最近在看《数学物理方法》这本书，里面提到光的传播满足费马原理：光线传播的路径是“需时最少”的路径。于是可以通过极值即导数为0这一知识点来推导出光的反射和折射定律。

这时我就想到似乎中学时学过类似的内容，于是尝试用初等方法来推导证明，记录一下思路。以后万一有小朋友问的话，可以讲一下。

相关内容在中学习题集上应该有的吧。反正在网上都可以找到。

反射：已知两点 $A,B$ 在直线的一侧，求在直线上的一点 $C$ 使得 $|AC|+|BC|$ 最小。

思路：

把其中一个点如 $B$ 镜像到直线的另一侧 $B'$ ，连结 $AB'$ 与直线相交于点 $C$ ，

假设直线上还有另一点 $C'$ ，由三角形两边之和大于第三边可知

$|AC|+|B'C|=|AB'|<|AC'|+|B'C'|$ ，

由对顶角相等和对称性可得入射角等于反射角。

折射：已知两点 $A,B$ 在直线的两侧，求在直线上的一点 $C$ 使得 $\frac{|AC|}{v_1} + \frac{|BC|}{v_2}$ 最小,其中 $v_1, v_2$ 为正值常数。

思路：假设有一点 $C'$ 也在分界线上，从 $C'$ 分别往 $AC,BC$ 上作垂线，

则可将 $AC,BC$ 分别分成两部分： $AA_1,A_1C$ 和 $BB_1,B_1C$ ，其中一个垂足在 $AC$ 或 $BC$ 的延长线上。 $\frac{|AC|}{v_1}+\frac{|BC|}{v_2}=\left(\frac{|AA_1|}{v_1}+\frac{|BB_1|}{v_2}\right)\pm\left(\frac{|A_1C|}{v_1}-\frac{|B_1C|}{v_2}\right)$

由C点满足的条件（ $\sin{\alpha_1}/\sin{\alpha_2}=v_1/v_2$ ）结合 $\Delta{CC_1A_1},\Delta{CC_1B_1}$ 可得后一个括号里的值为0，

剩下的部分根据直角边小于斜边可推得结论。

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试用了下公式功能，排版效果不好，考虑以后换个地方。