中秋节就要到了，看着那圆圆的月亮，有心却也无力联想那些“举杯邀明月”，“千里共婵娟”的美妙词句了。脑海里飘出的，却是多年前思考过的一个数学问题，真是职业病，没情趣！

      圆圆的月亮是个球体，球体的表面就是球面，准确地说是二维球面，数学上记作 $S^2$ 。我们要谈论的话题，是高维球面 $S^n$ 上的向量场。

      若 $n$ 为偶数，则 $S^n$ 上的向量场必有零点。只有当 $n$ 为奇数时， $S^n$ 上才存在非奇异向量场。奇数维球面上的非奇异向量场是否一定有周期轨道呢？不一定，有反例。这就产生了一个有趣的问题：怎样的非奇异向量场有周期轨道？这个问题很难，先从简单情形说起。

      设 $S^{2n-1}$ 是 $R^{2n}$ 中的单位球面（半径大小其实无所谓）。对任意 $x\in S^{2n-1}$ ，记 $\upsilon (x)$ 为单位法向量，又记 $J$ 为 $R^{2n}$ 中的标准辛矩阵，则 $J\upsilon (x)$ 是 $S^{2n-1}$ 上的 $Hanilton$ 向量场。这个向量场的每条轨道都是周期的，表达式也可以算出来。

      讨论不动点问题时，恒等映射是最简单的，每个点都是不动点。对于那些由恒等映射作摄动生成的映射，也容易得出不动点的存在性。那么，研究球面上非奇异向量场的周期轨道时，似乎也应该以 $J\upsilon (x)$ 为参照，讨论那些与 $Hanilton$ 向量场“接近”的向量场。总感觉下述结论是成立的：

      结论：设 $V(x)$ 是 $S^{2n-1}$ 上的非奇异向量场， $V(x)$ 与 $J\upsilon (x)$ 夹角为锐角，则 $V(x)$ 有周期轨道。

      究竟成立不成立，不知道，猜猜而已。这个问题应该很有趣，但不会简单。这个问题也与流形结构有关，环面上存在这样的向量场，所有轨道都是周期的，但轻微扰动之后，周期轨道全部被破坏了。