评析：2017上海高考第12题

大罕

      2017年上海高考数学第12题是一道压轴题。它有一定的难度。难，表现在两个方面：一是用纯数学语言表达题意，做题时读懂题意会有一定困难；二是本题的背景是什么，或者说本题的“题根”在哪里，短时间内不一定能弄清楚，因此只能连蒙带猜做题，或者“脚踩西瓜皮，滑到哪里是哪里”。

     【题目】如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1,P2,P3,P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={ P1,P2,P3,P4}，点P∈Ω，过P作直线lP，使得不在lP上的“▲”的点分布在lP的两侧，用D1(lP)和D2(lP)分别表示lP一侧和另一侧的“▲”的点到lP的距离之和. 若过P的直线lP中有且只有一条满足D1(lP)=D2(lP)，则Ω中所有这样的P为(     ).(填空)

     【评析】

（一）理解题意

 一字一句扣，可知本题的意思是：

 在如图的5×7格的方格中，经过点Pi (i=1,2,3,4 )作直线lP，使得标记为“▲”的四个点分别位于该直线的两侧，且一侧的点到该直线的距离之和与另一侧的点到该直线的距离是相等的。问：在点Pi (i=1,2,3,4 )中，哪几个点能做得到？

（二）寻找“题根”

 如何破题？顺藤摸瓜吧！

 设记为“▲”的四个点为A,B,C,D，线段AB,BC,CD,DA的中点分别为E,F,G,H，易知EFGH为平行四边形。且记点A,B,C,D到直线lP的距离为h(A), h(B), h(C), h(D)，

 四个点不在lP的同一侧，那么就有两种可能：

 ⑴若lP的两侧分别有二个点：如图2，点A,B和C,D分别在直线lP的两侧，若h(A)+h(B)＝h(C)+h(D)，则有h(E)=h(G)，即h(E)和h(G)所在的线段平行且相等，于是可构成相应的平行四边形，因此直线lP必过EG的中点。

 若点A,C和B,D分别在直线lP的两侧，同理可知直线lP必过FH的中点。

 于是，直线lP必过口EFGH的对角线的交点M.

 ⑵若lP的一侧有三个点，另一侧有一个点：如图，点B,A,D和C分别在直线lP的两侧，若h(A)+h(B)+h(D)＝h(C)，即h(A)+ h(D)＝h(C)－h(B)，由平几知识有，h(A)+h(D)＝2h(H)，且h(C)-h(B)＝2h(F)，则有h(H)=h(F)，即h(H)和h(F)所在的线段平行且相等，于是可构成相应的平行四边形，因此直线lP必过FH的中点。

 若点A,D, C和B分别在直线lP的两侧，同理可知直线lP必过EG的中点。

 于是，直线lP必过口EFGH的对角线的交点M

 综合以上两种情况，即满足已知条件的直线必经过EG和FH的交点，

 至此，本题的“题根”基本上找到了，这就是：任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，让四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，那么该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和是相等的。

 下面再看这道题就比较“简单”了。在图4上连线，不难发现，四边形ABCD两组对边中点的连线交于点P2，也就是说，符合条件的直线lP一定经过点P2，因此：

 经过点P2的直线有无数条；

 同时经过点P1和P2的直线仅有一条，

 同时经过点P3和P2的直线仅有一条，

 同时经过点P4和P2的直线仅有一条，

 所以符合条件的点为P1、P3、P4.

（三）回味提升

 这道题用坐标法行不行？回答当然是肯定的。例如，以左下角格点O为原点，建立如图5坐标系，则

  P1(0,4), P2(3,2), P3(4,2), P4(6,5),

  A(0,3), B(1,0),C(7,1),D(4,4),

  E(1/2,3/2), F(4,1/2), G(11/2,5/2), H(2,7/2),

  直线EG的解析式为x-5y+7=0，

  直线FH的解析式为3x-2y-13=0，

  直线EG与FH交于点(3,2),正是点P2.

  这里还必须指出的是，任意四边形两组对边中点的连线交于一点，此点叫做四边形的4号心。

  关于n边闭折线的k号心是这样定义的[1]：

  定义：设O是闭折线A1A2…AnA1所在平面内的定点，k是任一给定的正整数，则满足等式：向量OQ=(1/k)∑OAi(i=1→n)的点Q称为闭折线A1A2…AnA1（关于点O）的k号心。

  利用这一定义，记本题中的四边形ABCD的4号心为Q，则

  OQ=(1/4)(OA OB OC OD) =[(0,3) (1,0) (7,1) (4,4)]=(3,2)=OP2,

   即点P2与点Q重合，是四边闭折线(四边形)ABCD的4号心。

   本题是否能再加以推广，也是值得探讨的问题。本文不予赘述。

   总之，2017年上海高考数学第12题是一道考查能力的题目，一是数学理解力，二是数学转化力。这就给我们一个启示：我们在教学中要加强对基本问题(往往是题根)的训练，而这个训练不能只停留在模式化的阶段，而是要通过训练，强化理解力，提高转化力。

  参考资料

   [1]熊曾润，平面闭折线趣探，中国工人出版社，2002.