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Liii STEM数学模式完全指南：符号、结构、快捷键一网打尽
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Liii STEM 设置了独立的数学模式，支持数学公式编辑、编号和引用，还集成乐高符号、Tab 循环和魔法粘贴等快捷方式，经过大概一周的练习，您可以实现几乎媲美手写的编辑速度。
如果您是资深的 $\LaTeX$ 用户，那么您的公式编写经验大部分都可以在 Liii STEM 中复用，请参阅 LaTeX 用户指南 的第 6 节后再回头快速浏览完这篇文章。
1 怎样进入数学模式？ 1.1 文本模式与数学模式的区别在 Liii STEM 中，基础的文档编辑分为文本模式和数学模式两种核心状态：
文本模式：默认编辑状态，用于撰写正文、标题、段落、表格、图片等常规内容。
数学模式：专门用于编辑数学公式，进入后输入的字符会按数学排版规则自动处理（如字母斜体、符号间距调整等）。
请牢记（看似是废话的）一句话：所有数学相关的内容都需要在数学模式下书写！
顶部工具栏从上到下依次为 菜单栏，模式工具栏， 焦点工具栏。
通过模式工具栏便可以判断您当前处于何种模式。
我们在数学模式下提供四种基础环境，行内公式，单行公式，多行公式（align），和 多行公式（eqnarray） 环境，所有这些环境都可以通过点击文本模式下模式工具栏上的 π 键，然后选择对应环境进入。后文不再赘述此方式。
1.2 行内公式将光标置于需要插入公式的位置，按 $ 即可进入数学模式 下的 行内公式环境，此环境用于公式与正文混排。
示例（行内公式）：输入 $ 后键入 E=mc^2，即可得到 $E=mc^2$。输入完成后按方向键退出。
1.3 单行公式提示：快捷键只在英文输入法下生效。如果忘记了快捷键，可以查看 插入 → 数学 菜单中的提示。
按 Alt+$（macOS 为Option+$）即可插入单行独立数学公式，默认居中显示，与正文分开。
示例（单行公式）：按 Alt+$ 插入单行独立数学公式：
$$e^{i\pi} + 1 = 0$$
如需编号，可在焦点工具栏点击 123 键，或按 Ctrl+#。
1.4 多行公式环境按 Ctrl+$ 即可进入多行公式环境 (align) （试试看直接敲 \align 然后回车）。换行按Enter，对齐是全自动的，无需手动插入 &。
示例（多行公式）：
$$\begin{aligned} f(x) &= (x+1)^2 \ &= x^2 + 2x + 1 \end{aligned}$$
提示：如需为公式添加或取消编号，可使用焦点工具栏的 123 键或按 Ctrl+#。
2 怎样高效输入数学符号？Liii STEM 输入法！我们还提供 \eqnarray 类型的多行公式环境，可以通过 Ctrl + & 进入。也可以通过敲\eqnarray 后回车进入。
在 Liii STEM 中，输入数学符号至少有三种途径：点击模式工具栏上的图标菜单、使用键盘快捷键（事实上这更接近于一套全新的学习成本极低的输入法），或直接键入 $\LaTeX$ 命令。例如，要输入符号 $\leqslant$，既可以在模式工具栏的符号菜单中查找，也可以直接使用乐高符号 < =，熟悉 $\LaTeX$ 的用户还可以键入\leqslant 后回车。下文不再赘述 $\LaTeX$ 命令和鼠标点击的输入方式。
当鼠标悬停在工具栏图标上时，对应的快捷键也会以提示气泡的形式显示。
下文重点介绍 Liii STEM 的“输入法”——乐高符号、Tab 循环与 Alt+Shift+↓ 循环。经过短短一周的练习，您的输入效率便可媲美手写。
2.1 乐高符号与 Tab 循环Liii STEM 提供了两种核心的快捷输入机制：
乐高符号：通过字符拼接生成新符号，规则采用图形化设计思路。例如 < 和 > 表示方向，@ 表示圆圈，输入 < = 可立刻得到 $\leqslant$。
Tab 循环：在形似符号或音似符号间循环切换。例如输入 f 后按 Tab 可依次得到 $f$, $\phi$, $\varphi$ 后循环回 $f$，按 Shift + Tab 可逆向切换。下文表格中统一只标注一次 Tab，实际需要按几次取决于目标符号在循环中的位置。
这两种机制还可以组合使用：先通过乐高符号拼接出基础符号，再按 Tab 在其变体间循环。例如输入 RR 得到 $\mathbb{R}$，继续按Tab 即可在 $\mathcal{R}$、$\mathscr{R}$、$\mathfrak{R}$、$\mathbf{R}$ 等变体间切换。
下面给出一些示例。完整的符号列表请见 Liii STEM 的键盘快捷键。
| 符号效果 | 输入方式 | 符号效果 | 输入方式 |
|---|---|---|---|
| $\rightarrow$ / $\longrightarrow$ | 拼接：- > / - - > | $\alpha$ / $\forall$ | a Tab/ A Tab |
| $\leqslant$ / $\nleqslant$ | 拼接：< = / < =/ | $\leq$, $\Leftarrow$ | < = Tab |
| $\infty$ | 拼接：@ @ | $\Delta$, $\nabla$ | D Tab |
| $\oplus$ / $\otimes$ | 拼接：@ + / @ * | $\in$, $\subset$ , $\langle$ | < Tab |
| $\mathbb{R}$ | 拼接：R R | $\mathcal{R}$, $\mathscr{R}$, $\mathfrak{R}$ | R R Tab |
与 Tab 循环在单个字符变体间切换不同，Alt+Shift+↓ 循环用于在相似的环境或结构之间快速切换。将光标置于环境中，按Alt+Shift+↓ 即可遍历相关变体。
在数学公式编辑中，以下场景的切换最为常用：
| 场景 | 可循环的变体 |
|---|---|
| 公式类型 | 行内公式 $ ↔ 单行公式 Alt+$ |
| 括号风格 | $(x)$ ↔ $[x]$ ↔ ${x}$ ↔ $\langle x \rangle$ |
| 矩阵/表格 | 普通矩阵 ↔ 行列式 ↔ Bmatrix ↔ 分段函数 |
| 上下标 | 上标 ^ ↔ 下标 _（当仅有上标或仅有下标时） |
2.3 选读：等价类更多关于章节层级、语义块等非数学场景的切换，请参阅 高效编辑指南。
定义（Tab 等价类）本节利用类似群论的语言解释 Tab 循环和 Alt+Shift+↓ 循环的设计原理。若您对代数学感兴趣，读完会发现这两种循环本质上就是循环群。因此我们实际上是利用数学设计了一种方便输入符号的方式！
我们称符号 $a$ 和 $b$ 为 $c$ 的同类元素，如果他们可以通过 $c$ 的 Tab 循环得到（其中 $c$ 不需要敲 Tab 得到）。$c$ 的所有同类元素构成的集合称为 $c$ 的 Tab 等价类，标记为 $[c]$。
现在你再也不用区分 ${\hbar}$ 和 $h$ 了，他们都是 $h$ 的同类元素，事实上 $[h] = { h, \eta, \hbar }$。我们再给一些例子。
示例：Tab 等价类键盘上所有的英文字母都对应希腊字母，根据上述定义，我们列举部分：
$[a] = { a, \alpha }$, $[b] = { b, \beta, \flat }$, $[p] = { p, \pi, \pi, \varpi }$, $[j] = { j, \theta, \jmath, \vartheta }$
$[f] = { f, \varphi, \phi }$, $[F] = { F, \Phi }$
$[d] = { d, \delta, \mathrm{d}, \partial }$, $[D] = { D, \Delta, \mathrm{D}, \daleth, \nabla }$
$[s] = { s, \sigma, \varsigma }$, $[S] = \left{ S, \Sigma, \sum \right}$
根据上述定义，我们列举部分逻辑与关系符号：
$[A] = { A, \forall, \aleph }$，这里 $\aleph$ 之所以在 $A$ 的等价类里是因为这个符号名字叫阿列夫。
$[E] = { E, \exists, \exists }$
$\left[ \texttt{<=} \right] = { \leqslant, \leq, \leqq, \Leftarrow, \Lleftarrow }$， $\left[ \texttt{>=} \right] = { \geqslant, \geq, \geqq }$
有些循环符号比较多，不重要的用 $\ldots$ 代替：
$\left[ \texttt{I} \right] = \left{ I, \int, \mathrm{I}, \Im \right}$
$\left[ \texttt{II} \right] = \left{ \mathbb{I}, \iint, \mathcal{I}, \ldots \right}$
$\left[ \texttt{III} \right] = \left{ \mathrm{III}, \iiint \right}$
$\left[ \texttt{*} \right] = { \times,, \ast, \cdot, \wedge, \star }$，其中第二个元素是个不可见乘号，符号计算的时候常用。
活用 ~：
$\left[ \sim\sim \right] = { \approx, \Bumpeq }$， $\left[ \sim = \right] = { \cong }$
$\left[ \texttt{@*} \right] = \left{ \otimes, \bigotimes \right}$
$[\texttt{alt+t}] = \left{ \begin{array}{cc} 1 & 2\ 3 & 4 \end{array}, \left(\begin{array}{cc} 1 & 2\ 3 & 4 \end{array}\right), \left|\begin{array}{cc} 1 & 2\ 3 & 4 \end{array}\right|, \left{\begin{array}{ll} x \leq 0 \ x < 0 \end{array}\right., \begin{array}{c} y \in \mathcal{Y}\ x \in \mathcal{X} \end{array}, \left[\begin{array}{cc} 1 & 2\ 3 & 4 \end{array}\right] \right}$
全部都是粗体等价类：
$\left[ \texttt{RR} \right] = { \mathbb{R}, \mathcal{R}, \mathscr{R}, \mathfrak{R}, \boldsymbol{R}, \mathrm{R}, \mathbf{R} }$
$\left[ \texttt{AA} \right] = { \mathbb{A}, \mathcal{A}, \mathscr{A}, \mathfrak{A}, \boldsymbol{A}, \mathrm{A}, \mathbf{A} }$
$\vdots$
同理，我们称环境 $A$ 和环境 $B$ 互为同类环境，如果它们可以通过 Alt+Shift+↓ 循环相互切换。一个环境的所有同类环境构成的集合称为它的 Alt+Shift+↓ 等价类。
以下是数学场景中常见的等价类：
$[\text{行内公式}] = { \text{行内公式},\ \text{单行公式} }$
$[\text{圆括号}] = { (x),\ [x],\ {x},\ \langle x \rangle }$
$[\text{矩阵}] = { \text{矩阵},\ \text{行列式},\ \text{Bmatrix},\ \text{分段函数} }$
$[\text{定理}] = { \text{命题},\ \text{推论},\ \text{引理} }$
在Liii STEM 中您可以把结构理解成一种特殊的环境。
3.1 上标，下标，顶标和底标结构化包裹：在 Liii STEM 中，如果您先选中一段内容，再插入任何数学结构（括号、分数、根号、上下标等），选中的内容会被自动包裹进新环境，而不会被删除。
例如：选中 a 后按 ( 得到 $(a)$；选中 a+b 后按 Alt+f 得到 $\frac{a+b}{\phantom{1}}$；在 $ax$ 里选中 x 后按 ^ 得到 $a^{x}$（光标位于上标位置）。这个逻辑适用于本节介绍的所有结构。
在数学模式下，使用 ^ 键创建上标，_ 键创建下标。例如，键入 a _ n 得到 $a_n$，键入x ^ 2 得到 $x^2$。
与 $\LaTeX$ 的区别：在 $\LaTeX$ 中，上下标是纯文本标记（a^1_2），输入顺序由编译器统一解析。而在 Liii STEM 中，上标和下标各自是一个独立的环境（所见即所得的结构化编辑）。因此，输入完上标后需要按 → 退出当前环境，才能继续输入下标或返回基线。这赋予了您对公式结构的精确控制——上下标的输入顺序直接决定了语义层次。更多关于公式语义的内容请参阅 8.1 为什么需要语义编辑。
同时带有上下标：先输入上标或下标均可，顺序不影响渲染，但对语义有影响。例如 a _ n →^ 2 得到 $a_n^2$（表示 $(a_n)^2$），而 a ^ 2 →_ n 则意味着 $(a^2)_n$。
多重嵌套：键入 a ^ b ^ c 得到 $a^{b^c}$。输入完成后按 → 键退出上标环境，再输入 + b _ n 即可继续编辑 $a^{b^c} + b_n$。
撇号（'）与双撇号（"）：输入导数或共轭等符号时，可以直接敲 ' 或 "，无需进入上标环境。例如a ' + b 直接得到 $a' + b$，而输入 $a^2 + b$ 则需要 a^ 2 → （先退出上标环境） + b。
继续按 Tab 可在撇号的多种变体间循环：
| 单撇号变体 | 示例 | 输入 | 双撇号变体 | 示例 | 输入 |
|---|---|---|---|---|---|
| 撇号 | $a'$ | a ' | 双撇号 | $a''$ | a " |
| 反撇号 | $a^{\backprime}$ | a ' Tab | 双反撇号 | $a^{\backprime\backprime}$ | a " Tab |
| 星号 | $a^*$ | a ' Tab | 双星号 | $a^{\mathord{}\mathord{}}$ | a " Tab |
| 五角星号 | $a^\star$ | a ' Tab | 双五角星号 | $a^{\star\star}$ | a " Tab |
| dagger | $a^\dagger$ | a ' Tab | 双 dagger | $a^{\dag\dag}$ | a " Tab |
| 双 dagger | $a^‡$ | a ' Tab | 双双 dagger | $a^{\ddag\ddag}$ | a " Tab |
切换上下标：如果一个公式中只有上标（如 $x^2$）或只有下标（如 $a_n$），将光标置于该环境中按Alt+Shift+↓ 可直接在上标和下标之间切换，无需删除重建。这背后的原理是：上标和下标互为同类环境，属于同一个Alt+Shift+↓ 等价类，详情请参阅 2.2 Tab 循环与 Alt+Shift+↓ 循环。
正上方与正下方：普通上下标（^ /_）默认放在右上方和右下方。如果需要在任意元素的正上方或正下方添加标注，可使用：
顶标（正上方）：Alt+a（或 Option+a），例如 $\overset{n \to \infty}{\longrightarrow}$
底标（正下方）：Alt+b（或 Option+b），例如 $\underset{x \in A}{\max} f(x)$
更多关于左上标、左下标、顶标、底标的详细教程请参阅 如何在 Liii STEM 中输入上下标、左上标、左下标、顶标、底标。
大算子的上下标：对于积分、求和等显示公式中的大算子，上下标会自动放在算子的正上方和正下方：
$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \quad \int_0^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}$$
3.2 分数关于大算子在行内公式与显示公式中的渲染差异，以及如何强行将上下标放在正上方/正下方，请参阅 6.1 大算子。
按 Alt+f（或 Option+f）插入分数。Liii STEM 会自动创建分子和分母两个输入位置，您可以直接键入内容。
分数的变体：将光标置于分数环境中，按 Alt+Shift+↓ 可循环切换不同类型的分数：
| 分数类型 | 效果 | 切换方式 |
|---|---|---|
| 普通分数 | $\frac{a}{b+c}$ | Alt+f（默认） |
| 行内分数 | $a/(b+c)$ | Alt+Shift+↓ |
| 斜杠分数 | $1/2$ | 继续按 Alt+Shift+↓ |
| 连分数 | $1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cdots}}$ | 继续按 Alt+Shift+↓ |
3.3 根号提示：您也可以直接输入 / 作为一维分数，或通过 / Tab 得到 $:$ 和 $\div$。
按 Alt+s（或 Option+s）插入平方根。例如 Alt+sx 得到 $\sqrt{x}$。
n 次方根：输入 Alt+s Tab 切换到 n 次根，然后键入被开方数，再按Alt+← 回到次数位置填入 $n$：
$$\sqrt[3]{x}$$
3.4 矩阵， 行列式，分段函数提示：如果忘记先填次数，也可以在 $\sqrt{x}$ 中按 Alt+→ 添加次数位置，按 Backspace 则可删除次数。
按 Alt+t（或 Option+t）插入一个 $1 \times 1$ 的表格结构。在数学模式下，这是一个居中的无框表格。按Tab 可循环切换为矩阵、行列式、Bmatrix、分段函数等变体。
编辑矩阵：
| 操作 | 快捷键 |
|---|---|
| 增加列 | Alt+→ |
| 增加行 | Alt+↓ |
| 删除行列 | Alt+Backspace / Delete |
| 切换变体 | Alt+Shift+↓ |
示例：
$$\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}, \quad \begin{vmatrix} x & y \ z & w \end{vmatrix},\quad f(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \ 0, & x \le 0 \end{cases}$$
3.5 取消环境（Ctrl+Backspace）在 Liii STEM 中，Ctrl+Backspace 是取消当前环境的快捷键——它会将您所在的结构拆散，保留其中的内容，但移除外层的结构标记。
这个功能不仅适用于数学公式中的分数、根号、括号、上下标等，同样适用于文本模式中的节标题、语义块（定理、引理、证明等）、列表项、折叠框等各种环境。只要您处于某个环境内部，Ctrl+Backspace 就可以将其"打平"为普通文本。
试一试：在 $\LaTeX$ 中取消一个结构通常需要手动删除 \begin{}...\end{} 或 {}。而在 Liii STEM 中，只需按 Ctrl+Backspace 即可一键取消，然后重新用其他结构包裹。这种"随时取消、随时重建"的灵活性正是结构化编辑的优势所在。
| 原始结构 | 效果 | 按 Ctrl+Backspace 后 |
|---|---|---|
| 分数 $\frac{a}{b}$ | $\frac{a}{b}$ | $a$ |
| 根号 $\sqrt{x}$ | $\sqrt{x}$ | $x$ |
| 括号 $(a+b)$ | $(a+b)$ | $a+b$ |
| 上标 $x^2$ | $x^2$ | $x2$ |
| 下标 $a_n$ | $a_n$ | $an$ |
| 矩阵/行列式 | $\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$ | $a$ |
4 怎样输入特殊符号？提示：如果只是想让光标退出当前环境而不取消结构，请按 → 方向键。Ctrl+Backspace 则是彻底拆除当前环境。如果您需要保留内容但换一种结构（如将圆括号改为方括号），也可以用Alt+Shift+↓ 在同类环境间循环切换，请参阅 2.2 Tab 循环与 Alt+Shift+↓ 循环。
4.1 希腊字母这里只介绍常用的符号，完整列表请参阅 Liii STEM 的键盘快捷键 。
在数学模式下，输入英文字母后按 Tab 即可得到对应的希腊字母。例如 a Tab 得到 $\alpha$，ATab 得到 $\forall$（在逻辑上下文）或 $\Alpha$。
提示：希腊字母的 Tab 等价类通常包含该字母的多种变体。按多次 Tab 可循环切换。
| 符号 | 输入 | 符号 | 输入 |
|---|---|---|---|
| $\alpha$ | a Tab | $\beta$ | b Tab |
| $\gamma$ / $\Gamma$ | g Tab / G Tab | $\delta$ / $\Delta$ | d Tab / D Tab |
| $\epsilon$ / $\varepsilon$ | e Tab | $\zeta$ | z Tab |
| $\eta$ | h Tab | $\theta$ / $\Theta$ | j Tab / J Tab |
| $\iota$ | i Tab | $\kappa$ | k Tab |
| $\lambda$ / $\Lambda$ | l Tab / L Tab | $\mu$ | m Tab |
| $\nu$ | n Tab | $\xi$ / $\Xi$ | x Tab / X Tab |
| $\pi$ / $\Pi$ | p Tab / P Tab | $\rho$ | r Tab |
| $\sigma$ / $\Sigma$ | s Tab / S Tab | $\tau$ | t Tab |
| $\upsilon$ / $\Upsilon$ | u Tab / U Tab | $\phi$, $\varphi$ / $\Phi$ | f Tab / F Tab |
| $\chi$ | q Tab | $\psi$ / $\Psi$ | y Tab / Y Tab |
| $\omega$ / $\Omega$ | w Tab / W Tab |
Liii STEM 支持多种数学字体。最通用的方式是敲两下字母后按 Tab 循环：
| 字母大小写 | 效果示例 | 输入方式 |
|---|---|---|
| 大写字母 | $\mathbb{R}$ / $\mathcal{R}$ / $\mathfrak{R}$ / $\mathbf{R}$ / $\mathrm{R}$ | R R Tab 循环 |
| 小写字母 | $\mathbb{r}$ / $\mathcal{r}$ / $\mathfrak{r}$ / $\mathbf{r}$ / $\mathrm{r}$ | r r Tab 循环 |
4.3 常用数学常数提示：黑板粗体、花体、哥特体、粗体、直立等字体全部可以通过 AA Tab 或 aaTab 循环切换得到，无需记忆不同的功能键前缀。
| 常数 | 效果 | 输入 |
|---|---|---|
| 圆周率 $\pi$ | $\pi$ | p Tab |
| 自然常数 $e$ | $\mathrm{e}$ | e Tab |
| 虚数单位 $i$ | $\mathrm{i}$ | i Tab |
| 微分符号 $\mathrm{d}$ | $\mathrm{d}$ | d Tab |
| 偏导符号 $\partial$ | $\partial$ | d Tab |
| 约化普朗克常量 $\hbar$ | $\hbar$ | h Tab |
| 手写体 $\ell$ | $\ell$ | l Tab |
| 无穷大 $\infty$ | $\infty$ | @ @ |
| 空集 $\varnothing$ | $\varnothing$ | @ / |
4.4 运算符与关系符与 $\LaTeX$ 的区别：在 $\LaTeX$ 中，单字母算子通常用\mathrm{d}、\mathrm{e}、\mathrm{i} 表示，其中 \mathrm 的作用是将字母排成正体算子样式。在 Liii STEM 中，不需要 \mathrm 命令——直接敲sin、cos、lim 等多字母组合，系统会自动识别为算子（详见 8.2 同形异义符与不可见运算符）。
但单字母的情况比较特殊：在数学模式下，单个字母（如 d）默认是斜体变量，而两个连续字母（如 dx）会被识别为算子。因此如果要输入微分符号 $\mathrm{d}x$，需要先按d Tab 将单字母 d 切换为直立算子形式，再输入 x。上表中的 eTab、i Tab、d Tab 正是为此设计的：将单字母从斜体变量切换为直立常数/算子。对于任何单字母算子，都可以先试一试 Tab 循环。
基本运算符：直接输入 +、-、*、/ 即可。* 默认表示 $\times$（叉乘），按 Tab 可切换为不可见乘法、$\cdot$、$\ast$、$\wedge$、$\star$。
不可见乘法：在 Liii STEM 中，相邻的字母会被自动识别为算子（如 ab 类似 $\LaTeX$ 的\mathrm{ab}），不会自动表示乘法。如果需要不可见乘法，应先输入 *，再按 Tab 切换为不可见形式，然后输入后续内容：例如 a * Tab b 得到 $ab$（表示 $a$ 乘以 $b$）。如果只是需要视觉间距而不关心语义，也可以直接敲空格。
为什么需要区分？在符号计算中，ab（算子名）和 a * Tab b（乘法）的语义完全不同——前者在 Python 中是一个变量名，后者是两个数相乘。详见 8.2 同形异义符与不可见运算符。
关系符：
| 符号 | 输入 | 符号 | 输入 |
|---|---|---|---|
| $\leq$ / $\leqslant$ | < = Tab | $\geq$ / $\geqslant$ | > = Tab |
| $\neq$ | = \ | $\approx$ | ~ ~ |
| $\equiv$ | = Tab | $\cong$ | ~ = |
| $\sim$ | ~ | $\simeq$ | ~ - |
| $\propto$ | @ @ Tab | $\ll$ / $\gg$ | < < / > > |
| $\pm$ / $\mp$ | + - / - + | $\cdot$ | * Tab |
| $\times$ | * Tab | $\div$ | / Tab |
| $\oplus$ / $\ominus$ | @ + / @ - | $\otimes$ / $\odot$ | @ * / @ . |
箭头：
| 符号 | 输入 | 符号 | 输入 |
|---|---|---|---|
| $\rightarrow$ | - > | $\longrightarrow$ | - - > |
| $\Rightarrow$ | = > | $\Longrightarrow$ | = = > |
| $\leftarrow$ | < - | $\leftrightarrow$ | < - > |
| $\mapsto$ | \| - > | $\longmapsto$ | \| - - > |
| $\leadsto$ | ~ > | $\uparrow$ / $\downarrow$ | < - Tab |
| $\nrightarrow$ | - > / | $\nRightarrow$ | = > / |
提示：在可扩展箭头（如 $\rightarrow$）上方添加标签，直接按 ^ 输入上标即可。
定界符：
| 符号 | 输入 | 符号 | 输入 |
|---|---|---|---|
| $\langle \rangle$ | < Tab | $|$ | \| \| |
| $\lfloor \rfloor$ | \| . | $\lceil \rceil$ | \| ' |
集合：
| 符号 | 输入 | 符号 | 输入 |
|---|---|---|---|
| $\in$ | < Tab | $\subset$ / $\subseteq$ | < Tab / < =Tab |
| $\cup$ / $\cap$ | % Tab / & Tab | $\emptyset$ | @ / |
| $\mathbb{R}$ | R R | $\mathbb{Z}$ | Z Z |
| $\mathbb{Q}$ | Q Q | $\mathbb{N}$ | N N |
| $\mathbb{C}$ | C C |
逻辑：
| 符号 | 输入 | 符号 | 输入 |
|---|---|---|---|
| $\forall$ | A Tab | $\exists$ | E Tab |
| $\neg$ | ! Tab | $\wedge$ / $\vee$ | & / % |
| $\vdash$ | \| Tab - | $\models$ | \| Tab = |
| $\Rightarrow$ | = > | $\Leftrightarrow$ | < = > |
5.1 多行公式（align）在多行公式或单行公式环境中，按 Ctrl+#（或点击焦点工具栏的 123 键）可为当前行添加或移除编号。
按 Ctrl+$ 进入多行公式（align）环境。与 $\LaTeX$ 的 align 不同，您无需手动对齐——换行后系统会自动对齐等号或其他关系符。
示例：
$$\begin{aligned} f(x) &= (x+1)^2+ 0 \qquad \qquad \qquad \qquad (1) \ &= x^2 + 2x + 1 \qquad \qquad \qquad \qquad (2) \ &= x(x+2) + 1 \qquad \qquad \qquad \qquad (3)\end{aligned}$$
输入步骤：
按 Ctrl+$ 进入多行公式环境
键入 f(x) = 后右方向键进入右边列 (x+1)^2
按 Enter 换行
键入 = 后右方向键进入右边列 x^2 + 2x + 1
继续按 Enter 添加新行
5.2 多行公式（eqnarray）与 $\LaTeX$ 的区别：在 $\LaTeX$ 的 align 环境中，每行分为两列，运算符需要放在对齐点& 右侧（如 f(x) &= ...）。而在 Liii STEM 中，您只需按自然书写习惯将=、$\leq$、$\geq$ 等关系符打在左侧（即公式行内），系统会自动识别并对齐。
在 Liii STEM中敲多行公式永远不需要手动对齐和换行！
按 Ctrl+& 进入多行公式（eqnarray）环境。与 align 不同，eqnarray 每行分为三列：
左列：等号左侧的表达式
中列：关系符（=、$\leq$、$\geq$ 等）
右列：等号右侧的表达式
示例 (注意到等号两边间距更大)：
$$\begin{array}{rcl} f(x) & = & (x+1)^2 \ & = & x^2 + 2x + 1 \ & = & x(x+2) + 1 \end{array}$$
输入步骤与 align 相同，直接键入内容后按 Enter 换行即可。eqnarray 适合需要严格区分左中右三列的排版场景。
5.3 单行公式内的多行公式 (aligned)为什么 $\LaTeX$ 用户被建议使用 align 而非 eqnarray：在 $\LaTeX$ 中，eqnarray 存在等号两侧间距不一致的问题（不同环境下空格大小可能不同），因此被社区广泛弃用。但在 Liii STEM 中，没有这个问题——您可以根据排版需要随意使用 eqnarray，无需顾虑间距一致性。
aligned 是一种子环境，只能在单行公式内部使用。当您需要在单行公式中排版多行对齐内容，且只想要一个编号时，在单行公式内部敲\aligned 后回车即可。
与 align 的核心区别：
| 环境 | 编号方式 | 适用场景 |
|---|---|---|
| align | 每行单独编号 | 独立的多行公式，每行都是独立的等式 |
| aligned | 整个环境一个编号 | 单行公式内部的多行推导，整体视为一个公式 |
示例（以下演示的是 aligned 在单行公式内部的排版效果，实际编号请在 Liii STEM 中开启编号后查看）：
$$\begin{aligned} f(x) &= (x+1)^2 \ &= x^2 + 2x + 1 \ &= x(x+2) + 1 \end{aligned} \tag{1}$$
输入步骤：
先按 Alt+$ 进入单行公式环境（或直接敲 \equation 后回车）
在单行公式内部敲 \aligned 后回车，进入 aligned 子环境
键入多行内容，按 Enter 换行
为单行公式开启编号（Ctrl+#），系统会为整个公式分配一个编号
6 怎样排版复杂公式？6.1 大算子重要：aligned 不能独立使用，必须嵌套在单行公式内部。
提示：aligned 本质上是 align 的"子环境"版本——对齐规则完全相同（无需手动对齐），但编号规则不同。如果您发现每行都出现了编号，说明您进入的是 align 环境而非 aligned。
大算子（积分、求和、乘积等）在单行/多行公式中会自动放大，并将上下标放在算子的正上方和正下方；而在行内公式中，上下标会显示在右上方和右下方（紧凑型）。例如 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$ v.s.
$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}. $$
| 算子 | 输入 | 算子 | 输入 |
|---|---|---|---|
| 积分 $\int$ | I Tab | 求和 $\sum$ | S Tab |
| 二重积分 $\iint$ | I I Tab | 乘积 $\prod$ | P Tab |
| 三重积分 $\iiint$ | I I I Tab | 并集 $\bigcup$ | U Tab |
| 曲线积分 $\oint$ | @ I | 交集 $\bigcap$ | N Tab |
| 曲面积分 $\oiint$ | @ I I |
强行将上下标放在正上方/正下方：即使在行内公式中，也可以通过 Alt+a（顶标，正上方）或Alt+b（底标，正下方）实现。更多关于上下标、左上标、顶标、底标的详细教程请参阅 如何在 Liii STEM 中输入上下标、左上标、左下标、顶标、底标。
6.2 宽重音与可扩展箭头提示：如果需要让行内公式中的大算子展开显示，可将公式转换为单行公式环境（按 Alt+Shift+↓ 循环切换）。
重音与宽重音：按 Alt+修饰键（或 Option+修饰键）为前导字符添加重音。宽重音会自动拉伸以适应下方内容。
| 重音 | 输入 | 宽重音 | 输入 |
|---|---|---|---|
| 上标箭头 $\vec{x}$ | Alt+ Shift + v | 宽帽子 $\widehat{x+y}$ | Alt+^ |
| 帽子 $\hat{x}$ | Alt+^ | 宽波浪线 $\widetilde{x+y}$ | Alt+~ |
| 波浪线 $\tilde{x}$ | Alt+~ | 宽横线 $\overline{x+y}$ | Alt+b |
| 横线 $\bar{x}$ | Alt+ Shift + b | 上括号 $\overbrace{x+y}$ | \overbrace |
| 点 $\dot{x}$ | Alt/Cmd +. | 下括号 $\underbrace{x+y}$ | \underbrace |
| 双点 $\ddot{x}$ | Alt+" |
这里再次强调下，我们支持 $\LaTeX$ 命令，所以您也可以用类似 \hat 的方式输入。
模式工具栏可以找到对应的符号，光标悬浮在上面会显示快捷键提示。
可扩展箭头：在箭头后按 ^ 添加上标，按 _ 添加下标，箭头会自动拉伸。
$$\xrightarrow{f \otimes g} \quad \xleftarrow{\text{逆映射}} \quad \xRightarrow{\text{蕴含}}$$
6.3 括号与定界符Liii STEM 会自动匹配括号。输入 ( 后，会自动补全 )。您可以直接在括号内输入内容，系统会根据内容自动调整括号大小。
大定界符：
| 定界符 | 输入 |
|---|---|
| 绝对值 $\lvert x \rvert$ | \| x |
| 范数 $\lVert x \rVert$ | \| \| x |
| 向下取整 $\lfloor x \rfloor$ | \| . x |
| 向上取整 $\lceil x \rceil$ | \| ' x |
提示：如果自动匹配的括号不需要闭合，将光标放在闭括号后按 Backspace 即可删除。系统会用不可见括号替代，确保语义正确。
7 公式编号与引用7.1 自动编号与手动控制提示：还记得 2.2 Tab 循环与 Alt+Shift+↓ 循环 的内容吗？将光标置于括号内，按 Alt+Shift+↓ 可在圆括号()、方括号 []、花括号 {}、尖括号 <> 等之间循环切换。
按 Ctrl+#（或点击焦点工具栏的 123 键）可为公式添加编号。再次按下可取消编号。
以章节号为前缀：在焦点工具栏勾选此选项后，编号会自动带上章节前缀（如 (2.3)等），方便长文档的定位。
7.2 创建标签（\label）行内公式不支持编号。
要为公式创建可引用的标签：
将光标放在需要引用的公式中
按 Ctrl+!（或输入 \label）
输入标签名称后回车
已标注的公式右侧会出现由菱形与竖线构成的蓝色标识。
注意：不只是公式，定理、引理、图表、表格、章节等任何可编号的内容都可以创建标签并被引用。本文仅介绍公式相关的引用操作，完整的引用系统请参阅 双向链接和引用。
良好的命名习惯能让您在引用时快速定位目标。建议采用类型前缀 + 描述的格式：
| 类型 | 前缀 | 示例 | 说明 |
|---|---|---|---|
| 公式 | eq: | eq:euler-identity | 欧拉恒等式 |
在正文中引用已标记的公式：
按 Ctrl+?（\reference或输入 \eqref）
输入标签名称后回车
提示：输入标签名称时按 Tab 可快速列出文档中所有已定义的标签，支持自动补全。
7.4 选读：智能引用（smart-ref）实时预览：将鼠标悬停在引用编号上，可实时预览被引用的公式内容，点击即可跳转到对应位置。使用 Ctrl/Cmd + [ 或] 可来回跳转公式和引用公式的地方。
Liii STEM 内置 smart-ref 功能，能够自动识别您引用内容的类型并生成对应的引用格式，无需手动键入类型名称和不间断空格。
启用方法：
在文本模式下，点击焦点工具栏中的 ⊕ 按钮
在 实用 分类中，勾选 smart-ref
启用后 Ctrl+? 会自动使用 smart-ref
使用示例：
| 引用目标 | 普通 ref 输出 | smart-ref 输出 |
|---|---|---|
| 公式 (3) | 3 | 公式 (3) |
| 定理 2.1 | 2.1 | 定理 2.1 |
| 图 4 | 4 | 图 4 |
Liii STEM 内置语义编辑功能，如果您想要在 Liii STEM 内进行符号计算，那么这个章节对您来说会很重要！
8.1 为什么需要语义编辑在 $\LaTeX$ 中，公式本质上是"纯文本"——编译器只负责排版，不关心符号背后的数学含义。这导致了许多视觉相同但语义矛盾的情况，轻则让计算机代数系统困惑，重则产生错误的数学推导。Liii STEM 的语义编辑正是为了解决这些问题。
同形异义符（Homoglyphs）的陷阱：
以下符号在 $\LaTeX$ 中可能看起来完全一样，但数学含义截然不同：
| 符号 | 含义一 | 含义二 |
|---|---|---|
| \| | 绝对值 $|{-x}| = |x|$ | 整除 $11 \mid 1001$ |
| , | 函数参数分隔 $f(x, y)$ | 小数逗号 $3{,}14159$ |
| . | 小数点 $3.14$ | lambda演算连接符 $\lambda x.,x^2$ |
| : | 比例分隔 $a : b : c$ | 类型标注 $x : \text{Int}$ |
| \ | 反斜杠符号 \x | 集合差 $\mathbb{N} \setminus {0}$ |
| & | 逻辑与 $1 = 1 \wedge 2 = 2$ | 楔积 $dx \wedge dy$ |
不可见运算符的歧义：
更隐蔽的是那些"看不见"的运算符——它们在纸面上显示为空白或极小的间距，但对计算机来说含义完全不同：
乘法 vs 函数应用：$ab$（乘法）和 $\sin x$（函数应用）在 $\LaTeX$ 中都必须手动排版，但 Liii STEM 要求您显式选择：* Tab 输入不可见乘法，Space 输入函数应用。
不可见分隔符：矩阵 $(a_{ij})$ 中的逗号其实是不可见分隔符，与函数参数中的可见逗号语义不同。
常数 vs 变量：$\mathrm{e}$（自然常数）和 $e$（普通变量）在 $\LaTeX$ 中需要用不同的命令（\mathrm{e} vse），而在 Liii STEM 中通过 Tab 循环即可区分。
为什么这很重要？
兼容计算机代数系统：由于公式带有完整的语义信息，您可以直接将编辑好的数学表达式复制粘贴到 Python、Maple、Sage、Mathematica 等系统中进行符号运算，无需手动转译。例如，在 Liii STEM 中输入的 $a * b$（不可见乘法）粘贴到 Python 后会自动变成 a * b，而a b（函数应用）则保持为函数调用语义。Liii STEM 还内置了 Python 会话插件，可直接粘贴公式在文档中运行 Python 代码并获取计算结果。
减少低级错误：句法检查能在输入阶段就发现"错别字"或结构错误。例如，$a +$ 这样的不完整表达式会被标记为不正确，而 $a(b+c)$ 和 $f(x+y)$ 在句法上会被严格区分为乘法和函数应用。
智能选择与粘贴：剪切和粘贴时，只能选择句法上有意义的子公式，避免破坏公式结构。
规范表示法：降低使用非标准或歧义表示法的风险。
Liii STEM 仔细区分了同形异义符（homoglyphs）——即看起来相同但含义不同的符号。其中最典型的是不可见乘法与函数应用：
| 输入 | 效果 | 示例 | 含义 |
|---|---|---|---|
| * Tab | （不可见） | $ab$ | 不可见乘法 |
| Space | （不可见） | $\sin x$ | 函数应用 |
| , | $,$ | $f(x, y)$ | 逗号分隔符 |
| , Tab | （不可见） | $(a_{ij})$ | 不可见分隔符 |
提示：输入公式时，请务必区分乘法和函数应用。例如，$a(b+c)$ 通常表示乘法，而 $f(x+y)$ 表示函数应用，二者在句法上完全不同。
单字母算子与多字母算子：在 Liii STEM 中，多字母序列（如sin、cos、lim、log）会被自动识别为算子，无需额外命令。但单字母（如d、e、i）默认是斜体变量。如果要将单字母用作算子或常数（如微分符号 $\mathrm{d}$、自然常数 $\mathrm{e}$、虚数单位 $\mathrm{i}$），需要通过 Tab 循环将其切换为直立形式。这与 $\LaTeX$ 中用 \mathrm{d} 显式声明正体形成对照——在 Liii STEM 中，您只需要记住"单字母算子按 Tab"即可。
8.3 语义焦点如果您输入 a Space b 后粘贴进 Python，您会得到 a b 但是如果您在 a b 之间插入一个不可见乘号，粘贴进 Python 后会得到 a * b 可以直接进行符号运算。
当您开启语义编辑后，Liii STEM 的焦点工具栏和编辑行为会适应公式的句法结构，而不仅仅是视觉结构。
颜色反馈：如果当前公式句法正确，语义焦点边界框会显示为绿色；若存在错误，则显示为红色。这让您在输入时就能快速发现错别字。
优先级提示：将光标放在运算符旁边时，该运算符所作用的完整子表达式会被高亮显示，帮助您确认默认解释是否符合预期。
示例：在公式 $a + b \times c$ 中：
将光标放在 \times 旁边，$b \times c$ 会被高亮——这展示了乘法的局部作用域；将光标放在 + 旁边，$a$ 和 $b \times c$ 会被同时高亮——这直观地展示了乘法的优先级高于加法：
9 后续阅读提示：语义编辑模式可在 编辑 → 首选项 → 数学 → 语义编辑 中切换。建议在进行大量公式编辑时保持开启，以获得更好的编辑体验。
需要一份完整的符号快捷键速查表？请参阅 Liii STEM 的键盘快捷键。
高效编辑指南：深入了解 Tab 循环、结构化变体和结构化光标移动的高效编辑技巧。
写给 LaTeX 用户的 Liii STEM 教程：从 $\LaTeX$ 迁移的用户可查阅第 6 节，了解公式编辑的详细对照。
自定义宏命令：学习如何创建自定义数学符号和快捷命令。
文本模式完全指南：深入了解内容标记、字体设置、章节目录、列表、语义块、参考文献、图片表格、算法代码、批注脚注等完整功能。
Python 会话插件：在文档中直接运行 Python 代码，验证和计算数学公式。
幻灯片制作：在幻灯片模式中排版和展示数学公式。
https://blog.sciencenet.cn/blog-3655357-1535343.html
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