凡事总须研究，才会明白。古来时常做题，我也还记得，可是不甚清楚。我翻开课本一查，这课本没有解答，歪歪斜斜的每页上都写着“显而易见”几个字。我横竖睡不着，仔细看了半夜，才从字缝里看出字来，满本都写着两个字是“做题”！

我经常说，天底下最容易的三件事就是：读书、做题、写博客。书，写出来就是让人读的；题，编出来就是让人做的；至于说博客，摆明了就是让人瞎扯淡的。任何一个人，只要他愿意，都可以把这三件事做好的，比如说我自己，普普通通、平平常常的一个人，但是，经过几十年的努力，赖祖宗神灵、心手并应，终于也达到了瞎扯淡而从心所欲不逾矩的境界。

我写博文，不过自娱自乐而已。看见有人瞎忽悠，就去拆拆台；轮到自己讲力学，就来码码字。有过客随便问两句，我也就借机掉个书袋子或调侃一下；有网友认真地提问题，我就只能说，学习需要静心读书，网上不是求知之地。其实，无论科普也好，上课也罢，都不能帮助你学习，只能提起你的兴趣，让你愿意自己去揣摩。师者，所谓传道授业解惑者也，然而，这一切的基础都是你愿意学——否则，谈何容易！

话虽然这么说，但我还是要努力一把，说说这中间的奥秘，其实也很简单，那就是：多思、多练、多动手。比如说，力学中经常用到的微积分，其实就是加减乘除而已，只不过先要把处理的对象切个粉碎、然后再拼接起来：切粉碎的好处是只研究很小的、变化不大的区域，拼起来的困难是碎块太多了。只要保持清醒的头脑，知道自己要做什么、正在做什么，其实也不难的——因为物理上用到的函数都是好脾气的，不会故意刁难人，所以，数学的严格证明可以暂时放到一边去。这就是“显而易见”出现的缘由，但是，这是别人的“显而易见”，要想把它变为自己的“显而易见”，还是需要一些努力的。

大学新生往往不适应这种“显而易见”，因为他们已经习惯于“五三”、“全解”等书中详尽的解题步骤。大学课本的内容比中学多得多，使用“显而易见”只是为了不让书变得太厚、太重，另外，也是希望学生不是抄抄书就算了，而是要动动脑子。我们学习的时候，就是要自己吧这些缺省的步骤搞出来，从而检验自己是否真正理解了授课内容。这么抽象地说，不是很容易明白，还是举几个例子说明一下吧。天体力学中的万有引力问题，可以说明如何把三维积分（多变量微积分）逐次简化，最终变为一维积分（单变量微积分）；流体力学里的质量守恒定律，如何把二维积分和三维积分联系起来，也就是所谓的“内涵都在表面上”；混沌发生的倍周期机制，可以说明体系演化性质对初始参数的敏感性，从而理解“重整化”这样的高大上概念其实是多么的简单，进一步展现微积分的威力。

为了说明问题、但是又不想写太多公式，我们仍然采用了“显而易见”的方法。 显而易见的是，此处正文中的“显而易见”也要比课本中的“显而易见”还要“显而易见”很多很多了，然而，距离大学新生的要求，显然还是差得有些远的——缺省的步骤，特别是数学表达式，你应该自己补齐。需要指出的是，你把这三个小问题搞清楚以后，微积分应该是过关了——学习大学普通物理肯定是没有任何问题的了。

物体是有大小的。万有引力公式给出了两个质点的相互作用力，牛顿证明了，均匀球体对质点的万有引力，等于该球体所有质量位于球心处所产生的万有引力。

这是个三维积分问题：从对称性考虑，把直角坐标系$x,y,z$变为球坐标系$r,\theta,\phi$，体积微元需要做相应的变换；逆向思考，球体等于球心，意味着球面也必然等于球心，这样就变成了二维积分；对称性考虑，$\phi$不出现在积分函数里，这样就变成了一维积分，对$\theta$积分，从0到$\pi$；变量代换，把三角函数去掉，积分函数看起来更简单了；查书或者自己凑，得到微分的原函数；最后就是结果了。

物质是不灭的。在某个封闭表面包住的空间体积内，该体积内的物质增量等于流过该表面的物质量的增减。

这是个这是面积分和体积分的相互联系问题：体积内物质的量是个三维积分，涉及到流体密度和体积微元；流入量是个二维积分，涉及到流体密度、速度和面积微元；物质不灭保证了二者必然相等。 如果想把积分问题变为微分问题，那么就要把二维积分用三维积分表示出来，这就涉及到散度定理。

散度定理是把边界和内部联系起来。边界总是比内部少一个维度：球体的边界是球面（三维变二维），圆盘的边界是圆周（二维变一维），线段的边界是端点（一维变零维）——微积分基本定理$F_{x_i}-F_{x_j}=\int ^{x_i}_{x_j} f(x)\mathrm{d}x$，说的就是端点和区间的联系。把线段切成足够多的小碎片，当碎片长度足够小的时候，上述定理是显然的，因为它就是微分的定义而已。把这些碎片逐个加起来，内部的分界点总是出现两次，一次为正，一次为负，所以就抵消掉了，只剩下两个端点；而积分是相加的关系，所以也保留下来了。好了，微积分基本定理就这么简单——散度定理只是这个原则的三维实现而已。

把封闭空间且各位足够多的小碎块，当碎块足够小的时候，可以把体积分与相对两个表面的面积分之差联系起来。沿着$x$方向的两个表面，对应于$\rho_{x + \mathrm{d}x} v_{x+ \mathrm{d} x}- \rho_x v_x$，高大上的数学形式就是$\frac{\partial }{\partial x} (\rho  v_x)$，而$v_y$和$v_z$是流不进这两个表面的，因为他们的运动方向不对；同理，沿着$y$和$z$方向的那两对表面，对应的就是$\frac{\partial }{\partial y} (\rho v_y)$和$\frac{\partial }{\partial z} (\rho v_z)$。这样就得到了体积微元里的散度公式，$\nabla \cdot (\rho v)+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0$。从微元到全体，就很简单了：内部的表面还是出现两次，一次为正，一次为负，所以就抵消掉了，只剩下外部的表面；而体积分只有加法，所以也保留下来了。

决定论是虚妄的。经典力学很伟大，牛顿的功绩长存，有一段时期，人们甚至认为，宇宙中的一切都是决定论的，只要知道了动力学方程和初始条件，所有问题就都解决了，“不需要上帝这个假设”。然后就是来自于两个方面的打击：量子力学说，微观世界是不一样的，最著名的就是测不准原理；混沌理论说，经典力学有可能对初始条件极为敏感，决定性混沌使得长期预言没有了意义。这里介绍混沌产生的倍周期机制。

体系状态的变化通常用微分方程来描述，如果时间不能够当作无穷小量处理，而是有固定的间隔，比如说一天或者一年，那么，就用差分方程描述。

生物种群的演化，不仅依赖于自身的繁殖能力，也受到外界资源的限制——斐波那契的兔子只是理想而已。养殖场里兔子的数量可以用下述微分方程描述

$\frac {\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}= ax-bx^2$

右边第一项描述了自身的繁殖能力，而且父母越多，子女也就越多；第二项描述了资源的限制，兔子太多了，找不到饭吃，只好饿死了。如果资源没有限制，想生多少就生多少，就会兔口爆炸，生态危机；如果资源限制太大，都生不起小兔子，必然是老年社会，同样也是生态危机。

系统的稳态解就是系统的状态不在随时间变化。这就意味着，微分方程的左边等于零，所以，$ax-bx^2=0$，所以，$x=0$或者$x=a/b$。在这两个点附近，可以把把$x$按照小量展开，即，做变量代换，$y=0+x$或者$y=a/b+ x$，原来的微分方程就可以分别近似表示为

$\frac {\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}= ax$ 或$\frac {\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=- ay  $

这都是非常简单的微分方程，它的解分别为$y=e^{at}$ 和$y=e^{-at}$。再把变量代换搞回去，就可以得到两个平衡点附近的解为$x=e^{at}$ 和 $x=a/b + e^{-at}$。根据$a$的符号，还可以讨论平衡点附近解的稳定性问题：$a>0$，则$x=0$处的解是发散的，而则$x=a/b$处的解是收敛的；$a<0$，则$x=0$处的解是收敛的，而则$x=a/b$处的解是发散的（不幸的是，数量小于零的种群不存在）。这就是我们通常所说的指数式的发散或收敛。

如果时间有固定间隔，问题就会更复杂一些。原来的微分方程变为差分方程（$\frac {\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \rightarrow {x_{n+1}-x_n}$）

$ x_{n+1}-x_n=ax_n-bx^2_n$

经过变量代换和系数重整化（也就是重新选了个不同的单位进行）

$ x_{n+1}=f(x_n)=\alpha x_n(1- x_n) $

注意：这里的$\alpha$不是前面的$a$，而是$\alpha= 1+a$；而$y_n$也做了变换，$y_n=b x_n$，所以，新的数列表达式（也就是差分方程）就不再包含$b$了。最后，我们又把$y$换成了$x$——代数代数，随便代哪个数都可以的。

这样的变换有什么好处呢：首先，$x$取值归一化了，它只能在$(0,1)$区间变化；其次，限制了$\alpha$的取值范围，只能在$(0,4)$区间变化，因为$x(1-x)\le 1/4$；最后一个好处就是，抄书比较方便（以下介绍基于Peter B. Kahn, Mathematical Methods for Scientists and Engineers: Linear and Nonlinear Systems, John Wiley & Sons, Inc., 1990. Chapter 16, One dimensional Iterative Maps and the Onset of Chaos.）。

显然，这个差分方程也有两个平衡点$x^{\ast}$（，$x^{\ast}=\alpha x^{\ast}(1-x^{\ast})$，即，$x^{\ast} =0$ 或者$x^{\ast} =1/\alpha$。如果$\alpha$取值大于4，那么，系统很快就会撞上天花板，然后就是种群灭绝——第二个平衡点也就根本不可能达到了。我们仍然可以讨论差分方程平衡点的稳定性。探讨平衡解是否能够达到，如何依赖于参数$\alpha$的选择。顺便说一下，$y=f(x)=\alpha x(1-x)$与$y=x$两条曲线的交点，就是平衡点，而且这两条曲线之间的相互转移对于理解以下说明很重要。可惜的是，我不想画图，也不想抄录所有的公式，所以，大家只能是将就着看了。

当$0<\alpha<1$的时候，只有一个平衡点，$x=0$，因为$y=f(x)=\alpha x(1-x)$与$y=x$只有一个交点。也可以这么看，$1-1/\alpha$小于0，所以不可能是解。此时的导数$f'(x=0) =a <1$，所以这里也是稳定的平衡点。

$\alpha=1$是个临界点。当$\alpha>1$的时候，$f'(x=0) =a >1$，$x=0$不再是稳定点，换句话说，如果$x_n$离0不太远的话，那么，$x_{n+1}$就会变得远一些，而$x_{n+2}$就会变得更远一些，直到它远离0。此时，有了第二个平衡点，$x=1-1/\alpha$，该处的导数为$f'(x=1-1/\alpha) = 2-\alpha $。又要继续处理几种不同的情况了。

如果$1<\alpha<3$，那么该点的导数绝对值仍然小于1，它就是稳定的平衡点，经过足够多次数的迭代，数列就会收敛$1-1/\alpha$。

如果$\alpha>3$，就有些麻烦，两个平衡点都稳定了。如果你不小心离其中一个近了，就会被踢开，离另一个近了，也会被踢开，成了个没人疼没人爱的讨厌鬼。怎么办？天无绝人之处，只要你运气好，$\alpha$比3大不了多少，你可以自己跟自己玩，出现所谓的倍周期：先是$f(p)=q$，然后是$f(q)=p$，每两次就回到原来的位置了。换句话说，$g(x)=f(f(x))$就有了平衡点，而且是两个（$p$和$q$）。对于这两个平衡点，又可以分析他们的稳定性了——碰巧的是，对于$3<\alpha<1+\sqrt{6}\approx 3.45$，这两个平衡点都是稳定的。显然，这两个点的稳定性是相同的，因为他们的导数$g'(q)=f'(f(q))f'(q)=f'(p)f'(q)=f'(f(p))f'(p)=g'(p)$——这就是链式法则啊。简单抄录一下，这个新的稳定区间（倍周期稳定区）是怎么得来的：

1、变量代换$z=1-1/\alpha+x$，也就是说，现在以（不稳定的）平衡点$1-1/\alpha$作为零点了。差分方程就变为$z_{n+1}=f(z_n)=(2-\alpha)z_n-\alpha z^2_n$。

2、求出倍周期的平衡点$p$和$q$。由$f(p)=q$和$f(q)=p$，可以得到$p+q=(3-a)/a$，$pq=(3-a)/a^2$

3、求出平衡点的导数。$g'(p)=g'(q)=f'(p)f'(q)=4+2a-a^2$，限制这个导数的绝对值小于1，就可以得到新的稳定区的参数区间。$3<\alpha<1+\sqrt{6}\approx 3.45$

4、步骤1-3碰巧给出了严格解，也可以做一个简单的估计。差分方程做两次迭代以后，可以得到$z_{n+1}=(2-\alpha)^2 z_{n-1} - \alpha ((2-\alpha)+(2-\alpha)^2)^2 z_{n-1} + O(z^3_{n-1})$。其中的$O()$代表$z_{n-1}$的三次方项和四次方项，把它忽略掉，并再做一个尺度变换，可以得到新的差分方程$z_{n+1}=(2-\alpha)^2 z_n(1-z_n)$。这类似于以前的差分方程，唯一的差别在于$\alpha$被$(2-\alpha)^2$替换了，前者的稳定区间是$1<\alpha<3$，所以后者的稳定区间就是$1<(2-\alpha)^2<3$，即$3<\alpha<2+\sqrt{3}\approx 3.73$。这就是重整化的思想，虽然这里只是一个很糟糕的估计。

5、还是接着步骤3来吧。当$\alpha > 1+\sqrt{6}$的时候，$p$和$q$不再是倍周期的稳定平衡点了。再次做变量代换，把零点移动到（比如说）$p$点，即$z_n=p+v_n$，以后，两次迭代后的差分方程（经过了类似于步骤4的处理）是$v_{n+1}=(4+2\alpha-\alpha ^2)v_n(1-v_n)$。这个差分方程类似于步骤1中的$z_{n+1}=f(z_n)=(2-\alpha)z_n-\alpha z^2_n$。再做类似于步骤4的类比，因为$2-\alpha$对应的稳定区是$3<\alpha<1+\sqrt{6}$，就可以得到，$(4+2\alpha-\alpha ^2)$对应的稳定区是$1+\sqrt{6}< \alpha<1+ \sqrt{4+\sqrt{6}}$，这就是四倍分岔的稳定区间。需要注意的是，这是估计值，因为前面的差分方程只保留到二次方项目，忽略了高次方项的贡献。

6、如此进行下去，就可以得到8倍分岔，16倍分岔等等。分岔出现的间隔越来越短。由此还可以估计著名的费根鲍姆（Feigenbaum）常数。

7、类似的考虑，可以用来处理三周期点，即$f(p)=q$、$f(q)=r$和$f(r)=p$。“周期三意味着混沌”（Li-York定理），李天岩没有白姓李，确实领会到了“老子一气化三清”的奥秘。其他的奇数周期当然也可以类似地处理。

好了，就到这里吧。我不抄了！抄书也这么累，烦死了。更要命的是，没法说俏皮话，因为写书的人都是一本正经的老古板！

但是也有个好处——我从另一个方面证明了：天下最容易的事情是读书、做题、写博文了。你看，连抄书都比他们困难多了，我没有骗你吧！

PS：

其实，我对数学并不反感，如果高兴了，我也可以用很多数学。不过我说了好多次了，写博文就是为了消遣，没必要在网上谈数学、更别说严格地使用数学了。

关于混沌动力学这个主题，有本中文科普书讲得很好的，那就是郝柏林的《从抛物线讲起：混沌动力学引论》。推荐大家抽空看看，不过先打个预防针：那里的跳跃步伐就更大了。比如说，里面偶然提到了彩虹的形成机制，郝老师他是这么说的，

为了得到正确答案，我们需要出射角$\theta$和瞄准距离$x=\delta/R$的函数关系，一位爱好物理的高中毕业生应能推导出下面的式子：

$\theta=2\arcsin \left\{x\left[\frac{2}{n}\sqrt{(1-x^2)(1-\frac{x^2}{n^2})}-1+\frac{2x^2}{n^2} \right] \right \}$

附录：

中国外交部“黑话”

亲切友好的交谈——字面意思；

坦率交谈——分歧很大，无法沟通；

交换了意见——会谈各说各的，没有达成协议；

充分交换了意见——双方无法达成协议，吵得厉害；

增进了双方的了解——双方分歧很大；

会谈是有益的——双方目标暂时相距甚远，能坐下来谈就很好；

我们持保留态度——我们拒绝同意；

尊重——不完全同意；

赞赏——不尽同意；

遗憾——不满；

不愉快——激烈的冲突；

表示极大的愤慨——现在我拿你没办法；

严重关切——可能要干预；

不能置之不理——即将干涉；

保留做出进一步反应的权利——我们将报复；

我们将重新考虑这一问题的立场——我们已经改变了原来的（友好）政策；

拭目以待——最后警告；

请于*月*日前予以答复——*月*日后我们两国可能处于非和平状态；

由此引起的后果将由*负责——可能的话我国将诉诸武力（这也可能是虚张声势的俗语）；

这是我们万万不能容忍的——战争在即；

这是不友好的行动——这是敌视我们的行动，可能引起战争的行动；

是可忍孰不可忍——不打算忍了，要动手了；

悬崖勒马——想挨打么？

勿谓言之不预也——准备棺材吧。

最后几句自从中国开始韬光养晦发展经济之后就没用过了。关于“勿谓言之不预也”中国政府的两次生动使用: 一次是1978年越南军队对中越边境的侵犯；另一次是印度军队对中印边境的侵犯。

各国外交辞令的潜台词

1 我们正在进行一场史无前例的反恐战争。（美国） 　　

潜台词：打击恐怖主义不是最终目的，渗透美国的势力，进而实现美国国家利益才是最重要的。　　

2 不管美国处在多么困难的境地，身边总是不应该缺少英国这个最可靠的盟友。（英国）　　

潜台词：拉大旗作虎皮，没有比这买卖更合适的了。没有永远的朋友和敌人，只有永远的利益，这可是英国人说的。      

3 我们不赞成用战争手段解决伊拉克问题。（法国） 　　

潜台词：打仗就完了，我国在伊拉克的八十亿美元投资就打水漂了，那就真让赫尔姆斯-伯顿心满意足了。 　　　　

4 北约如果执意要东扩，那么我们也东扩。（俄国） 　　

潜台词：我们威胁东扩是假的，敬告你们别把我们逼急了是真的。

5 不赞成对安理会扩大问题进行强制表决和设置时间表，那样做会有分裂联合国的危险。(中国)

潜台词：日本想要提拔一下自己的心情是可以理解的，可是在某些问题上不合作，那是万万达不到目的的。

6 我们完全支持对华解除武器出口禁运。（德国） 　　

潜台词：市场太诱人了，实在抵挡不住诱惑。

7 在协助改造宁边核反应堆的问题上出尔反尔，我方忍无可忍，认为已没有必要继续进行六方会谈。(美国)

潜台词：说好了给钱却又不给钱，那我只好用你最害怕的东西来讹诈你了。

8 联合国改革方案已经提交大会，我认为日本会成功入常（安南） 　　

潜台词：不提德国、巴西、印度，那是因为日本给家乡提供了大量金钱援助，更因为要讨好美国，因为日本是美国的哈巴狗。

9 人民币应该升值，否则会极大损害世界贸易的发展。（美国） 　　

潜台词：赶快升吧，谁让你美元储备那么大，低端工业品那么有竞争力呢？你升值了我好填补一下预算赤字，顺便还有贸易逆差。

10 敦促中国领导人主动会晤台湾地区政府领导人。(美国)

潜台词：你主动点，可以给陈水扁多增加一点谈判的筹码，这也算是美国送给台湾的礼物吧。

11 教廷非常有意愿改善和中国的关系。（梵蒂冈） 　　

潜台词：中国有十三亿人口，如果能因外交关系突破而获准进入中国传教，我们将为天主完成了多么巨大而艰巨的工作呀，阿门。

12 乌克兰愿意同俄罗斯巩固传统友好关系。（乌克兰） 　　

潜台词：欧盟已经说了十年之内乌克兰无法加入欧洲大家庭，我们总不能没有靠山呀。

13 如果奥尔布赖特能够接任捷克总统，那将是捷克人民最愿意看到的事情。（捷克）　　

潜台词：捷克能成为美国在欧洲的卫星国，那是捷克人民多么愿意看到的事情啊啊啊。

14 以色列认为，唯一能够在巴以之间进行调解的国家只有美国。（以色列） 　　

潜台词：哪里有爸爸不偏向着儿子的，所以让爸爸做调解人最有利了。

15 如果以色列现有立场不变，那巴勒斯坦愿意被吞并入以色列国。（巴勒斯坦）　　

潜台词：我们人比你们多，你们还是民主国家，大选投票的时候有你们好瞧的。

16 美国支持并愿意积极推动北约东扩。（美国） 　　

潜台词：美国支持并愿意积极推动俄国在这一地区的影响力减弱甚至消失，直至俄罗斯再次解体。

17 美国决心在全世界推广民主制度和自由的理念。（美国） 　　

潜台词：让所有国家成为美国的附庸，让美国永远屹立于世界之巅。

18 美国不接受在津巴布韦大选后所产生的结果（美国） 　　

潜台词：因为不是我们想要的结果。

19 在美墨边境修建一道墙，这是彻底的隔离制度。（墨西哥） 　　

潜台词：你把非法移民都堵住了，不是把麻烦留给我们墨西哥政府吗？

20 入侵的敌人将会遭到彻底毁灭，一轮火红的太阳将升起在美索布达米亚平原。（伊拉克）　　

潜台词：别入侵晓得伐，我们有原子弹，那火红的太阳就是。

21 表述：两国代表昨天进行了友好会谈，就XX问题充分交换了意见。(中国)

潜台词：两国代表在谈判桌上大吵一通，就差群殴了。。。