帮助学生理解授课内容。随便挑几道题,用自己的语言、自己的方法把它们搞清楚,要比走马观花地刷刷题有用得多。对于一般的科研文章来说,你跟着他的思路走,基本上肯定会得到他的结论(保证逻辑推导的正确性,这是科研的基本功),出错的地方通常不在这里,而在于模型没有反映出问题的主要矛盾。建立自己的解决问题的方法,是非常重要的,哪怕刚开始的时候很粗糙,但那是你自己的东西,你知道怎么能改进它。其实,这就是大学物理教学的主要目的。


附录:

1 刚性细杆倾倒

2 小球滑下斜坡


3 交叉书页的摩擦力





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