土壤渗透率公式的建立

通过土壤结构数学模型的分析，我们不仅可以把土壤孔隙作为毛细圆管，而且还可以应用化验室室内化验获得的土粒密度﹑土壤容重和土壤颗粒组成资料，求解出土粒间有效孔隙半径的大小，为土壤渗透率公式的建立解决了关键问题。

1普氏定理

   水在土壤中的流动速度较小，属于层流运动，见图6.1。

图6.1层流示意图

Fig. 5.1Diagramfor laminar flow

以土粒圆心A为原点建立直角坐标系，y为纵轴向下为正值，x为横轴。土粒的半径为r。B是沿着土粒表面形成的一个半径为R的毛细管孔。从充满做匀速运动的水流管道中任取一点C，C到管道中心的距离为 $y^{1}$ ，C点围绕管道中心轴旋转360°，形成一个面积为 $\pi \left ( y^{1} \right )^{2}$ 的圆，面积为 $\pi \left ( y^{1} \right )^{2}$ 的圆沿着管道中心左右各移动了一个长度为L/2的距离，形成一个侧面积为 $2\pi y^{1}L$ 的圆柱面，圆柱面包围的水柱体积为 $\pi \left ( y^{1} \right )^{2}L$ ,连接AC并延长与管道中心轴交于C¹, C¹为水柱的重心，由于这个水柱在管道中做匀速运动，所以作用在水柱横断面上的外力 $F=\rho \pi \left ( y^{1} \right )^{2}$ 和作用在水柱侧面积上的力 $\tau 2\pi y^{1}L$ 相等，即：

            $\rho \pi \left ( y^{1} \right )^{2}=\tau 2\pi y^{1}L$                  ﹙1﹚

由牛顿内摩擦定律可知：

  $\because \tau =-\nu \frac{du}{dy^{1}}$                             ﹙2﹚

$\tau$ 的方向与水柱运动方向相反为负值。

  $\therefore \frac{du}{dy^{1}}=-\frac{py}{2\nu L}$

积分得：

   $u=-\frac{p}{2\nu L}\int y^{1}dy^{1}=-\frac{p}{2\nu L}\left ( \frac{\left ( y^{1} \right )^{2}}{2} +c\right)$                  ﹙3﹚

当 $y^{1}$ =R时, $u$ =0代人上式得：

   $c=-\frac{R^{2}}{2}$

      $\therefore u=\frac{p}{4\nu L}\left ( R^{2}-\left ( y^{1} +c\right ) \right )$                        ﹙4﹚

这是一条抛物线，当y¹=0时，u有最大值：

$u_{max}=\frac{pR^{2}}{4\nu L}$                                         ﹙5﹚

其平均流速为

      $\bar{u}=\frac{pR^{2}}{8\nu L}$                                          ﹙6﹚

由解析几何可知，回转抛物体的体积为1/2底面积乘以高，即：

$Q=\frac{1}{2}\pi R^2\times \frac{pR^2{}}{4\nu L}=\frac{\pi R^{2}p}{8\nu L}{}$                            ﹙7﹚

上式为水流通过单个圆直管做层流流动的流量公式，此为普式﹙Poiseuill﹚定理。普式﹙Poiseuill﹚定理说明液体层流流动的流量与压力p成正比，这一论断和法国工程师达西﹙Darcy﹚1856年的渗透实验结果是一致的。同时，普式﹙Poiseuill﹚定理还解决了液体层流流动的流量与圆直管半径﹑水的黏性系数之间的函数关系，为土壤渗透率公式的建立打下了有利的基础。

   2  毛细管水流流量

利用球模型，我们进一步考虑液体水沿着土粒流动的情况，水柱在外力F的作用下，以平均速度 $\bar{u}$ 在孔隙通道中流动，方向与切线方向相同，其水平分速度和垂直分速度分别为：

    $u_{x}=cos\left ( 180^{\circ}-\alpha \right )$                                 ﹙8﹚

    $u_{y}=sin\left ( 180^{\circ} -\alpha \right )$                                   ﹙9﹚

当水从土球顶部流到底部时，水平移动的距离为零，垂直距离为土球直径d，因而只研究水垂直流速 $u_{y}$ 。由于 $u_{y}$ 是随着切线方向的改变而呈正弦曲线变化的周期函数，既有大小又有方向变化，当切线和X轴的交角α=90°时， $u_{y}$ 有最大值，即： $u_{max}$ = $\bar{u}_{\circ }$ 。设渗流流过两个土粒所需要的时间为一个周期T，渗流流到任意一点c经过的时间为t，角速度为ω，则：

$T=\frac{2\pi }{\omega }$

$\alpha =\omega t$

$u_{y}=sin\left ( 180^{\circ}-\alpha \right )\bar{u}=sin\alpha \bar{u}=sin\omega t$

$u_{y}$ 是一个即有大小又有方向变化的矢量，其平均模长，即有效值不能用算数平均值表示。因当 $t=\frac{1}{2}T$ 或t=T时，算数平均值 $\bar{y_{y}}=\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\int_{t_{1}}^{t_{2}}sin\omega t=0$ ，这里t₁=0为渗透水开始渗透的时间。而实际上渗透水在土壤中沿垂直方向是流动的。为了克服算数平均值的缺点，我们用 $u_{y}$ 的均方根表示 $u_{y}$ 的有效值 $\bar{u_{y}}$ ，则：

$\bar{u_{y}}=\sqrt{\frac{1}{t_{2}-t_{1}{}}\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left ( sin\omega t\bar{u}^{} \right )^{2}dt}$                        ﹙10﹚

当水流开始从土球顶部流到土球的底部时，t₁=0， $t_{2}=\frac{1}{2}T=\frac{\pi }{\omega }$ ，代入﹙10﹚式得：

$\bar{u_{y}}=\sqrt{\frac{\omega }{\pi }\int_{0}^{\frac{\pi }{\omega }}\left ( sin\omega t\bar{u} \right )^{2}}dt=\frac{\sqrt{2}}{2}\bar{u}=\frac{\sqrt{2}R^{2}p}{16\nu L}$   ﹙11﹚

Q_y=底面积×平均速度= $\frac{\sqrt{2}\pi R^{4}p}{16\nu L}$                    

此为水流通过单个弯曲的毛细孔管的流量公式。

   3  土壤渗透率公式

在土壤结构的数学模型中，我们已经解决了土壤中土粒半径r与孔隙半径R的关系，水流路程L与距离l的关系，在自然条件下土壤中大土粒形成的孔隙被小土粒填实的大土粒数量，某一个径级土粒形成孔隙的数量，既

      $R_{i}=Ar_{i}=A\frac{d_{i}}{2}$

        $L=l\frac{A+0.5\pi }{A+1}$

$\lambda _{ij}\div 100=\frac{k}{k_{max}}\times 100$ %    

        $N_{i}=\frac{k\lambda _{i}}{\pi R^{2}10000}$    

某一个径级的土粒形成的孔隙流量Q_i为单孔流量Q_y与孔隙数N_i之积，全部径级总流量Q_n为各个径级流量之和，即

  $Q_{n}=\sum_{i=1}^{n}Q_{i}=\frac{\sqrt{2}A^{2}mgk\left ( A+1 \right )}{64\nu \left ( A+0.5\pi \right )100}\sum_{i=1}^{n}d_{i}^{2}\lambda _{i}\div 100$                  ﹙12﹚

当静水压力H=5cm时，相当于10cm高的水柱移动10cm的距离，即l=10cm，将式﹙12﹚所得cm³·s^-1除以单位面积再乘以10转化为mm·s^-1时，则得：

 （单位为mm·s^-1）  ﹙13﹚

式﹙13﹚就是土壤渗透率公式。

式中：

A—土粒半径与孔隙半径的比例系数，R=Ar；

  m—水的质量， $m=\rho V$ ，对于单位面积的土壤，常温条件下，水的密度 $\rho$ 可以作为1处理，这样一来，水的质量m就与静水压力高度H在数值上相等；

  g—981cm·s^-2重力加速度；

  K%—实测土壤孔隙度， $\frac{k}{100}=\frac{\rho _{s}-\rho _{b}}{\rho _{s}}$   $\rho _{s}$ 为土粒密度， $\rho _{b}$ 为土壤容重；

ν—水的运动黏性系数，水温10℃时,ν=0.0131cm²·s^-1；

  $\pi$ —3.14159，圆周率；

 d_i—透水土粒直径(cm)，用土粒径级中值表示；

$\lambda _{i}$ %—透水土粒百分含量。