土壤结构的数学模型

 1  柱模型和球模型

为了研究土壤结构的孔隙形状，许多研究者曾设想某种“理想土壤”，即土壤由同样大的颗粒所构成。这些颗粒排列的样式和松紧程度会构成形状不同的孔隙，其容积也有很大的差异。例如，当球粒排列得疏松，颗粒中心位于立方格子的角上，这种排列称为立方体排列，这种排列每一个球粒要同模型中其他六个球粒互相接触，这时的孔隙容积为47.64%，固体球粒所占容积就为52.36%。当球粒排列得很紧，球粒中心位于等边四面体的角上，构成六面体排列，每个球粒与邻近12个球粒相接触，这时孔隙容积为25.95%，固体球粒所占容积就为74.05%。应用“理想土壤”来阐明土壤的孔隙形状与实际土壤的孔隙形状有很大差异，尽管这样，它还是说明土壤的孔隙形状是与土壤颗粒排列的样式有关。有关详细情况查阅前苏联A.A.罗戴著《土壤水》。

我们建立的土壤结构数学模型，对于3维结构的空间由体积不同的圆球和圆孔构成，此为球模型，在3维结构也就是立体结构时对土壤进行讨论应用球模型，球模型中土壤由不同直径的球组成，土壤孔隙由不同直径的孔球组成，我们假设一个球一个孔隙，相同径级的土球相切形成孔隙，不同径级的土球不能形成孔隙。

我们建立的土壤结构数学模型，对于2维结构的空间由体积不同的圆土柱和圆孔管构成，此为柱模型，在2维结构也就是平面结构时对土壤进行讨论应用柱模型，我们假设相同径级的土柱相切形成孔隙，不同径级的土柱不能形成孔隙，一个土柱一个孔隙，土柱和孔隙高度相等。

  我们建立的土壤结构数学模型由体积不同的圆球和圆孔构成，此为球模型。土壤结构数学模型由体积不同的原土柱和原孔管构成，此为柱模型。柱模型中，土壤由不同直径的土柱组成，土壤孔隙由不同的圆管组成，相同径级的土柱相切形成孔隙，不同径级的土柱不能形成孔隙，一个土柱形成一个孔隙。土柱和孔隙高度相等。球模型中土壤由不同直径的球组成，土壤孔隙由不同直径的孔球组成，一个球形成一个孔隙。相同径级的土球相切形成孔隙，不同径级的土球不能形成孔隙。

   2  柱模型中土柱和孔隙的数量关系

柱模型中，3个土柱相切可以形成一个孔隙，4个、5个……M个土柱相切均可以形成一个孔隙，记作3式、4式、5式、……M式，从平面几何学的角度看，无论多少个土柱相切形成的孔隙均不是圆管。根据水力学液体一元流动的连续性方程阐明的道理，不可压缩液体的恒定总流中，任意两个过水断面，其平均流速与过水断面面积成反比。液体一元流动的连续性方程是水力学中的一个基本方程，它是质量守恒原理在水力学中的具体体现。其数学表达式为：

Q = u₁ω₁ = u₂ω₂ = 常数                                     ﹙1﹚

这就是液体总流的连续性方程，它说明不可压缩液体的恒定总流中总流量等于平均流速ū与过水断面面积ω之积，而与过水断面形状无关。因此，我们可以把形状不规则的孔管当作圆管。也可以这么说，孔隙的形状只是孔隙本质特性的表面现象，人们不能被表面现象所迷惑。连续性方程是个不涉及任何作用力的运动学方程，所以，它无论对于理想液体或实际液体都适用。连续性方程不仅适用于恒定流条件下，而且在边界固定的管流中仍然适用。

图2.1为6个土柱相切形成的一个孔隙，由图2.1可知，

                  图2.1土柱和孔隙的数量关系

S_孔=S_多－6S_{扇 $=6r^{2}\left ( ctg\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{2} +\frac{\pi }{6}\right )$}                   ﹙2﹚

证明如下：

正多边形S_多是由M个⊿AOD组成的，6个园相切⊿AOD为6个。其面积为：

S_多=M·⊿AOD=M· $\frac{1}{2}$ ·AD·OB

∵AD=2r

OB=AB·ctg $\frac{\angle AOD}{2}$ =r·ctg $\frac{\pi }{M}$

∴S_多=M·r ² ·ctg $\frac{\pi }{M}$                                  ﹙3﹚

孔隙面积S_孔等于正多边形面积S_多减去M个扇形面积S_扇.。

   S_孔=S_多-M·S_扇

∵M·S_扇=M· $\frac{1}{2}$ ·r²· (π- $\frac{2\pi }{M}$ )

∴  S_孔=S_多-M·S_扇

              =M·r²(ctg $\frac{\pi }{M}$ - $\frac{\pi }{2}$ + $\frac{\pi }{M}$ )                               ﹙4﹚

   由式（4），我们可以计算出毛细管半径R₀,当M=4时，R₀=0.5227r，当M=5时，R₀=0.8310r,当M=6时，R₀=1.1437r。显而易见，孔隙面积与土壤颗粒半径r的平方成正比，随着组成孔隙的土壤颗粒数增加而增加。

实际情况的土壤颗粒存在不流动的吸湿水，土壤颗粒形成的很细的一部分孔隙，液体水也是不流动的，因而可以用内切圆代表过水断面，内切圆的半径R即为有效孔隙半径。由图1可知：

R=OA-r

∵OA=r· csc $\frac{\angle AOD}{2}$ =r· csc $\frac{\pi }{M}$

∴ $R=r\left ( csc\frac{\pi }{M} -1\right )$                                     ﹙5﹚

式（5）是单个孔隙(指有效孔隙，下同)半径R和相应土壤颗粒半径r的关系式。

从土壤孔隙度定义可知：

K% $=\frac{s_{kong}}{s_{tu}+s_{kong}}\times 100$ %

$s_{kong}$ -孔隙面积

$s_{ti}$ -土柱面积

∵ $s_{tu}=\pi r^{2}" style="line-height:110%;$

    $s_{kong}=Mr^{2}\left ( ctg\frac{\pi }{M}-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{M} \right )$                  

   ∴K_i%=  $\frac{2M\left ( ctg\frac{\pi }{M} -M\pi +2\pi \right )}{2M\left ( ctg\frac{\pi }{M}-M\pi +4\pi \right )}\times 100$ %                      ﹙6﹚

式（2.6）是土壤颗粒按3式、4式、5式、6式形成孔隙时计算孔隙度的公式。

土柱本身也按上述规则形成2级孔隙，记作33式、44式、55式……，只有1级孔隙的土粒为单粒，具有2级孔隙的土粒为团粒。用式﹙2.5﹚和式﹙2.6﹚计算的各种孔隙形式形成的孔隙度和有效孔隙半径与土柱半径之间的系数﹙ $csc \frac{\pi }{M}-1$ ﹚如表1。

表1各种孔隙形式孔隙度﹙ $csc\frac{\pi }{M}-1$ ﹚理论值