地震地热说原理：知识库12

球泡动力学(4)

本文节译自《CAVITATION AND BUBBLE DYNAMICS》by Christopher Earls Brennen  © Oxford University Press 1995。此书从网上免费下载。作者只节译自己所需章节，用作公益性科学研究的基础资料，非商业用途。作者不懂节译是否涉及版权问题。如有不当，请专家们指正。谢谢原作者，也谢谢张宇宁先生推荐。           Seisman 2011.8.6 记

2  球泡动力学

2.10 对流效应

  另外，由于对流引起的空泡与液体的相对运动会使得界面上的传热率发生改变。传热率的这种增加通常用努赛尔数Nu（Nusseltnumber）来表示，是由热传导率定义来的真实传热率。因此，在目前情况下，这个因子Nu，在 Rayleigh – Plesset 方程的热力项中应作为一个乘数。然后我们来寻找 Nu 和 Peclet 数 PE 之间的关系，P_E = WR /α_L，其中 W 是空泡相对液体的典型平移速度。空泡生长和平移的合适关系尚不清楚，解析这个问题比 Plesset 和 Zwick 处理的问题要复杂得多。不过，可以推测 Nu（P_E）的形式，然后来观察空泡生长率的结果。因此，让我们来假设这种关系在许多对流换热问题中通用的近似形式：

          (2.66)

式中 C 是某种归一的常数。我们还必须确定相对速度 W 的形式，它可能有几个原因构成。在空化流或者沸水池中，它可能由于液体的加速而造成的压力梯度形成。它也可能是由于附近固体边界的压力造成的。

  尽管对流的传热效果很难准确评估，对于空泡按 R = R *tⁿ 生长的情形我们可以假设两种可能的平移运动的定性影响。第一个效应是浮力，在没有粘性阻力的情况下由于浮力引起的的相对速度 W，可以近似地定为 gt。只要 ν_Lt<< R²，粘性阻力对空泡就没有太大影响。第二个例子是固体墙上空泡的生长，其有效的对流速度大约为 dR / dt，因此 W 为 R * t^{n - 1}。于是，两种情况的 Peclet 数分别为

          (2.67)

  首先考虑 n= 1 的惯性控制生长。此时对流换热的影响只会发生 P_E≥1 或者时间 t> t_C2 的情况下，即

          (2.68)

式中分别给出的渐近生长率在公式2.33里曾经用到过。

  因此，传热的对流增强只会发生在惯性控制生长 t_C2 <t_c1 的情况下，并且分别要求

          (2.69)

由于 Σ 随温度迅速增加，它更可能在对比温度低的情况下将这些不等式变真，而不是在对比温度高的时候。例如，水在20 ° C 时不等式2.69的右端分别为 30 和 4 kg/msec²，非常小的张力（和相应片刻的过热）随时可能发生。如果张力大于这个临界值，则对流的影响将变得很重要。另一方面，水在 100 ° C 的值分别相当于160 ° K和0.5 ° K过热，这样就不太可能发生。

于是，在两个空泡移动中的每一个都假设有某种温度，在这个温度下人们会期望在 t_C1之前 P_E 会达到 1。问题是，此后发生了什么，否则将在 t_C1 开始明显的热效应，现在则要改变以强化传热。当 P_E> 1 时 Rayleigh- Plesset 方程热力项将不再按 t^1/2  增长，而是按 t^1/2/N_u 增长，根据的关系2.67，两种空泡移动分别为 t^1/2-2m 和 t^1/2-m。在许多对流换热问题中，如果 M =1/2，生长的热抑制将消失而惯性控制的生长将继续下去。

最后，考虑其他可能的方案，在 t_C2> t_C1 时其中对流换热可能会影响温控生长的事件。由于 n =1/2，浮力诱导运动的 Peclet 数在 t_c3 时将变为 1，即由公式2.63得到

          (2.70)

因此，对流换热可以改变 t = t_C3 以后的热控制生长的形式，事实上，如果 M> ¼ 则惯性控制生长在 t_C3 以后可以恢复。另一个空泡生长的例子在容器壁上，其 Peclet 数保持在 t_C1 时获得的小于 1 的数。因此，如果（P_V - P_∞*）>>ρ_L（Σ²α_L）^1/2 则对流的传热影响会从热抑制生长开始无限期延续，但如果反向是真则对热控制生长的开始和形式只有很少或根本没有影响。

2.11 表面粗糙度的影响

另一个可以影响空泡生长时界面传热过程（并因此影响空泡的生长率）的重要现象，是界面不稳定性的扩展。如果空泡表面变得粗糙和混乱，有效面积的增加和表面附近液体的非定常运动，可以导致对界面传热率的大幅提升。影响延续（甚至无限期），生长率是为热效应所改变。这是对蒸汽爆炸现象一个可能的解释，这在本质上是一个长时间惯性控制空泡生长的结果。

图2.10 一个悬浮在甘油中的过热乙醚的液滴泡沫快速生长的典型照片。

泡沫是黑色的粗糙团; 液滴是清晰的，透明的。照片是成核后 31，44

和 58•s 的不同事件，液滴直径约 2 毫米。

据 Frost 和 Sturtevant（1986）并经作者许可复制。

  Shepherd 和 Sturtevant (1982) 以及 Frost 和Sturtevant (1986)曾经检视过接近过热极限液体中核泡的快速生长，发现处于热控制生长阶段的核泡生长率比预期的大得多。实验研究的是悬浮在另一种不溶合过热液体内的液滴上的核泡生长。典型的照片如图2.10所示，核泡表面粗糙而不规则。这种粗糙造成的传热增强可能增大了生长率。Shepherd 和 Sturtevant（1982）把这个粗糙度归结为界面不稳定斜压的扩展，类似于 Landau-Darrieus 火焰锋的不稳定性。也还要注意到，Frost 和 Sturtevant 报告说这种不稳定可以通过增加环境压力因而空泡内的温度和密度增加从而得到抑制。在2巴的环境压力下，开始可以观察到乙醚空泡表面的不稳定性，伴随着跳跃式地的增大辐射压力，生长率也猛然加速。在很高的环境压力下，不稳定性可以完全抑制。这是因为不稳定的增长率随空泡生长率增加而增加，二者在高环境压力下都会显著减少。这可能是，在其他情况下，2.12节中所述的瑞利 - 泰勒不稳定性可能会引起类似的效果。

2.12 非球形的扰动

除了在上一节所描述的现象之外，迄今为止，一直默认空泡在生长或溃灭过程中都是球形的。换句话说，空泡被认为对非球形失真而言是稳定的。然而，在这个假设不成立的情况下，随之而来的对光滑球形的显著偏离会具有重要的现实后果。

对非球形扰动的稳定性问题，Birkhoff(1954) 和 Plesset 与Mitchell (1956)等人从流体动力学的角度研究过。这些分析基本上是等效球检验 Rayleigh-Taylor 不稳定性，但不包括热效应。如果空泡中的惯性假设可以忽略不计，则球形谐波失真的振幅 a（t）为 n 阶（n> 1），可由下列方程给出

          (2.71)

系数需要全球的动态行为 R（t）的知识。正是从这个等式可以看出，最不稳定的情况发生在 dR / dt <0，d²R/dt²≥0 之时。这些条件在溃灭腔反弹之前将得到满足。另一方面，稳定的情况发生在 dR / dt> 0，d²R/dt² <0 之时，此时空泡生长接近他们的最大尺寸了。

事实上，公式2.71的系数随时间不为常数是因为对平面边界等效 Rayleigh-Taylor 不稳定性的偏离造成的。系数 a 与平面边界并没有太大的不同，在感觉上不稳定是 d²R/dt²>0 时提升，而表面张力则有稳定作用。主要的区别由 da / dt 项引起，它可以理解为几何效应。当空泡生长，界面的波长增大，因此波幅度的增长减少。溃灭时情形正相反。

Plesset 和 Mitchell（1956）研究特定情况下的蒸汽泡/气泡最初是由一个阶跃函数在无限压力下的变化造成的平衡。假定热效应和粘性效应可以忽略不计。还包括空泡内固定质量气体的影响，虽然 Plesset 和 Mitchell 把它省略了。注意：这个简单的球泡生长的问题在第2.4节已经解得 R（t）。本文的一大特色是对 d²R/dt²≥0 求解。正是这个特色引出了不稳定性。然而，在任何实际情况下，起步加速阶段的 d²R/dt²≥0 时间有限，所以问题是不稳定性是否有足够的时间作用于显著的生长。

对蒸发，可以很方便地用独立的变量 Y = R / R_O 代替 t 改写公式2.71，则 a(y) 满足

          (2.72)

式中

          (2.73)

          (2.74)

          (2.75)

其参数为

          (2.76)

分别代表表面张力和气体含量的影响。请注意，正值

(P_V- P_∞)（1 - β₁ + β₂）           (2.77)

意味着空泡的生长从 t = 0 开始，而负值则意味着溃灭。

图2.11 空化泡表面生长幅度a谐波干扰（n 阶表示）的例子，分别对应

两个典型的表面张力和气体含量参数 β₁ 和 β₂。

图2.12 不同表面张力和气体含量参数 β₁ 和 β₂ 的空泡生长时球面谐波的干扰

(i) 最大扰动幅度（n_A）(ii) 扰动幅度与空泡半径 最大比（n_B）

  空泡生长的情况下公式2.72一些典型的数据如图2.11所示，其中振幅比例是任意的。Plesset和 Mitchell 对小 n 进行手工计算，发现生长期只有轻微的放大。然而，由公式2.72可以预期大 n 的幅度可能会大得多。由图2.11可以看出，扰动的幅度达到高峰，然后在生长过程中衰变。对于给定值的参数 β₁ 和 β₂，存在一个达到最大振幅 a 的特定球谐 n = n_A，图2.11中我们选择显示 n 值的数据，支架为 n_A。图2.12显示了 n_A 对 β₁ 和 β₂ 的依赖性。一个略有不同的用 n_B 标注的 n 值表示 a/ y 的最大值。由于后者的数不是 a，而是代表波振幅比波长的量度。图2.12还显示了 n_B 对 β₁ 和 β₂ 的依赖。要完成这张图，图2.13在极大出现的地方标明了（a）_max，（a / Y）_max和泡沫的大小（Y）_{a= max}和（Y）_{a/ Y =max}值。

图2.13 不同表面张力和气体含量参数 β₁ 和 β₂ 的空泡生长表面球面谐波的干扰

最大放大 a_max，最大幅度与气泡半径比（a / Y）_max

还在出现处标明了泡沫的大小（Y）_{a= max}和（Y）_{a/ Y =max}

  综上所述，可以看出，当 d²R/dt²≥0 时空泡生长的初始加速阶段是不稳定的，球谐扰动是很高阶的 n。另一方面，感觉上方程2.71是足以判断，当 dR / dt> 0，d²R/dt² <0 时生长阶段对所有球谐扰动都是稳定的。所以，如果在加速阶段扰动的增长没有足够的时间，那么空泡将继续稳定地生长。Reynolds 和 Berthoud (1981)在他们的水下爆炸实验中观察到，在加速阶段，空泡表面的不稳定性相当大，为 10 的 n 次方。他们也评估了他们的实验中加速阶段的持续时间，并证明运用估计增长率方法，这一阶段长到足以使表面发生显著的粗糙。然而，在生长减速阶段，他们的空泡又会变得光滑。Reynolds 和 Berthoud审查过的空泡都相当大，半径 2.5 厘米和 4.5 厘米。就作者所知，大多数典型的小气泡空化实验并未报道类似的加速段的不稳定性。这可能是加速段时间很短，或者是小气泡表面张力具有更大的稳定作用的结果。

参考文献（略）

第二章完，第三章 空泡的溃灭，待续

（陈立军、陈晓逢译，陈立军校）