对时下流体压强、浮力及势能公式形成的讨论

李务伦

1976年我上中学，初中物理和高中物理都是山东省教材。单位还是公斤、米等，初中物理还没有与现在统编教材将重力加速度引入。流体静压强公式为p=ρh，浮力公式为f=ρv。高中时重力加速度进入了教材，势能V=mgh出现了重力加速度。前不久赵福垚老师向我推荐吴望一先生的（《流体力学》著作）第五章流体静力学（后附该章）。读过该章，回忆中学物理学过的这三个问题，结合手头时下做的事，觉得做上述三公式得出途径对比，应是有意义的事。也想顺势请读到的老师提出批评指导！

1、流体静压强公式

我的初中授业老师全是民办教师，那时受过师范教育的老师极少。老师在教授完基础的公斤、密度、长度等概念后，先是画图传授压力概念，后是画图先传授给我们流体静压力计算公式p=ρh，至于实验根本没有条件，囫囵吞枣的就学了流体静压力公式。那时密度的单位是每立方米吨，每立方分米公斤等。物体的重量是力还是质量没有特别区别，重量等于质量。知道重量是力，以及与质量的区别还是高中学了重力加速度以后的事。

流体中静压力在第五章第5.2节流体静力学通过以场知识的一系列的推导，最后导出液体静力学规律：。p₀是流体表面受到的压力，通常指大气压强，h是流体表面下的深度，g是重力加速度，流体自由表面下，深度h的压力强度为p=ρgh。然这一结果，当忽略地球自转引起的作用，可以从另外方法导出。如图1a所示，含球层得球由内而外密度依次减小。

1.1.均匀球外引力强度

图1a中，假设所有圈层密度都为ρ，R_n=R，球内、外引力强度：

…（1）

…（2）

r=R时，两式相等。

图1

1.2.含球层球内、外引力强度

图1a中含球层球内（最外球层层）、外引力强度：

…（3）

…（4）

当r=R时，两式相等。

1.3.均匀球内压力

图1a中假设所有圈层密度都为ρ，R_n=R球内球内压力：

在上述假设下，球内单位压力在科学网博客《地球系统力学动力学（1）》已推导出如下公式（该公式在第五章流体静力学也有推导）：

…（5）

由式（5）知无旋的球内压力公式知，沿径向单位压力的变化为抛物线，对该公式进行如下变形:

…（6）

当式（6）中R与地球的半径一般大小，引力强度在忽略自转以及r与R基本相同的前提下，E(R)≈g，(R+r)/(2r)≈1，所以球内压力即距球表面下的单位压力为：p(h)=ρhg。这一表达式与现行人教版相同，当除去常数g与p=ρh相同。如果上面的推导还存在不足，下面用含球层的球内压力再次推导！

1.4.含球层最外球层球内压力

含球层球内（最外球层层）压力，球内单位压力在《地球系统力学动力学（3）》已推导出如下公式：

…（7）

对式（7）做如下变化：

…（8）

式（8）中，假设R_n的大小如地球的半径相等，内球及各球层与实际地球相同，不计大气压力，最外层为水圈。当r与R_n相差无几，式（8）中隔点最左侧项为常数项E(R_n)，E(R_n)≈g，中间项约等1，设Rn-r等于h，于是可以得到p(h)=ρhg。

由此可以看出，静止流体下的压强计算公式p(h)=ρhg是一近似公式，这与第五章流体静力学推导路径虽不同，但也得出了相同的结果。而这一结果仅适用小范围的应用，一旦范围扩大到几千米几十千米等，要计算出准确的压力结果就必须应用式（7）。必须强调的是式（7）是不含地球自转与星际引力强度作用的公式。

2、浮力公式

浮力一直被称为定律或原理，浮力的形成原因一直解释为压力差。老师也是画图传授，然后举例。稀里糊涂记住f=ρv。看了第五章流体静力学压力差的数学推导，结合之前的研究（参看科学网博客《地球系统力学动力学（1和2）》），先说结论：浮力的压力差成因解释是错误的，浮力不应称为定律，只能称定理。下面简单陈述其理由。

图1b中图示圆的位置存在与外部相同的液体，流体也是静止的。此时应用第五章图5.3.1中对所圈范围的压力差计算方法，计算图1b图示此时的球压力差为4πr³ρg/3，而这一结果恰是这部分液体在重力场中受到重力相等。压力差照样存在，然而并没有因压力差的存在而掀起“浪花”。可见压力差并不是什么浮力产生的原因，倒是可以根据作用力与反作用力原理，可以看到第五章图5.3.1和图1b中对所圈范围当与外部同密度相同时，底部液体将提供相等的反向力，同时左右两侧也存在一对作用与反作用力以保持液体的静止稳定。这一特征与在科学网博客《地球系统力学动力学（1）》分析图1a小球，在密度与最外球层密度相等时的平衡稳定相一致。在在科学网博客《地球系统力学动力学（1）》称第五章图5.3.1和图1a压力差或重力称稳定平衡力，与之形成平衡着的力称为稳定平衡支撑力。

当图1a球内物质同密度或半径为r₀的小球密度与外球层相等，处于太空的球内所有质点均处于稳定平衡之中，而当半径为r₀的小球密度与上所述存在差别，大球内引力场将发生改变。这种改变来源于小球密度减小或增加，即小球质量较图1a球内物质同密度或半径为r₀的小球密度与外球层相等时的减少与增加，一增一减改变了大球内的引力场，使得大球内所有质点均不再平衡与稳定。小球质量减时，减的质量形成的引力场，投影到大球的任意直径上，小球底部大球径向上就形成一个与大球引力线同向的球，而其外部全部相反向；柱坐标下，在经图1a小球心的水平面与经大球心的平面间，当大球球形引力场和小球减的质量形成的球形引力场，全部变为柱形引力场，平行Z轴的引力强度同向，其它部位异向，这就分析出小球上升的动力。以同样简单分析可以得出小球的下降动力。对于增加的质量则与上述情况相反，更为详细的可参看科学网博客《地球系统力学动力学（2、3）》和《柱坐标系下物质的上升与下降形成的引力场再分析》。

当图1a除去小球外，球内所有球层和内球密度均为ρ_n，小球在大球内受力根据万有引力计算得：

…（9）

当ρ＜ρ_n，F_z指向球面，小球具有远离大球球心的力；当ρ＞ρ_n，F_z指向球心，小球具有靠向大球球心的力；当ρ=ρ_n，F_z等于0，小球不动。

图1a中小球在大球内受力根据万有引力计算得：

…（10）

上述两式，当ρ＜ρ_n，F_z背离球心，小球具有远离大球球心的力；当ρ＞ρ_n，F_z指向球心，小球具有靠向大球球心的力；当ρ=ρ_n，F_z等于0，小球不动；这应是沉浮条件形成数理根据。同时可以看出无论是上升力，还是下降力均不与具体物质的相态有关。前者称为上升力定理，后者称为下降力定理，两力的共同项称为浮力定理。如果浮力按西方命名特点命名，根据历史文献《墨经》对浮力的记载，浮力定理称墨子定理应是不错的选择。由于工程实践的范围十分小，上述两式的引力强度可以看成固定不变的常数g，但用于地球大地质科学研一定要考虑随径向的变化。

3、势能公式

高中物理学习势能公式V=mgh，也是老师在画图传授给我们，好长一段时间对这个公式学的是云里雾里，直到明白是重力做功才算勉强搞清，至于更深层的原因，则是一概不知，即便学了普通物理。下面从理想状态推出V=mgh。

3.1.均匀球内外势能

图1a中，假设所有圈层密度都为ρ，R_n=R，球内、外引力为：

…（11）

…（12）

当r=R时，两式相等v(R)_外=v(R)_内=E(R)R。势能公式是以地面为为零，所以

①对于外部引力位差：

…（13）

式（13）中，设h=r-R，可进一步表述为：

…（14）

②对于内部引力位差：

…（15）

式（15）中，设h=r-R，可进一步表述为：

…（16）

当R的大小与地球一般大小，h远远小于R，式（14）、（15）中E(R)≈E(R+h)≈g，r/R≈R/r≈(R+r)/(2R)≈(R+r)/(2r)≈1。于是根据势能与引力位的关系于是有：V=mgh。

3.2.含球层球内、外势能

图1a中，含球层球内（最外球层层）外引力位

…（17）

…（18）

当r=R_n时，v_含(R_n)_外=v_含(R_n)_内=E_含(R_n)R_n。

①对于外部引力位差：

…（19）

式（19）中，设h=r-R，可进一步表述为：

…（20）

当R_n的大小与地球一般大小，上述含球层模型暗合地球内部状态，h远远小于R_n，式（20）中E(R_n)≈E(r)≈g，r/R_n≈R_n/r≈1。于是根据势能与引力位的关系于是有：V=mgh。

②对于内部引力位差：

…（21）

式（21）中，设h=R_n-r，可进一步表述为：

…（22）

当R_n的大小与地球一般大小，上述含球层模型暗合地球内部状态，h远远小于R_n，式（22）中E(R_n)≈E(R_n-h)≈g，r/R_n≈R_n/r≈1。于是根据势能与引力位的关系于是有：V=mgh。

4、结语

上面简单的阐述总结了流体静压力、浮力、势能三个公式，均源于万有引力或与万有引力相关。对一般工程实践没有太多的作用，但对搞地学构造研究在笔者看来是非常重要的，因为过往的这三个概念已在将地球动力的研究引入不健康的方向。如果从魏格纳的地球自转引起海陆漂移算起，一百年来没有人怀疑过能用于研究地球内部的力学理论存在欠缺或滞后。这话可能极端，但数年的理想球体内部力学理论的探究，又不吐不快。因为这一研究将过去许多地球动力假说可以给予肯定，但又对其夸大作用的应用给予了规范。但重新认识这三个概念，尤其是产生的源头，对地球动力学的研究应是有益的！不当处请读到的学者，老师提出批评与指导！在此首先表示感谢!

附：吴望一先生的《流体力学》著作第五章  流体静力学