地恒动而人不知，譬如闭舟而行不觉舟之运也。

《尚书纬·考灵曜》

距今约一千八百余年

在力学授课过程中，我发现大部分学生搞不明白非惯性系，不能正确地理解和应用惯性力。下面简要地讨论惯性参考系和非惯性参考系，并举几个惯性力的例子。

牛顿认为有绝对空间和绝对时间，所以也就存在着绝对参考系，而爱因斯坦说，时空是密不可分的，一切都是相对的。我们只能知道，如果两个参考系彼此做匀速直线运动，那么其中的物理定律都是一致的，他们要么都是惯性参考系，要么都不是；如果他们有相对加速运动，那么他们至少有一个是非惯性参考系，也许两个都是。

处理低速运动、在不同参考系之间转换的时候，我们采用伽利略变换。从实用的角度来看，我们选择惯性参考系的标准是：牛顿运动定律正确地描述了其中的物理现象。这是个循环定义，没有办法做得更好了。无论选择实验室（也就是地球）、太阳还是银河系作为惯性参考系，其实都是根据经验、根据研究的问题而假设这就是惯性参考系了。现在看来，最接近于“理想”的惯性系，大约就是大爆炸的余辉了——宇宙微波背景辐射到处都是各向同性的。不幸的是，无论地球、太阳还是银河系，都相对它做高速运动（大约几百公里每秒钟），而且用起来也太不方便了。

假定我们选好了一个惯性参考系，接下来就简单了，我们可以确定任何其他参考系是惯性的还是非惯性的。有时候，利用非惯性参考系来描述会比较方便，这时候，为了保证牛顿定律仍然有用，就要引入“惯性力”。这样一来，牛顿运动定律就在任何参考系里都具有形式上的一致性了：如果哪里有什么不一致，那就添加一项，让他们一致起来！

虚拟的惯性力总是等于$-ma$，其中，$m$是物体的质量，而$a$非惯性系的加速度。这很容易理解：如果物体在惯性参考系中是静止的话，它就没有受力；在非惯性系中看来，这个物体就在倒着跑，加速度是$-a$，而非惯性系中的观察者习惯性地认为，不受力就不应该动，既然它动了、那就必然是受了力，所以就给它安排了个“惯性力”$-ma$。从这个意义上来说，惯性力的出现是因为思维的惯性——我们总是觉得，物理定律应该在任何参考系里都一样的，所以我们就把它给凑出来了。

相对运动总是可以分解为直线运动（平动）和转动。直线加速运动很简单，每个人都能够理解其中的惯性力。如果你在公共汽车上因为突然刹车而撞到人，还没来得及说道歉、就被人家来了一句：“什么德性！”你就可以很有知识地纠正他：“不是德性，这是惯性。”困难的是转动，因为在描述转动的时候，我们通常说的不是转动导致的加速度，而是转动的角速度。转动还进一步地分为匀速转动和加速转动，后者就更困难了，而且实用意义不太大——管他什么切向惯性力呢，我们才不在乎呢，因为考试肯定不会考的嘛！

在匀速转动（角速度为$\omega$）的惯性参考系里，物体受到的惯性力有两大类：“离心力”和“科里奥利力”。

在惯性系里做匀速圆周运动的物体，因为它的运动方向在不停地变化，所以必须受到了“向心力”$\omega^2r=v^2/r$。转换到非惯性系中，物体没有动，所以，思维的惯性就认为“合力应当为零”；可是为了保持它不动，又必须施加一个力，所以就认为早就存在了一个“离心力”，高大上的记号就是$-\omega\times(\omega\times r)$。也是为了偷懒，就再推广一下：不管你在匀速转动的非惯性系中动不动，都有“离心力”的伺候。

可是，如果你真的动了起来，就必须引入“科里奥利力”了。最简单的图像是这样的：假如你在惯性系里没动，所以，确实没有受力；可是，在转动参考系看来，你是运动的（你在向着相反方向进行转动），除了离心力以外，必须还要有力来让你保持这个匀速圆周运动。这个力就是“科里奥利力”，此时的大小是$2\omega^2r=2v\omega $，因为有一半要去抵消离心力，另一半提供向心力。另外一种图像也比较简单，此时你在非惯性系中朝着或背离转动轴做匀速运动：此时的科里奥利力大小也是$2v\omega$，但是方向变成了与半径垂直。它的“产生”原因是，在同一个角速度下，内圈的线速度要比外圈小，所以，你往外走的时候，就好像落后了似的——所以就需要找点补偿。更加详细的讨论，可以给出高大上的记号$-2v\times \omega$，碰巧把这两种情况作为特例包括进来了。（注意：惯性力总是跟物体质量成正比的，所以前面就没有提这件事情。）

地球是最常见的转动参考系。地球转动带来的科里奥利力是很小的，因为地球的转动太慢了，大约是$7\times10^{-5}$（一天转一圈，$2\pi$）。有人说下水口处水涡的转动方向由科里奥利力决定，在南北半球各不相同——其实这是瞎扯淡，但是也有人靠这个发点小财。

课本上说，河流对两岸的冲刷会因为科里奥利力的作用而有所不同，但是我对此不是很确定：这个力似乎太小了，即使河水的流速达到每秒钟十米，对应的加速度也只有地球重力加速度的万分之一左右，与河水本身的冲击相比，太小了一些。这个数值其实跟地球表面感受到的月球引力相仿，很难相信它能够对河床的冲刷造成很大的影响。

但是，在更大的尺度上，在更长的时间里，确实可以观察到科里奥利力的影响。最著名的例子是傅科摆，单摆的摆动平面缓慢地变动，转动的周期依赖于单摆所在地的纬度，证明了地球的自转；最宏大的例子是大气环流的形成，科里奥利力做出了一定的贡献；最深藏不露的例子是最近的地震学研究发现，地震时产生的横波，其振动面也会因为科里奥利力的影响而发生转动，其作用机制类似于傅科摆。

当然，非惯性系中最有趣也最迷人的例子，还是要算Thomas发现的原子中电子自旋$g$因子等于2的奥秘，连爱因斯坦都没有想到的奇迹。

R. Snieder, et. Al., Seismic shear waves as Foucault pendulum, Geophysical Research Letters, 43, 2576-2581(2016)

DOI: 10.1002/2015GL067598