人成各，今非昨，病魂常似秋千索

以往谈论的都是稳态运动和加速运动，现在谈谈另一种常见的运动形式——振动，也就是平衡位置附近的往复运动。

先谈谈平衡的种类：稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡。铅笔扔在桌面上，铅笔的重力等于桌面的支持力，它就处于平衡状态。如果是圆柱形铅笔，那么它就是随遇平衡，你稍微动动它，它就稍微滚动一下，换个地方停下来、继续保持平衡；如果它是个六棱柱形的铅笔，通常是稳定平衡你轻轻推它一下，它就略微抬高一些身形，等你放了手，它就跌回来，左右晃荡一阵、然后停留在原处；如果你心灵手巧，尖头朝下地把铅笔放在桌面上，原则上它也是可以呆着不动的，但是任何风吹草动都会让它跌倒，这就是不稳定平衡。

用数学的语言来说，这三种平衡依赖于物体所处位置附近的势能曲线$U(x)$：既然能够达到平衡，那么该处的一阶导数必然为零，它是势能的极值点；如果二阶导数大于零，它就是势能的极小值，通俗点说，那个地方就是个坑，难怪你会呆得很舒坦，“大国者下流”嘛；如果二阶导数小于零，它就是势能的极大值，那个地方就是个小山头，一不小心就会滚下来，“太高人皆妒”嘛。只要我们离家不太远，更高阶的项通常就不用考虑了。

$U(x)=U_0+ \frac{1}{2} k x^2+\cdots $ （其中，$k=U"_0$）

看看物体在平衡位置附近的运动吧。这肯定离不开牛顿第二运动定律，如果不考虑摩擦力的话，力就只是势能曲线的导数

$m\ddot{x}=F=-\frac{\mathrm{d}U(x)}{\mathrm{d}x}$

两侧乘以$\dot{x}$，

$m\ddot{x}\dot{x}=-\frac{\mathrm{d}U(x)}{\mathrm{d}x}\dot{x}$

$\frac{1}{2}m\frac{\mathrm{d}\dot{x}^2}{\mathrm{d}t}=-\frac{\mathrm{d}U(x)}{\mathrm{d}t}$

$\frac{1}{2}m\dot{x}^2+U(x)=E$

这就是机械能守恒定律。从这里可以看出，如果我站在高高的山巅，任何微小的偏离都会减小势能，从而增大速度，也就是说，往山下滚得越来越快；如果我停留在谷底，任何微小的偏离只会增大势能，从而减小我的速度，终究会停下来、返回去的。

对于稳定平衡位置附近的振动，显然其运动轨迹$x(t)$可以由下式确定

$t=\int \mathrm{d}t =\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{2(E-U(x))/m}}$

振动周期$T$是

$T=2\int ^{x_+}_{x_-} \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{2(E-U(x))/m}}$

并且有

$x(t)=x(t+T)$

也就是说，这是个周期性函数。任何周期性函数都可以表示为三角函数的级数和（傅里叶定理），包括基频$f$及其所有的$n$倍频——这些知识都会在高等数学里学到，这里就不多说了。至于李萨如图形之类，不过是XY绘图仪和电子枪荧屏时代的遗迹，如同三角函数的加减乘除一样，都是不难理解的——自己找张纸画一画，就明白了。

原则上来说，一维振动问题就这样解决了。但是，为了加深印象，我们考虑更简单的情况，即，势能曲线只有二次方项的贡献，

$m\ddot{x}=F=-\frac{\mathrm{d}U(x)}{\mathrm{d}x}=-k x$

上式右侧的$-kx$就是我们通常所说的回复力，因为它永远指向平衡位置。这个微分方程很容易求解，

$x=\sin (\omega t +\phi)$ ，其中，$\omega=\sqrt{k/m}$

因为任何势能极小值的附近区间都可以用二次曲线来描述，所以，上述公式具有普遍性，可以处理所有小振幅的振动问题。我们只需要找到物体的平衡位置，然后在那附近做展开就行了。无论是弹簧振子、单摆复摆，还是振动的音叉、起伏的冰山，统统都是这样处理。

世上的振子虽多，但常常是寂寞无助的，小园香径独徘徊。偶尔走到大街上，看到的都是行色匆匆的陌生人，没有人知道、更没有人关心你内心深处那冰封已久的回忆。也许很偶然的，“于千万人之中遇见你所遇见的人，于千万年之中，时间的无涯的荒野里，没有早一步，也没有晚一步，刚巧赶上了，”两个振子发生了相互作用，

$\ddot{x_1}=-\omega ^2_1 x_1 - \alpha (x_1-x_2)$

$\ddot{x_2}=-\omega ^2_2 x_1 - \alpha (x_2-x_1)$

其中，$\alpha (x_1-x_2)$表示了二者的耦合强度。这样的联立微分方程，看起来很美（或者很难，取决于你的视角），其实解起来也都是套路，经过适当的变量代换，好不容易联系上的两个振子，就又变成了大街上的陌生人。“那也没有别的话可说，惟有轻轻地问一声：‘噢，你也在这里吗？’”更多的耦合振子也是一样的，不过就是行列式的本征值问题而已，说什么有缘无缘，说什么纠缠想念，最后都化为“简正模式”，赤条条来去无牵挂。

振子的生活虽然简单，终究不能“遗世而独立”，外界的阻力和推动都会影响他的行为。

“木秀于林，风必摧之”，最简单的阻碍行为正比于其速度，

$\ddot {x} = -\omega ^2 x- \gamma \dot {x}$

利用变量代换$x=e^{at}$，这种微分方程就变为简单的二元一次方程

$a^2 = -\omega ^2 - \gamma a$

$a=\frac{-\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 -4\omega ^2}}{2}$

根据根号里$\gamma^2 - 4\omega ^2$数值的正负或零，可以区分所谓的弱阻尼、过阻尼和临界阻尼。其实，这种方法也可以用来分辨稳定平衡、不稳定平衡和临界平衡，只要注意到这一点就可了：$e^{\pm iat}$与振荡的正弦、余弦函数有关；而$e^{\pm at}$与增长、衰减的指数函数有关。

“好风凭借力，助我上青云。”为了达到新的高度，就要有贵人相助，最常见的形式是周期性的援助力

$\ddot {x} = -\omega ^2 x- \gamma \dot {x} + f_0 \cos \omega t$

吃人嘴短，振子自己的个性$\omega_0$当然也就顾不上了，只能听从金主的指挥（所谓受迫振动），但是，如果幸运的话，外界的驱策与自己的本性相去不是太远$\omega \sim \omega_0$，就有可能相得益彰，出现所谓的共振现象。然而，共振也是把双刃剑，好的时候可以群策群力，坏的时候可以桥倒屋塌，甚而出现完全不可预知的混沌现象。载舟覆舟，唯君图之。

麦克风为什么会发出啸叫？这是自激的结果。秋千为什么越荡越高？这是参数共振的影响。这就像一个人的命运啊，当然要靠自我奋斗，但是也要考虑到历史的行程。荆轲志存高远、心小天下，放言“往而不返者，竖子也”，结局却是“风萧萧兮易水寒，壮士一去兮不复还”；周公瑾“大丈夫处世，遇知己之主，外托君臣之义，内结骨肉之恩”，终于“羽扇纶巾，谈笑间，樯橹灰飞烟灭。”其人或存或亡，其业或成或败，然而千载之下，无不让人追思怀想，兼有才人不遇之叹，

把吴钩看了，栏杆拍遍，无人会，登临意。

蝶恋花·花褪残红青杏小

苏轼

花褪残红青杏小。

燕子飞时，绿水人家绕。

枝上柳绵吹又少。

天涯何处无芳草。

墙里秋千墙外道。

墙外行人，墙里佳人笑。

笑渐不闻声渐悄。

多情却被无情恼。