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灭绝方程的近似解

已有 3572 次阅读 2012-5-18 22:45 |系统分类:论文交流| 生存方程, 灭绝方程, 近似解

  灭绝方程的精确求解看来是比较困难的,这里利用“生存方程部分精确求解”中的结果来尝试一些近似解。
  为便于分析,先列出方程:
  [left{ begin{array}{l}
 frac{{d{A_1}}}{{dt}} = {c_1}B - {e_1}t.............................................................(1) \
 frac{{d{A_2}}}{{dt}} = {c_2}B - {e_2}t............................................................(2) \
 frac{{dB}}{{dt}} = (a - {b_1}{A_1} - {b_2}{A_2})B - frac{alpha }{{1 + {e^{beta (B - k)}}}}..................................(3) \
 end{array} right.]  
  不考虑衰减因素,即e1=e2=0,则可以获得一个精确解:
  [B(t) = {left{ {frac{1}{{2exp ( pm frac{{t + {rm{F}}}}{{2D}} - Const.) + {rm{C}}exp [ - ( pm frac{{t + {rm{F}}}}{{2D}} - Const.)]}}} right}^2}..............(4)]
  简写为:
  [B(t) = {left{ {frac{1}{{alpha {e^{kappa t}} + beta {e^{ - kappa t}}}}} right}^2}..................................................(5)]
  将公式(5)代入方程(1),可以求出:
  [{A_1} = frac{{{c_1}}}{{2kappa beta }}{(alpha  + beta {e^{ - 2kappa t}})^{ - 1}} - frac{{{e_1}}}{2}{t^2} + Const.]
  考虑到t=0时,A1=0,可以求出:
  [{A_1} = frac{{{c_1}}}{{2kappa beta }}{(alpha  + beta {e^{ - 2kappa t}})^{ - 1}} - frac{{{e_1}}}{2}{t^2} - frac{{{c_1}}}{{2kappa beta }}{(alpha  + beta )^{ - 1}}............................(6)]
  同理可以求出:
  [{A_2} = frac{{{c_2}}}{{2kappa beta }}{(alpha  + beta {e^{ - 2kappa t}})^{ - 1}} - frac{{{e_2}}}{2}{t^2} - frac{{{c_2}}}{{2kappa beta }}{(alpha  + beta )^{ - 1}}...........................(7)]
  如果e1和e2都很小,不会对B(t)产生很大的影响,则(4)(6)(7)为该方程的近似解。
  如果c1, e1, c2都很小,但是e2足够大,则方程(2)的e2t项将对B(t)产生影响,此时尝试着将公式(7)代入方程(2),得到:
  [frac{{dln B}}{{dt}} = a - frac{{{b_1}{c_1} + {b_2}{c_2}}}{{2kappa beta }}{(alpha  + beta {e^{ - 2kappa t}})^{ - 1}} + frac{{{b_2}{e_2}}}{2}{t^2} + frac{{{b_1}{c_1} + {b_2}{c_2}}}{{2kappa beta }}{(alpha  + beta )^{ - 1}}]
  [frac{{dln B}}{{dt}} = M - N{(alpha  + beta {e^{ - 2kappa t}})^{ - 1}} + P{t^2}]
  [B = Qexp [Mt + frac{1}{3}P{t^3} - frac{N}{{2alpha kappa }}ln (alpha {e^{2kappa t}} + beta )]]
  该结果的意义为,如果e2足够大,则在A2快速衰减到0以后,B(t)将迅速增加。而该参数的迅速增加,将又会导致A2的快速增加,进而引起B(t)的减少。
  


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