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力学教学笔记之变分法 精选

已有 12622 次阅读 2016-11-10 14:41 |个人分类:大众物理学|系统分类:教学心得


亢龙有悔,盈不可久也。


我觉得,力学中用到的数学方法就只有三个半。

首先是变分法,当然也就包括了微积分,单变量的和多变量的。变分法可以从最小功原理重新推导出整个牛顿力学,还可以推广到光学、电磁学乃至量子力学,其实,朗道讲义就是这么做的。

其次就是微扰论,当然也就包括了各种近似算法。精确解是很少的,你要知道怎么在精确解的基础上进行外推。海王星就是这么发现的,最近预言的太阳系第九大行星(不是冥王星!)也正在等待验证。

第三个就是混沌理论,即非线性动力学。相似的原因导致相似的结果?错!拉普拉斯的梦想?永远都只是梦想了!

最后的半个是狭义相对论,也就是时空变换方法。爱因斯坦改变了我们的时空观,但是力学里确实用得不多。


我们谈谈变分法,介绍几个最简单的极值问题,最后是拉格朗日方程——从另一种观点来看力学。


先从微积分讲起。微积分最关键的一点就是,如果我们知道了某个函数$y=f(x)$$x_0$处的数值,如果推断它附近的一点$x_0+\delta x$处的数值。搞物理的都是这么猜的,二者的差别是$\delta y=f(x_0+\delta x)-f(x)=f'(x_0)\delta x + \cdots $,其中的$f'(x_0)$就是所谓的一阶导数了。然后,我们就把余量(也就是省略号的部分)直接去掉了,至于说这么做合不合法,有多大误差,那就是数学家的事情了。如果这两者的差别为零,也就是说$f'(x_0)=0$,这就是极值条件。光的反射定律和折射定律可以从光程最短原理得到(费马原理),用微分求极值的方法很容易证明,可是,你真的试过用几何方法证明吗?Try it.


上面就是单变量微积分的全部内容。多变量微积分与此相似,只不过现在的函数有好几个自变量。随便举个例子吧。函数$z=f(x,y)$$(x_0,y_0)$$(x_0+\delta x,y_0+\delta y)$处的差别就是

$\delta z =f (x_0+\delta x,y_0+\delta y)-f(x_0,y_0)$

$=[f (x_0+\delta x,y_0+\delta y)-f (x_0,y_0+\delta y)]+[f (x_0,y_0+\delta y)-f(x_0,y_0)]$

$=f'_x(x_0,y_0+\delta y)\delta x+f'_y(x_0,y_0)\delta y+ \cdots $

$=f'_x(x_0,y_0)\delta x+f'_y(x_0,y_0)\delta y+ \cdots $

其中,$ f'_x$$ f'_y$就是所谓的偏微分$\frac{\partial f}{\partial x}$ $\frac{\partial f}{\partial y}$。然后就可以用它去求解多变量的极值问题了。至于说合不合法、误差有多大,还是那句话,不关我们的事儿,都拜托数学家了。


变分法是泛函分析里的方法。简单地说,也是求某个函数的极值,但特殊的是,这个函数的自变量也是个函数。比如说,$z=\int ^A_B F(y,y') \mathrm{d}x$,其中,AB是积分的起点和终点。积分的结果就是一个数,具体的数值依赖于函数$y=f(x)$。 如果某个函数$y$能够使得这个积分(或者说“泛函”)取到极值,那就意味着,任何与此函数的微小差别$\eta$,改变量都是零。也就是说

$0=\int F(y+\eta,y'+\eta ') \mathrm{d}x-\int F(y,y') \mathrm{d}x=\int [F(y+\eta,y'+\eta ') - F(y,y') ] \mathrm{d}x$

对括号里进行形式上的微分(类似于上一段中对偏微分的处理),可以得到

$0=\int [F'_y \eta + F_{y'} \eta ' ] \mathrm{d}x$

$ =\int [F'_y \eta - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F_{y'} \eta  ] \mathrm{d}x$

$ =\int [F'_y - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F_{y'}   ] \eta \mathrm{d}x$

上面用到了分部积分公式$\mathrm{d}(PQ)=P\mathrm{d}Q+Q\mathrm{d}P$,以及,$\eta$AB处的取值都是0

因为$\eta$是任意的足够小的函数,所以,必然得到如下偏微分方程

$F'_y - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F_{y'}=0$

也就是说,

$\frac{\partial F}{\partial y}- \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\partial F}{\partial y'})=0$

这就是变分法得到的拉格朗日方程。

如果选取$F=\sqrt{1+y' ^2}$,就可以得到“两点之间的最短距离是直线段”;选取$\sqrt{1+y' ^2}/\sqrt{2gy}$,就可以得到最速降线的微分方程,最后求出它是个旋轮线;如果选取$F=L=T-U$,这就是力学的拉格朗日方程,$L$就是所谓的拉格朗日量,而$T$$U$分别是系统的动能和势能。利用拉格朗日方程,很容易求出行星轨道、简谐振动、对称陀螺定点旋转等问题的微分方程和各种守恒量。实际上,机械能守恒、动量守恒、角动量守恒等都可以从拉格朗日方程中得到,分别对应于时间、空间和空间方向的无差别性(拉格朗日量中不显含相应的变量)。


我觉得,这就是微积分和变分法的要义。再说一遍,不要觉得我们懒、偷奸耍滑,我们只是没有时间,合法性和余量分析这种问题,要有好几门课、几百个课时、各种定理和习题才能掌握的,我们这里只能是提一提,$1+\sqrt{0.02}$

这些做法并不严谨,但是有助于你找到解决问题的思路。在真的需要严格处理的时候,当然应该“战战兢兢,如临深渊,如履薄冰”,不然你就会

进则亢龙有悔,退则蒺藜生庭,冀此求安,未知其福。

——《晋书·王豹传》


PS

“乐不可极,志不可满”。一日而写三篇教学笔记,不亦多乎?

姬扬2016.11.09




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