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力学教学笔记之非惯性参考系 精选

已有 9339 次阅读 2016-12-16 16:12 |个人分类:大众物理学|系统分类:教学心得


地恒动而人不知,譬如闭舟而行不觉舟之运也。

《尚书纬·考灵曜》

距今约一千八百余年


在力学授课过程中,我发现大部分学生搞不明白非惯性系,不能正确地理解和应用惯性力。下面简要地讨论惯性参考系和非惯性参考系,并举几个惯性力的例子。

牛顿认为有绝对空间和绝对时间,所以也就存在着绝对参考系,而爱因斯坦说,时空是密不可分的,一切都是相对的。我们只能知道,如果两个参考系彼此做匀速直线运动,那么其中的物理定律都是一致的,他们要么都是惯性参考系,要么都不是;如果他们有相对加速运动,那么他们至少有一个是非惯性参考系,也许两个都是。

处理低速运动、在不同参考系之间转换的时候,我们采用伽利略变换。从实用的角度来看,我们选择惯性参考系的标准是:牛顿运动定律正确地描述了其中的物理现象。这是个循环定义,没有办法做得更好了。无论选择实验室(也就是地球)、太阳还是银河系作为惯性参考系,其实都是根据经验、根据研究的问题而假设这就是惯性参考系了。现在看来,最接近于“理想”的惯性系,大约就是大爆炸的余辉了——宇宙微波背景辐射到处都是各向同性的。不幸的是,无论地球、太阳还是银河系,都相对它做高速运动(大约几百公里每秒钟),而且用起来也太不方便了。

假定我们选好了一个惯性参考系,接下来就简单了,我们可以确定任何其他参考系是惯性的还是非惯性的。有时候,利用非惯性参考系来描述会比较方便,这时候,为了保证牛顿定律仍然有用,就要引入“惯性力”。这样一来,牛顿运动定律就在任何参考系里都具有形式上的一致性了:如果哪里有什么不一致,那就添加一项,让他们一致起来!

虚拟的惯性力总是等于$-ma$,其中,$m$是物体的质量,而$a$非惯性系的加速度。这很容易理解:如果物体在惯性参考系中是静止的话,它就没有受力;在非惯性系中看来,这个物体就在倒着跑,加速度是$-a$,而非惯性系中的观察者习惯性地认为,不受力就不应该动,既然它动了、那就必然是受了力,所以就给它安排了个“惯性力”$-ma$。从这个意义上来说,惯性力的出现是因为思维的惯性——我们总是觉得,物理定律应该在任何参考系里都一样的,所以我们就把它给凑出来了。

相对运动总是可以分解为直线运动(平动)和转动。直线加速运动很简单,每个人都能够理解其中的惯性力。如果你在公共汽车上因为突然刹车而撞到人,还没来得及说道歉、就被人家来了一句:“什么德性!”你就可以很有知识地纠正他:“不是德性,这是惯性。”困难的是转动,因为在描述转动的时候,我们通常说的不是转动导致的加速度,而是转动的角速度。转动还进一步地分为匀速转动和加速转动,后者就更困难了,而且实用意义不太大——管他什么切向惯性力呢,我们才不在乎呢,因为考试肯定不会考的嘛!

在匀速转动(角速度为$\omega$)的惯性参考系里,物体受到的惯性力有两大类:“离心力”和“科里奥利力”。

在惯性系里做匀速圆周运动的物体,因为它的运动方向在不停地变化,所以必须受到了“向心力”$\omega^2r=v^2/r$。转换到非惯性系中,物体没有动,所以,思维的惯性就认为“合力应当为零”;可是为了保持它不动,又必须施加一个力,所以就认为早就存在了一个“离心力”,高大上的记号就是$-\omega\times(\omega\times r)$。也是为了偷懒,就再推广一下:不管你在匀速转动的非惯性系中动不动,都有“离心力”的伺候。

可是,如果你真的动了起来,就必须引入“科里奥利力”了。最简单的图像是这样的:假如你在惯性系里没动,所以,确实没有受力;可是,在转动参考系看来,你是运动的(你在向着相反方向进行转动),除了离心力以外,必须还要有力来让你保持这个匀速圆周运动。这个力就是“科里奥利力”,此时的大小是$2\omega^2r=2v\omega $,因为有一半要去抵消离心力,另一半提供向心力。另外一种图像也比较简单,此时你在非惯性系中朝着或背离转动轴做匀速运动:此时的科里奥利力大小也是$2v\omega$,但是方向变成了与半径垂直。它的“产生”原因是,在同一个角速度下,内圈的线速度要比外圈小,所以,你往外走的时候,就好像落后了似的——所以就需要找点补偿。更加详细的讨论,可以给出高大上的记号$-2v\times \omega$,碰巧把这两种情况作为特例包括进来了。(注意:惯性力总是跟物体质量成正比的,所以前面就没有提这件事情。)

地球是最常见的转动参考系。地球转动带来的科里奥利力是很小的,因为地球的转动太慢了,大约是$7\times10^{-5}$(一天转一圈,$2\pi$)。有人说下水口处水涡的转动方向由科里奥利力决定,在南北半球各不相同——其实这是瞎扯淡,但是也有人靠这个发点小财。

课本上说,河流对两岸的冲刷会因为科里奥利力的作用而有所不同,但是我对此不是很确定:这个力似乎太小了,即使河水的流速达到每秒钟十米,对应的加速度也只有地球重力加速度的万分之一左右,与河水本身的冲击相比,太小了一些。这个数值其实跟地球表面感受到的月球引力相仿,很难相信它能够对河床的冲刷造成很大的影响。

但是,在更大的尺度上,在更长的时间里,确实可以观察到科里奥利力的影响。最著名的例子是傅科摆,单摆的摆动平面缓慢地变动,转动的周期依赖于单摆所在地的纬度,证明了地球的自转;最宏大的例子是大气环流的形成,科里奥利力做出了一定的贡献;最深藏不露的例子是最近的地震学研究发现,地震时产生的横波,其振动面也会因为科里奥利力的影响而发生转动,其作用机制类似于傅科摆。

当然,非惯性系中最有趣也最迷人的例子,还是要算Thomas发现的原子中电子自旋$g$因子等于2的奥秘,连爱因斯坦都没有想到的奇迹。

R. Snieder, et. Al., Seismic shear waves as Foucault pendulum, Geophysical Research Letters, 43, 2576-2581(2016)

DOI: 10.1002/2015GL067598




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