引用本文

孙燕, 张弛, 路兴龙, 王靖戈, 付俊. 具有不等式路径约束的微分代数方程系统的动态优化. 自动化学报, 2019, 45(5): 897-905. doi: 10.16383/j.aas.c180302

SUN Yan, ZHANG Chi, LU Xing-Long, WANG Jing-Ge, FU Jun. Dynamic Optimization of Differential-algebraic Equations With Inequality Path Constraints. ACTA AUTOMATICA SINICA, 2019, 45(5): 897-905. doi: 10.16383/j.aas.c180302

http://www.aas.net.cn/cn/article/doi/10.16383/j.aas.c180302

关键词

不等式路径约束，微分代数方程，后向差分法，分点离散法，动态优化 

摘要

针对具有不等式路径约束的微分代数方程（Differential-algebraic equations，DAE）系统的动态优化问题，通常将DAE中的等式路径约束进行微分处理，或者将其转化为点约束或不等式约束进行求解.前者需要考虑初值条件的相容性或增加约束，在变量间耦合度较高的情况下这种转化求解方法是不可行的；后者将等式约束转化为其他类型的约束会增加约束条件，增加了求解难度.为了克服该缺点，本文提出了结合后向差分法对DAE直接处理来求解上述动态优化问题的方法.首先利用控制向量参数化方法将无限维的最优控制问题转化为有限维的最优控制问题，再利用分点离散法用有限个内点约束去代替原不等式路径约束，最后用序列二次规划（Sequential quadratic programming，SQP）法使得在有限步数的迭代下，得到满足用户指定的路径约束违反容忍度下的KKT（Karush Kuhn Tucker）最优点.理论上证明了该算法在有限步内收敛.最后将所提出的方法应用在具有不等式路径约束的微分代数方程系统中进行仿真，结果验证了该方法的有效性.

文章导读

动态优化是约束中含有微分或差分方程的一类数学规划问题[1-3], 其广泛存在于电力系统[4-5]、石油化工[6-7]、生物工程[8-9]、清洁能源[10-11]等.目前在化工过程中基于常微分方程模型的动态优化问题不仅涉及微分方程, 还包括代数方程约束, 这样的系统统称为微分代数系统.此外, 实际的流程工业过程中, 需要某些状态变量或控制变量的函数在其全部运行过程中或部分运行时间内不能超过约束的设定值, 来保证工业过程的质量和安全, 这就需要考虑具有不等式路径约束的动态优化问题.

动态优化问题(Dynamic optimization problem, DOP)的数值求解算法通常分为直接法[12-13]和间接法[14-15].间接法通过求解原问题的最优性条件(即必要条件), 间接地获得原问题的最优解.但是对于相对复杂的问题, 比如包含不等式约束的最优控制问题, 由于状态变量或者控制变量在约束中存在, 求解极为困难[16].此外, 复杂的非线性系统最优性条件很难被定义, 且两点边值问题的求解过程中收敛域可能很小[17].直接法是通过对控制变量离散化, 即控制向量参数化[18] (Control vector parameterization, CVP), 或控制与状态变量同时离散化, 即正交配置(Orthogonal collocation, OC), 将无限维的最优控制问题转化为有限维的非线性最优化问题.由于OC方法的计算复杂度较高, 本文采用CVP方法.

针对具有不等式路径约束的微分代数方程(Differential-algebraic equations, DAE)系统的动态优化问题, 采用直接或间接法对其进行转化后, 仍需要对等式路径约束和不等式路径约束进行处理.胡云卿等将等式路径约束进行微分[19], 将原问题转化为具有不等式的常微分方程(Ordinary differential equations, ODE)动态优化问题, 再使用基于ODE的动态优化方法进行处理, 但是DAE到ODE的转化过程中需要考虑初值条件的相容性, 并且无法在理论上证明有关解的存在性和唯一性[20], 此外, 当约束中变量的幂较高或者变量间耦合程度较高的情况下是不可行的. Pontryagin等将等式路径约束转化为两点边值问题[21]进行求解, 该方法需要增加约束条件, 增加了求解难度. Fabien将等式约束转化为终点约束[22], 这样会导致问题的维数变得很大, 需要对转化后的问题进行降维处理.所以间接地处理DAE中的等式路径约束会引起一系列的问题, 因此本文采用后向差分法(Backward differentiation formula, BDF)[23]直接求解DAE.

对于不等式路径约束, 文献[24]采用多重打靶(Multiple shooting, MS)法, 将不等式路径约束转化为分段的点约束, 每次打靶均需要给出对应打靶分段内该点约束涉及的控制变量和各状态变量合理的范围, 各变量段间的连续还需要一个合适的系数保证, 不然很难得到理想的结果.文献[25]对不等式路径约束的积极与否进行判断, 若不等式路径约束为积极约束, 则结合微分方程在DAE求解器中进行求解, 否则不考虑该不积极约束; 不等式路径约束为积极约束时, DAE阶次可能很高, 所以该方法对DAE求解器要求较高. Jacobson等提出的松弛变量法[26], 通过增加松弛变量将不等式路径约束转化为相应的等式路径约束, 但是这种方法难以处理不等式路径约束数比控制变量数多的问题; Vassiliadis等[27]通过离散化将约束项在问题时间约束段内选择有限个内点进行离散化, 通过惩罚函数法将约束违反的积分设为0来保证约束的无违反, 但是此方法可能会在NLP问题中引进较多的约束条件; Floudas提出的凸函数近似法[28]主要应用于静态系统, Chachuat等[29]将其改进应用在动态系统的最优控制上, 此方法求得的数值解虽然可以严格满足不等式路径约束, 但算法复杂度较高; Rehbock等提出的精确罚函数法[30]能够成功求解具有不等式路径约束的复杂最优控制问题[31], 该方法虽然在算法复杂度上有所改善但是不能严格满足不等式约束, 且约束违反程度不能确定; Liu等[32-33]提出了一种新颖的光滑化精确惩罚函数法, 将不等式路径约束转化为一个光滑化惩罚项加到目标函数中, 将问题转变成一个无约束优化问题; 由于目标函数表达式会因不等式约束的违反程度随时间而改变, 所以如何获取问题转化后目标函数的梯度信息是一个难点. 2005年Chen在之前的CVP-OC混合方法基础上进一步提出了有限收敛法[34], 问题初始求解时不考虑不等式路径约束的最优控制问题, 将初始所得解做为初始解以此优化原问题, 这样可以使得优化过程得以优化.然而该方法受限于带有不等式路径约束的ODE动态优化问题, 对于带有不等式路径约束的非0阶DAE动态系统的适用性有待探究.

因此, 本文针对具有不等式路径约束的DAE系统的动态优化问题, 采用只对控制变量进行参数化的CVP方法, 将无限维的DOP转化为有限维的DOP, 仍然保留系统的动态特性.通过分点离散化方法将不等式路径约束转化为有限的内点约束进行处理, 设计了在指定的路径约束违反容忍度下通过有限步迭代获得KKT (Karush Kuhn Tucker)最优点的算法.然后利用BDF方法求解DAE方程组, 再采用序列二次规划法(Sequential quadratic programming, SQP)获得满足不等式路径约束的最优解.最后将该算法应用在工业化工问题中, 仿真结果表明了该算法可以获得最优控制轨迹并有着良好的路径约束效果及收敛性.

本文的主要贡献如下:

1) 采用后向差分法直接求解DAE, 避免将DAE化为ODE的过程中会产生的解的相容性、维数增加等前文所述问题. 2)所采用的处理路径约束的方法不会改变目标函数的结构形式.并且可以在指定路径约束违反的容忍度的条件下, 经过有限步迭代得到最优解.

本文结构如下:第1节对具有不等式路径约束的DAE系统的最优控制问题进行描述.第2节阐述本文所采用的求解动态优化问题和处理不等式路径约束的算法.第3节将算法应用于工业化工问题.最后对本文所做工作进行了总结并提出了对未来可以改进的方面进行了展望.

图 1  算法主要结构图

图 2  控制变量分段示例

图 3  控制曲线

本文针对带有不等式路径约束的DAE系统的动态优化问题, 提出了一种直接求解该类型问题的框架, 首先, 通过CVP将无限维的动态优化问题转化为有限维的动态优化问题; 然后, 利用分点离散方法, 设计了一个可以在一定容忍度下满足路径约束的算法, 并在理论上论证了该算法可以在有限步数的迭代下收敛; 最后, 利用催化剂混合问题和压力限定批量反应堆问题仿真研究验证了本文所提方法的有效性.

本文对控制变量进行的是等分离散化, 但对局部变化较大的控制信号, 等分离散化不能准确地反应真实的控制信号.因此本文下一步的工作将研究根据控制信号曲线自适应地进行CVP离散化.

作者简介

孙燕

东北大学流程工业综合自动化国家重点实验室硕士研究生.主要研究方向为动态优化, 不等式路径约束.E-mail:suny618@foxmail.com

张弛   

东北大学流程工业综合自动化国家重点实验室博士研究生.主要研究方向为切换系统的动态优化, 全局优化.E-mail:deville136@hotmail.com

路兴龙   

东北大学流程工业综合自动化国家重点实验室博士研究生.主要研究方向为自适应动态规划, 非线性控制理论, 故障检测与诊断.E-mail:xinglonglu@stumail.neu.edu.cn

王靖戈   

东北大学硕士研究生.主要研究方向为多智能体系统一致性问题, 切变网络, 事件驱动控制策略, 非凸受限.E-mail:wangjingge@hotmail.com

付俊   

东北大学流程工业综合自动化国家重点实验室教授.主要研究方向为动态优化, 切换系统, 非线性控制.本文通信作者.E-mail:junfu@mail.neu.edu.cn