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力学教学笔记之显而易见 精选

已有 3896 次阅读 2016-12-14 19:30 |个人分类:大众物理学|系统分类:教学心得


凡事总须研究,才会明白。古来时常做题,我也还记得,可是不甚清楚。我翻开课本一查,这课本没有解答,歪歪斜斜的每页上都写着显而易见”几个字。我横竖睡不着,仔细看了半夜,才从字缝里看出字来,满本都写着两个字是“做题”!


我经常说,天底下最容易的三件事就是:读书、做题、写博客。书,写出来就是让人读的;题,编出来就是让人做的;至于说博客,摆明了就是让人瞎扯淡的。任何一个人,只要他愿意,都可以把这三件事做好的,比如说我自己,普普通通、平平常常的一个人,但是,经过几十年的努力,赖祖宗神灵、心手并应,终于也达到了瞎扯淡而从心所欲不逾矩的境界。

我写博文,不过自娱自乐而已。看见有人瞎忽悠,就去拆拆台;轮到自己讲力学,就来码码字。有过客随便问两句,我也就借机掉个书袋子或调侃一下;有网友认真地提问题,我就只能说,学习需要静心读书,网上不是求知之地。其实,无论科普也好,上课也罢,都不能帮助你学习,只能提起你的兴趣,让你愿意自己去揣摩。师者,所谓传道授业解惑者也,然而,这一切的基础都是你愿意学——否则,谈何容易!

话虽然这么说,但我还是要努力一把,说说这中间的奥秘,其实也很简单,那就是:多思、多练、多动手。比如说,力学中经常用到的微积分,其实就是加减乘除而已,只不过先要把处理的对象切个粉碎、然后再拼接起来:切粉碎的好处是只研究很小的、变化不大的区域,拼起来的困难是碎块太多了。只要保持清醒的头脑,知道自己要做什么、正在做什么,其实也不难的——因为物理上用到的函数都是好脾气的,不会故意刁难人,所以,数学的严格证明可以暂时放到一边去。这就是“显而易见”出现的缘由,但是,这是别人的“显而易见”,要想把它变为自己的“显而易见”,还是需要一些努力的。

大学新生往往不适应这种“显而易见”,因为他们已经习惯于“五三”、“全解”等书中详尽的解题步骤。大学课本的内容比中学多得多,使用“显而易见”只是为了不让书变得太厚、太重,另外,也是希望学生不是抄抄书就算了,而是要动动脑子。我们学习的时候,就是要自己吧这些缺省的步骤搞出来,从而检验自己是否真正理解了授课内容。这么抽象地说,不是很容易明白,还是举几个例子说明一下吧。天体力学中的万有引力问题,可以说明如何把三维积分(多变量微积分)逐次简化,最终变为一维积分(单变量微积分);流体力学里的质量守恒定律,如何把二维积分和三维积分联系起来,也就是所谓的“内涵都在表面上”;混沌发生的倍周期机制,可以说明体系演化性质对初始参数的敏感性,从而理解“重整化”这样的高大上概念其实是多么的简单,进一步展现微积分的威力。



为了说明问题、但是又不想写太多公式,我们仍然采用了“显而易见”的方法。 显而易见的是,此处正文中的“显而易见”也要比课本中的“显而易见”还要“显而易见”很多很多了,然而,距离大学新生的要求,显然还是差得有些远的——缺省的步骤,特别是数学表达式,你应该自己补齐。需要指出的是,你把这三个小问题搞清楚以后,微积分应该是过关了——学习大学普通物理肯定是没有任何问题的了。


物体是有大小的。万有引力公式给出了两个质点的相互作用力,牛顿证明了,均匀球体对质点的万有引力,等于该球体所有质量位于球心处所产生的万有引力。

这是个三维积分问题:从对称性考虑,把直角坐标系$x,y,z$变为球坐标系$r,\theta,\phi$,体积微元需要做相应的变换;逆向思考,球体等于球心,意味着球面也必然等于球心,这样就变成了二维积分;对称性考虑,$\phi$不出现在积分函数里,这样就变成了一维积分,对$\theta$积分,从0$\pi$;变量代换,把三角函数去掉,积分函数看起来更简单了;查书或者自己凑,得到微分的原函数;最后就是结果了。


物质是不灭的。在某个封闭表面包住的空间体积内,该体积内的物质增量等于流过该表面的物质量的增减。

这是个这是面积分和体积分的相互联系问题:体积内物质的量是个三维积分,涉及到流体密度和体积微元;流入量是个二维积分,涉及到流体密度、速度和面积微元;物质不灭保证了二者必然相等。 如果想把积分问题变为微分问题,那么就要把二维积分用三维积分表示出来,这就涉及到散度定理。

散度定理是把边界和内部联系起来。边界总是比内部少一个维度:球体的边界是球面(三维变二维),圆盘的边界是圆周(二维变一维),线段的边界是端点(一维变零维)——微积分基本定理$F_{x_i}-F_{x_j}=\int ^{x_i}_{x_j} f(x)\mathrm{d}x$,说的就是端点和区间的联系。把线段切成足够多的小碎片,当碎片长度足够小的时候,上述定理是显然的,因为它就是微分的定义而已。把这些碎片逐个加起来,内部的分界点总是出现两次,一次为正,一次为负,所以就抵消掉了,只剩下两个端点;而积分是相加的关系,所以也保留下来了。好了,微积分基本定理就这么简单——散度定理只是这个原则的三维实现而已。

把封闭空间且各位足够多的小碎块,当碎块足够小的时候,可以把体积分与相对两个表面的面积分之差联系起来。沿着$x$方向的两个表面,对应于$\rho_{x + \mathrm{d}x} v_{x+ \mathrm{d} x}- \rho_x v_x$,高大上的数学形式就是$\frac{\partial }{\partial x} (\rho  v_x)$,而$v_y$$v_z$是流不进这两个表面的,因为他们的运动方向不对;同理,沿着$y$$z$方向的那两对表面,对应的就是$\frac{\partial }{\partial y} (\rho v_y)$$\frac{\partial }{\partial z} (\rho v_z)$。这样就得到了体积微元里的散度公式,$\nabla \cdot (\rho v)+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0$。从微元到全体,就很简单了:内部的表面还是出现两次,一次为正,一次为负,所以就抵消掉了,只剩下外部的表面;而体积分只有加法,所以也保留下来了。


决定论是虚妄的。经典力学很伟大,牛顿的功绩长存,有一段时期,人们甚至认为,宇宙中的一切都是决定论的,只要知道了动力学方程和初始条件,所有问题就都解决了,“不需要上帝这个假设”。然后就是来自于两个方面的打击:量子力学说,微观世界是不一样的,最著名的就是测不准原理;混沌理论说,经典力学有可能对初始条件极为敏感,决定性混沌使得长期预言没有了意义。这里介绍混沌产生的倍周期机制。

体系状态的变化通常用微分方程来描述,如果时间不能够当作无穷小量处理,而是有固定的间隔,比如说一天或者一年,那么,就用差分方程描述。

生物种群的演化,不仅依赖于自身的繁殖能力,也受到外界资源的限制——斐波那契的兔子只是理想而已。养殖场里兔子的数量可以用下述微分方程描述

$\frac {\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}= ax-bx^2$

右边第一项描述了自身的繁殖能力,而且父母越多,子女也就越多;第二项描述了资源的限制,兔子太多了,找不到饭吃,只好饿死了。如果资源没有限制,想生多少就生多少,就会兔口爆炸,生态危机;如果资源限制太大,都生不起小兔子,必然是老年社会,同样也是生态危机。

系统的稳态解就是系统的状态不在随时间变化。这就意味着,微分方程的左边等于零,所以,$ax-bx^2=0$,所以,$x=0$或者$x=a/b$。在这两个点附近,可以把把$x$按照小量展开,即,做变量代换,$y=0+x$或者$y=a/b+ x$,原来的微分方程就可以分别近似表示为

$\frac {\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}= ax$ $\frac {\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=- ay  $

这都是非常简单的微分方程,它的解分别为$y=e^{at}$ $y=e^{-at}$。再把变量代换搞回去,就可以得到两个平衡点附近的解为$x=e^{at}$ $x=a/b + e^{-at}$。根据$a$的符号,还可以讨论平衡点附近解的稳定性问题:$a>0$,则$x=0$处的解是发散的,而则$x=a/b$处的解是收敛的;$a<0$,则$x=0$处的解是收敛的,而则$x=a/b$处的解是发散的(不幸的是,数量小于零的种群不存在)。这就是我们通常所说的指数式的发散或收敛。


如果时间有固定间隔,问题就会更复杂一些。原来的微分方程变为差分方程($\frac {\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \rightarrow {x_{n+1}-x_n}$

$ x_{n+1}-x_n=ax_n-bx^2_n$

经过变量代换和系数重整化(也就是重新选了个不同的单位进行)

$ x_{n+1}=f(x_n)=\alpha x_n(1- x_n) $

注意:这里的$\alpha$不是前面的$a$,而是$\alpha= 1+a$;而$y_n$也做了变换,$y_n=b x_n$,所以,新的数列表达式(也就是差分方程)就不再包含$b$了。最后,我们又把$y$换成了$x$——代数代数,随便代哪个数都可以的。

这样的变换有什么好处呢:首先,$x$取值归一化了,它只能在$(0,1)$区间变化;其次,限制了$\alpha$的取值范围,只能在$(0,4)$区间变化,因为$x(1-x)\le 1/4$;最后一个好处就是,抄书比较方便(以下介绍基于Peter B. Kahn, Mathematical Methods for Scientists and Engineers: Linear and Nonlinear Systems, John Wiley & Sons, Inc., 1990. Chapter 16, One dimensional Iterative Maps and the Onset of Chaos.)。

显然,这个差分方程也有两个平衡点$x^{\ast}$(,$x^{\ast}=\alpha x^{\ast}(1-x^{\ast})$,即,$x^{\ast} =0$ 或者$x^{\ast} =1/\alpha$。如果$\alpha$取值大于4,那么,系统很快就会撞上天花板,然后就是种群灭绝——第二个平衡点也就根本不可能达到了。我们仍然可以讨论差分方程平衡点的稳定性。探讨平衡解是否能够达到,如何依赖于参数$\alpha$的选择。顺便说一下,$y=f(x)=\alpha x(1-x)$$y=x$两条曲线的交点,就是平衡点,而且这两条曲线之间的相互转移对于理解以下说明很重要。可惜的是,我不想画图,也不想抄录所有的公式,所以,大家只能是将就着看了。

$0<\alpha<1$的时候,只有一个平衡点,$x=0$,因为$y=f(x)=\alpha x(1-x)$$y=x$只有一个交点。也可以这么看,$1-1/\alpha$小于0,所以不可能是解。此时的导数$f'(x=0) =a <1$,所以这里也是稳定的平衡点。

$\alpha=1$是个临界点。当$\alpha>1$的时候,$f'(x=0) =a >1$$x=0$不再是稳定点,换句话说,如果$x_n$0不太远的话,那么,$x_{n+1}$就会变得远一些,而$x_{n+2}$就会变得更远一些,直到它远离0。此时,有了第二个平衡点,$x=1-1/\alpha$,该处的导数为$f'(x=1-1/\alpha) = 2-\alpha $。又要继续处理几种不同的情况了。

如果$1<\alpha<3$,那么该点的导数绝对值仍然小于1,它就是稳定的平衡点,经过足够多次数的迭代,数列就会收敛$1-1/\alpha$


如果$\alpha>3$,就有些麻烦,两个平衡点都稳定了。如果你不小心离其中一个近了,就会被踢开,离另一个近了,也会被踢开,成了个没人疼没人爱的讨厌鬼。怎么办?天无绝人之处,只要你运气好,$\alpha$3大不了多少,你可以自己跟自己玩,出现所谓的倍周期:先是$f(p)=q$,然后是$f(q)=p$,每两次就回到原来的位置了。换句话说,$g(x)=f(f(x))$就有了平衡点,而且是两个($p$$q$)。对于这两个平衡点,又可以分析他们的稳定性了——碰巧的是,对于$3<\alpha<1+\sqrt{6}\approx 3.45$,这两个平衡点都是稳定的。显然,这两个点的稳定性是相同的,因为他们的导数$g'(q)=f'(f(q))f'(q)=f'(p)f'(q)=f'(f(p))f'(p)=g'(p)$——这就是链式法则啊。简单抄录一下,这个新的稳定区间(倍周期稳定区)是怎么得来的:

1、变量代换$z=1-1/\alpha+x$,也就是说,现在以(不稳定的)平衡点$1-1/\alpha$作为零点了。差分方程就变为$z_{n+1}=f(z_n)=(2-\alpha)z_n-\alpha z^2_n$

2、求出倍周期的平衡点$p$$q$。由$f(p)=q$$f(q)=p$,可以得到$p+q=(3-a)/a$$pq=(3-a)/a^2$

3、求出平衡点的导数。$g'(p)=g'(q)=f'(p)f'(q)=4+2a-a^2$,限制这个导数的绝对值小于1,就可以得到新的稳定区的参数区间。$3<\alpha<1+\sqrt{6}\approx 3.45$

4、步骤1-3碰巧给出了严格解,也可以做一个简单的估计。差分方程做两次迭代以后,可以得到$z_{n+1}=(2-\alpha)^2 z_{n-1} - \alpha ((2-\alpha)+(2-\alpha)^2)^2 z_{n-1} + O(z^3_{n-1})$。其中的$O()$代表$z_{n-1}$的三次方项和四次方项,把它忽略掉,并再做一个尺度变换,可以得到新的差分方程$z_{n+1}=(2-\alpha)^2 z_n(1-z_n)$。这类似于以前的差分方程,唯一的差别在于$\alpha$$(2-\alpha)^2$替换了,前者的稳定区间是$1<\alpha<3$,所以后者的稳定区间就是$1<(2-\alpha)^2<3$,即$3<\alpha<2+\sqrt{3}\approx 3.73$。这就是重整化的思想,虽然这里只是一个很糟糕的估计。

5、还是接着步骤3来吧。当$\alpha > 1+\sqrt{6}$的时候,$p$$q$不再是倍周期的稳定平衡点了。再次做变量代换,把零点移动到(比如说)$p$点,即$z_n=p+v_n$,以后,两次迭代后的差分方程(经过了类似于步骤4的处理)是$v_{n+1}=(4+2\alpha-\alpha ^2)v_n(1-v_n)$。这个差分方程类似于步骤1中的$z_{n+1}=f(z_n)=(2-\alpha)z_n-\alpha z^2_n$。再做类似于步骤4的类比,因为$2-\alpha$对应的稳定区是$3<\alpha<1+\sqrt{6}$,就可以得到,$(4+2\alpha-\alpha ^2)$对应的稳定区是$1+\sqrt{6}< \alpha<1+ \sqrt{4+\sqrt{6}}$,这就是四倍分岔的稳定区间。需要注意的是,这是估计值,因为前面的差分方程只保留到二次方项目,忽略了高次方项的贡献。

6、如此进行下去,就可以得到8倍分岔,16倍分岔等等。分岔出现的间隔越来越短。由此还可以估计著名的费根鲍姆(Feigenbaum)常数。

7、类似的考虑,可以用来处理三周期点,即$f(p)=q$$f(q)=r$$f(r)=p$。“周期三意味着混沌”(Li-York定理),李天岩没有白姓李,确实领会到了“老子一气化三清”的奥秘。其他的奇数周期当然也可以类似地处理。


好了,就到这里吧。我不抄了!抄书也这么累,烦死了。更要命的是,没法说俏皮话,因为写书的人都是一本正经的老古板!

但是也有个好处——我从另一个方面证明了:天下最容易的事情是读书、做题、写博文了。你看,连抄书都比他们困难多了,我没有骗你吧!


PS

其实,我对数学并不反感,如果高兴了,我也可以用很多数学。不过我说了好多次了,写博文就是为了消遣,没必要在网上谈数学、更别说严格地使用数学了。

关于混沌动力学这个主题,有本中文科普书讲得很好的,那就是郝柏林的《从抛物线讲起:混沌动力学引论》。推荐大家抽空看看,不过先打个预防针:那里的跳跃步伐就更大了。比如说,里面偶然提到了彩虹的形成机制,郝老师他是这么说的,

为了得到正确答案,我们需要出射角$\theta$和瞄准距离$x=\delta/R$的函数关系,一位爱好物理的高中毕业生应能推导出下面的式子:

$\theta=2\arcsin \left\{x\left[\frac{2}{n}\sqrt{(1-x^2)(1-\frac{x^2}{n^2})}-1+\frac{2x^2}{n^2} \right] \right \}$



附录:


中国外交部“黑话”

亲切友好的交谈——字面意思;

坦率交谈——分歧很大,无法沟通;

交换了意见——会谈各说各的,没有达成协议;

充分交换了意见——双方无法达成协议,吵得厉害;

增进了双方的了解——双方分歧很大;

会谈是有益的——双方目标暂时相距甚远,能坐下来谈就很好;

我们持保留态度——我们拒绝同意;

尊重——不完全同意;

赞赏——不尽同意;

遗憾——不满;

不愉快——激烈的冲突;

表示极大的愤慨——现在我拿你没办法;

严重关切——可能要干预;

不能置之不理——即将干涉;

保留做出进一步反应的权利——我们将报复;

我们将重新考虑这一问题的立场——我们已经改变了原来的(友好)政策;

拭目以待——最后警告;

请于**日前予以答复——**日后我们两国可能处于非和平状态;

由此引起的后果将由*负责——可能的话我国将诉诸武力(这也可能是虚张声势的俗语);

这是我们万万不能容忍的——战争在即;

这是不友好的行动——这是敌视我们的行动,可能引起战争的行动;

是可忍孰不可忍——不打算忍了,要动手了;

悬崖勒马——想挨打么?

勿谓言之不预也——准备棺材吧。

最后几句自从中国开始韬光养晦发展经济之后就没用过了。关于“勿谓言之不预也”中国政府的两次生动使用: 一次是1978年越南军队对中越边境的侵犯;另一次是印度军队对中印边境的侵犯。


各国外交辞令的潜台词

1 我们正在进行一场史无前例的反恐战争。(美国)   

潜台词:打击恐怖主义不是最终目的,渗透美国的势力,进而实现美国国家利益才是最重要的。  

2 不管美国处在多么困难的境地,身边总是不应该缺少英国这个最可靠的盟友。(英国)  

潜台词:拉大旗作虎皮,没有比这买卖更合适的了。没有永远的朋友和敌人,只有永远的利益,这可是英国人说的。      

3 我们不赞成用战争手段解决伊拉克问题。(法国)   

潜台词:打仗就完了,我国在伊拉克的八十亿美元投资就打水漂了,那就真让赫尔姆斯-伯顿心满意足了。     

4 北约如果执意要东扩,那么我们也东扩。(俄国)   

潜台词:我们威胁东扩是假的,敬告你们别把我们逼急了是真的。

5 不赞成对安理会扩大问题进行强制表决和设置时间表,那样做会有分裂联合国的危险。(中国)

潜台词:日本想要提拔一下自己的心情是可以理解的,可是在某些问题上不合作,那是万万达不到目的的。

6 我们完全支持对华解除武器出口禁运。(德国)   

潜台词:市场太诱人了,实在抵挡不住诱惑。

7 在协助改造宁边核反应堆的问题上出尔反尔,我方忍无可忍,认为已没有必要继续进行六方会谈。(美国)

潜台词:说好了给钱却又不给钱,那我只好用你最害怕的东西来讹诈你了。

8 联合国改革方案已经提交大会,我认为日本会成功入常(安南)   

潜台词:不提德国、巴西、印度,那是因为日本给家乡提供了大量金钱援助,更因为要讨好美国,因为日本是美国的哈巴狗。

9 人民币应该升值,否则会极大损害世界贸易的发展。(美国)   

潜台词:赶快升吧,谁让你美元储备那么大,低端工业品那么有竞争力呢?你升值了我好填补一下预算赤字,顺便还有贸易逆差。

10 敦促中国领导人主动会晤台湾地区政府领导人。(美国)

潜台词:你主动点,可以给陈水扁多增加一点谈判的筹码,这也算是美国送给台湾的礼物吧。

11 教廷非常有意愿改善和中国的关系。(梵蒂冈)   

潜台词:中国有十三亿人口,如果能因外交关系突破而获准进入中国传教,我们将为天主完成了多么巨大而艰巨的工作呀,阿门。

12 乌克兰愿意同俄罗斯巩固传统友好关系。(乌克兰)   

潜台词:欧盟已经说了十年之内乌克兰无法加入欧洲大家庭,我们总不能没有靠山呀。

13 如果奥尔布赖特能够接任捷克总统,那将是捷克人民最愿意看到的事情。(捷克)  

潜台词:捷克能成为美国在欧洲的卫星国,那是捷克人民多么愿意看到的事情啊啊啊。

14 以色列认为,唯一能够在巴以之间进行调解的国家只有美国。(以色列)   

潜台词:哪里有爸爸不偏向着儿子的,所以让爸爸做调解人最有利了。

15 如果以色列现有立场不变,那巴勒斯坦愿意被吞并入以色列国。(巴勒斯坦)  

潜台词:我们人比你们多,你们还是民主国家,大选投票的时候有你们好瞧的。

16 美国支持并愿意积极推动北约东扩。(美国)   

潜台词:美国支持并愿意积极推动俄国在这一地区的影响力减弱甚至消失,直至俄罗斯再次解体。

17 美国决心在全世界推广民主制度和自由的理念。(美国)   

潜台词:让所有国家成为美国的附庸,让美国永远屹立于世界之巅。

18 美国不接受在津巴布韦大选后所产生的结果(美国)   

潜台词:因为不是我们想要的结果。

19 在美墨边境修建一道墙,这是彻底的隔离制度。(墨西哥)   

潜台词:你把非法移民都堵住了,不是把麻烦留给我们墨西哥政府吗?

20 入侵的敌人将会遭到彻底毁灭,一轮火红的太阳将升起在美索布达米亚平原。(伊拉克)  

潜台词:别入侵晓得伐,我们有原子弹,那火红的太阳就是。

21 表述:两国代表昨天进行了友好会谈,就XX问题充分交换了意见。(中国)

潜台词:两国代表在谈判桌上大吵一通,就差群殴了。。。




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19 尤明庆 王虹宇 李颖业 张云 徐令予 曾泳春 武夷山 史晓雷 董焱章 岳东晓 王林平 赵美娣 刘进忠 吴斌 韦玉程 葛素红 mswatermelon zjzhaokeqin aliala

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