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渡江云·第二次数学危机

已有 2840 次阅读 2014-10-22 11:41 |个人分类:科史|系统分类:科普集锦| 悖论, 无穷小, 渡江云, 第二次数学危机

月黑狂草劲,引弓疾射,白羽没石棱。

问龙城飞将,刹那之间,激箭几途程?

倏时瞬刻,矢是否、息止无声?

飞矢静、匈奴哂笑,汉将逞何能!


执争,无穷小量,是否当零,竟无从举证。

微积分、虽则神算,却饱折腾。

共识极限趋零近,众惑乱、旷若发蒙。

飞矢啸,休说李广难封!


  古希腊数学家芝诺(Zeno of Elea,公元前464-前461)提出了一系列关于运动的不可分性的哲学悖论,被记录在亚里士多德的《物理学》一书中。芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。这些悖论是芝诺反对存在运动的论证其中最著名的是:飞矢不动。他说由于距离=速度×时间,时间越短箭走的距离约短,那么在时间非常非常非常短的某一刻,箭应该是不动的,所以运动是不可能的!芝诺悖论表明希腊人已经意识到了“无穷小”与“很小很小”的矛盾,但他们无法解决这些矛盾,在几何证明中排除了无穷小。
  17世纪晚期,牛顿核莱布尼兹发明了一种全新的计算方法——微积分,所谓的微分,举个例子,拿直尺来量弧线误差是很大的,但我把弧线切成一段段非常微小的线段,这些线段用直尺来量误差似乎就没有那么大了,我把弧线切分成无限的线段,那么误差就没有了,这种方法叫做微分。再把这无限的线段加起来,就得到了弧线的长度,这种方法叫做积分。
  随着微积分的广泛运用,在微积分大范围应用的同时,关于微积分基础的问题也越来越严重。关键问题就是无穷小量究竞是不是零?无穷小及其分析是否合理?由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论,造成了第二次数学危机。在近200年的时间里,无数的数学家为了解决危机而努力完善数学体系,直到19世纪20年代,在波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利、威尔斯特拉斯、狄德金和康托的努力下,用ε→δ的方法叙述了一系列重要概念如极限、连续、导数和积分等,建立了数学分析的严格体系,第二次数学危机最终得以解决。



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