姬扬的个人博客分享 http://blog.sciencenet.cn/u/jiyang1971

博文

力学教学笔记之变分法 精选

已有 19489 次阅读 2016-11-10 14:41 |个人分类:大众物理学|系统分类:教学心得


亢龙有悔,盈不可久也。


我觉得,力学中用到的数学方法就只有三个半。

首先是变分法,当然也就包括了微积分,单变量的和多变量的。变分法可以从最小功原理重新推导出整个牛顿力学,还可以推广到光学、电磁学乃至量子力学,其实,朗道讲义就是这么做的。

其次就是微扰论,当然也就包括了各种近似算法。精确解是很少的,你要知道怎么在精确解的基础上进行外推。海王星就是这么发现的,最近预言的太阳系第九大行星(不是冥王星!)也正在等待验证。

第三个就是混沌理论,即非线性动力学。相似的原因导致相似的结果?错!拉普拉斯的梦想?永远都只是梦想了!

最后的半个是狭义相对论,也就是时空变换方法。爱因斯坦改变了我们的时空观,但是力学里确实用得不多。


我们谈谈变分法,介绍几个最简单的极值问题,最后是拉格朗日方程——从另一种观点来看力学。


先从微积分讲起。微积分最关键的一点就是,如果我们知道了某个函数$y=f(x)$$x_0$处的数值,如果推断它附近的一点$x_0+\delta x$处的数值。搞物理的都是这么猜的,二者的差别是$\delta y=f(x_0+\delta x)-f(x)=f'(x_0)\delta x + \cdots $,其中的$f'(x_0)$就是所谓的一阶导数了。然后,我们就把余量(也就是省略号的部分)直接去掉了,至于说这么做合不合法,有多大误差,那就是数学家的事情了。如果这两者的差别为零,也就是说$f'(x_0)=0$,这就是极值条件。光的反射定律和折射定律可以从光程最短原理得到(费马原理),用微分求极值的方法很容易证明,可是,你真的试过用几何方法证明吗?Try it.


上面就是单变量微积分的全部内容。多变量微积分与此相似,只不过现在的函数有好几个自变量。随便举个例子吧。函数$z=f(x,y)$$(x_0,y_0)$$(x_0+\delta x,y_0+\delta y)$处的差别就是

$\delta z =f (x_0+\delta x,y_0+\delta y)-f(x_0,y_0)$

$=[f (x_0+\delta x,y_0+\delta y)-f (x_0,y_0+\delta y)]+[f (x_0,y_0+\delta y)-f(x_0,y_0)]$

$=f'_x(x_0,y_0+\delta y)\delta x+f'_y(x_0,y_0)\delta y+ \cdots $

$=f'_x(x_0,y_0)\delta x+f'_y(x_0,y_0)\delta y+ \cdots $

其中,$ f'_x$$ f'_y$就是所谓的偏微分$\frac{\partial f}{\partial x}$ $\frac{\partial f}{\partial y}$。然后就可以用它去求解多变量的极值问题了。至于说合不合法、误差有多大,还是那句话,不关我们的事儿,都拜托数学家了。


变分法是泛函分析里的方法。简单地说,也是求某个函数的极值,但特殊的是,这个函数的自变量也是个函数。比如说,$z=\int ^A_B F(y,y') \mathrm{d}x$,其中,AB是积分的起点和终点。积分的结果就是一个数,具体的数值依赖于函数$y=f(x)$。 如果某个函数$y$能够使得这个积分(或者说“泛函”)取到极值,那就意味着,任何与此函数的微小差别$\eta$,改变量都是零。也就是说

$0=\int F(y+\eta,y'+\eta ') \mathrm{d}x-\int F(y,y') \mathrm{d}x=\int [F(y+\eta,y'+\eta ') - F(y,y') ] \mathrm{d}x$

对括号里进行形式上的微分(类似于上一段中对偏微分的处理),可以得到

$0=\int [F'_y \eta + F_{y'} \eta ' ] \mathrm{d}x$

$ =\int [F'_y \eta - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F_{y'} \eta  ] \mathrm{d}x$

$ =\int [F'_y - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F_{y'}   ] \eta \mathrm{d}x$

上面用到了分部积分公式$\mathrm{d}(PQ)=P\mathrm{d}Q+Q\mathrm{d}P$,以及,$\eta$AB处的取值都是0

因为$\eta$是任意的足够小的函数,所以,必然得到如下偏微分方程

$F'_y - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F_{y'}=0$

也就是说,

$\frac{\partial F}{\partial y}- \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\partial F}{\partial y'})=0$

这就是变分法得到的拉格朗日方程。

如果选取$F=\sqrt{1+y' ^2}$,就可以得到“两点之间的最短距离是直线段”;选取$\sqrt{1+y' ^2}/\sqrt{2gy}$,就可以得到最速降线的微分方程,最后求出它是个旋轮线;如果选取$F=L=T-U$,这就是力学的拉格朗日方程,$L$就是所谓的拉格朗日量,而$T$$U$分别是系统的动能和势能。利用拉格朗日方程,很容易求出行星轨道、简谐振动、对称陀螺定点旋转等问题的微分方程和各种守恒量。实际上,机械能守恒、动量守恒、角动量守恒等都可以从拉格朗日方程中得到,分别对应于时间、空间和空间方向的无差别性(拉格朗日量中不显含相应的变量)。


我觉得,这就是微积分和变分法的要义。再说一遍,不要觉得我们懒、偷奸耍滑,我们只是没有时间,合法性和余量分析这种问题,要有好几门课、几百个课时、各种定理和习题才能掌握的,我们这里只能是提一提,$1+\sqrt{0.02}$

这些做法并不严谨,但是有助于你找到解决问题的思路。在真的需要严格处理的时候,当然应该“战战兢兢,如临深渊,如履薄冰”,不然你就会

进则亢龙有悔,退则蒺藜生庭,冀此求安,未知其福。

——《晋书·王豹传》


PS

“乐不可极,志不可满”。一日而写三篇教学笔记,不亦多乎?

姬扬2016.11.09




https://blog.sciencenet.cn/blog-1319915-1013924.html

上一篇:力学教学笔记之进动的陀螺
下一篇:力学教学笔记之马失前蹄
收藏 IP: 124.193.162.*| 热度|

25 李颖业 徐令予 冯大诚 吕喆 韦玉程 郭景涛 葛素红 冯新 吴斌 曾泳春 鲍海飞 张江敏 刘安金 张云 康建 黄永义 王林平 余昕 王善勇 范毅方 陈鹏 xlsd jao sijin20120 yancy95

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (9 个评论)

数据加载中...
扫一扫,分享此博文

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2024-11-8 17:24

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部