本文主要探讨因果凝聚框架对于量子引力理论的意义. 但首先需要对前面的文章做一个总结和补充.

贝兹构造是定义背景无关的格点规范理论的一种普适方法. 它由三大核心技术构成, 分别是图嵌入技术, 自旋网络构造和投影极限方法, 在上文中我已经指出了它们分别的范畴论意义. 为了得到贝兹构造的函子性, 需要把贝兹构造定义在拓扑空间和连续映射的范畴之上, 为此我考虑因果网络之间的任意连续映射(贝兹仅仅考虑了开嵌入). 经过组合化之后, 这一考量相当于在贝兹构造中引进粗粒化态射, 得到拓展的贝兹构造. 最后发现, 因果网络范畴的定义刚好是范畴monad的克雷斯利构造. 

我们还注意到在贝兹构造(仅仅使用自旋网络)和图形演算理论(针对一般弦图的语法)之间存在的失调现象, 在经过粗粒化拓展之后, 我们发现这一失调现象恰好是左Kan扩张构造所需要的. 这是因为由于粗粒化态射的引进, 因果凝聚表现为一种背景无关的重整化框架, 其中左Kan扩张起到了重整化群的作用. 粗粒化的引入事实上是一举三得, 同时解决了贝兹构造的函子性问题, 自旋网络和图形演算的失调问题和重整化框架的描述问题.

因果凝聚既是拓展贝兹构造的范畴化推广, 又可以理解为一种背景无关的弦网凝聚理论, 它范畴化了弦网凝聚背后的波函数重整化框架.  贝兹构造致力于构造非微扰的量子规范理论(背景无关的格点规范理论), 弦网凝聚则致力于演生经典规范理论, 但在数学框架上, 它们都统一为因果凝聚这一抽象的范畴学框架, 这也是数学物理中常见的殊途同归现象. 

重整化群和粗粒化的在量子引力中的核心地位, 在综述文献[EBP21]中, 被特别强调. 路径积分中柱测度的一致性条件(只考虑嵌入)被Bahr解读为重整化群流[B14,B17].

[EBP21] A. Eichhorn, B. Bahr, and A. D. Pereira. Coarse graining in quantum gravity – Bridging the gap between microscopic models and spacetime physics, 2021.

[B14] B. Bahr. Background-independent renormalization in quantumgravity models, 2014. 可见:https://indico.desy.de/event /9728/.

[B17] B. Bahr. On background-independent renormalization of spin foam models, 2017.

2011年, 我直觉认为应该把量子场论定义为费曼图范畴的表示. 现在因果凝聚框架基本实现了这一设想, 费曼图的范畴就是因果网络范畴, 它的连续表示(余层)就是对称张量范畴. 因果凝聚解决的最主要问题就是无穷维空间上概率测度的刻画问题, 把无穷维空间上的概率测度刻画为对称张量范畴, 这个刻画体现了重整化的思想, 对称张量范畴就是粗粒化不动点, 这与弦网凝聚(莱文-文模型)的波函数重整化思想是完全意义.值得强调的是, 因果凝聚框架并不是孤立, 与它相似的框架也是存在的. 第一个是柯尔莫哥洛夫扩张定理[Kol33], 它是随机过程理论的基石. 随机过程的基本问题是关于样本路径的概率性质问题, 相当于把随机过程理解为一个无穷维的随机向量, 确定它的联合分布问题. 这一问题最终等价于路径空间上概率测度的构造问题, 其中最著名也是最基本的例子就是连续函数空间上的维纳测度.

另一个著名的相似的框架是格罗莫夫重构定理[Gro99]及其洛伦兹版本[BS25]. 格罗莫夫重构定理是度量测度空间的一个基石性结果, 其洛伦兹版本的定理在弱的意义下解决了因果集理论--量子引力的一个候选理论---的基本问题, 即时空的因果重构问题. 布劳恩和斯曼的工作可以看作是对因果集理论的一个预范畴化, 只要适当的改变其表述形式, 就可以把它翻译成范畴学中Kan扩张构造. 对于柯尔莫哥洛夫扩张定理, 也可以做这样的尝试, 应该会和概率图模型产生密切的联系. 

我们强调, Kan扩张构造在这些理论中都是可操作性原则, 和信息完备原则的充分体现. 事实上, 在柯尔莫哥洛夫在研究马尔可夫过程的早期, 他并未认为有必要证明路径空间上整体概率的存在性, 他认为只要确定下概率转移矩阵就足够刻画马尔可夫过程了. 但是, 仅有概率转移矩阵就无法充分的研究样本路径的概率性质, 这是随机过程研究的一个大的损失. 后来, 维纳测度的严格化, 费曼路径积分的严格化, 费曼-卡茨公式的发现, 以及蒙特-卡洛方法的使用, 都是建立在整体概率存在性的基础上的. 

[Kol33]柯尔莫哥洛夫, 概率论基础, 1933.

[Gro99]格罗莫夫, 黎曼和非黎曼空间的度量结构, 1999.  

[BS25] 布劳恩, 斯曼, Gromov's reconstruction theorem and measured Gromov-Hausdorff convergence in Lorentzian geometry, 2025.

度量测度空间可以看作是非可微版本的黎曼流形. 当然也有平行的洛伦兹版本的度量测度空间. 格罗莫夫是度量测度空间纲领[Gro81]的发起者, 这个纲领也可以称之为合成微分几何纲领(叫这个名字的有两个纲领,一个是基于度量测度空间的, 一个是基于范畴学和拓扑斯的, 本文指前者). 这个纲领近年来的发展很快, 其目标是在非可微的情形下重新证明或者等价地表述在可微情形下得到的定理. 显而易见, 爱因斯坦场方程是定义在具有微分结构的洛伦兹流形上的, 没有微分结构, 度规张量, 曲率张量, 能动张量等一切的局域的物理都无法定义. 

近些年来的一个重要进展是蒙迪诺和苏尔做出的[MS18], 他们在度量测度空间和沃瑟斯坦空间的框架下, 推广了或者说重新表述了爱因斯坦场方程. 这种在非可微情形下的推广, 用到的最优传输机制和熵泛函的位移凸性. 我认为这个工作是度量测度空间纲领在数学物理领域的一个巨大成功. 大家都相信, 时空和引力在极端的量子引力条件下一定不是可以用光滑的数学结构描述的. 例如, 圈量子引力和因果集理论就认为微观的时空是用一些组合或者离散的数学对象描述的. 度量测度空间提供了在宏观或者热力学层面上描述时空和引力的恰当数学语言. 如何把他们的工作融入到因果凝聚框架中来是我非常关心的问题, 这个问题是因果凝聚纲领的一个重要部分.

[Gro81]格罗莫夫, 《Structures métriques pour les variétés riemanniennes》, 1981.  

[MS18] 蒙迪诺, 苏尔, An optimal transport formulation of the Einstein equations of general relativity, 2018.

柯尔莫哥洛夫扩张定理, 贝兹构造与因果凝聚, 格罗莫夫重构定理及其洛伦兹版本, 这三者本质上都是关于一个无穷维结构的构造问题(转化构造一族相容的有限结构), 它们都可以用范畴学中的Kan扩张来理解, 都是建立完整的量子引力理论所必需的构造.  这三个定理分别是随机过程理论, 量子规范理论和度量测度空间纲领的基础定理, 分别描述了数学物理中的非微扰, 强关联, 非平衡的现象和机制. 从量子引力的角度, 这些定理都体现了构建物理理论两个基本原则, 即可操作性原则和信息完备原则, 它们要求理论的基本概念, 输入和输出必须要有现实的可操作性基础和信息论意义上的完备性(有限性的提取和验证). 在这三个定理当中, 我们认为因果凝聚是最基本的, 其它的两个和它在某种意义上有导出关系, 这个问题留在将来论证. 

我们概括量子引力的因果凝聚纲领的主要架构. 它包含两个构建理论的基本原则和三个基本物理原理.  两个基本原则分别是可操作性原则,这是爱因斯坦首先明确倡导的, 以及信息完备原则.  三个基本物理原理分别是背景无关原理, 量子凝聚原理和因果语境原理.

接下来, 我们将探讨和论证该纲领的三大基本原理.量子引力理论致力于统一广义相对论和量子力学, 它们是当前理论物理的两大支柱性理论. 量子引力是引力和时空的量子理论, 但不必是大统一理论或者万有理论.发展量子引力有很多尝试性的途径,在此不必对其进行综述. 但是我们强调由于广义相对论和量子力学都是原理性理论, 作为二者的统一, 量子引力必然也是一个原理性理论. 爱因斯坦认为物理理论大致可以分为两类, 一类是原理性理论, 一类是构造性理论. 因此, 发展量子引力理论, 首要的问题就是确定作为其基础的物理原理, 以及论证其可实现性.下图展示了因果凝聚纲领的主要逻辑, 这是基于目前认识所得到的理论构想.

广义相对论有两个基本原理, 光速不变原理和广义相对性原理. 量子力学也有两个基本原理, 路径积分原理和叠加原理. 在量子引力的语境下, 光速不变原理等价于因果结构, 有一些基础的数学物理理论支撑这一论断, 入霍金-马拉门特定理, 外尔EPS公理化相对论框架, 扭量理论等. 如何从光速不变原理升级到因果优先原理, 可以看我之前文章的分析.

在量子引力的语境下, 量子力学的路径积分原理和广义相对论的背景无关性有明显冲突. 因为路径积分原理的应用强烈依赖于历史空间的概念, 而历史这一概念需要一个背景时空作为前提, 这是与量子引力的背景无关精神相矛盾的. 路径积分原理和背景无关性的冲突也是量子力学和广义相对论的根本冲突. 在贝兹构造和因果凝聚框架中, 我们看到化解这一冲突的希望. 因为贝兹构造和因果凝聚的根本目标就是提供一个让格点规范理论变得背景无关的方法. 图嵌入技术和投影极限方法使得定义背景无关的格点规范理论成为可能. 一个自然的问题就是, 这些技术和方法对于路径积分原理到底意味这什么?

在某种意义上, 可以说, 背景无关性对路径积分原理有釜底抽薪的破坏性. 为了整合路径积分(历史求和)和背景无关性, 我们提出语境求和的观念, 这是一个更符合可操作性原则的概念. 我们认为语境求和是背景无关的路径积分的应有之意, 是对图嵌入技术和投影极限方法的量子力学意义的解读. 我们认为贝兹构造和因果凝聚框架的量子力学和量子场论的意义就是语境求和. 

在具有背景时空的情况下, 时空本身就是一个最大的语境, 粒子轨迹, 或者场的历史的振幅就是时空语境下的量子信息的表征者. 在没有任何预定的时空背景下, 无穷维的量子信息仍然存在, 但是它的呈现方式和范围依赖于一个选定的语境, 这是量子信息整体性的一个体现. 这一模式, 类似于规范场, 其整体的存在性毋庸置疑, 但是要让它具体的呈现, 则需要局域观测者和局域规范固定这样的语境. 规范场的规范对称性就体现为语境的多样性.

粒子轨迹或量子历史, 在量子理论和量子引力理论中, 都是一个很有争议的概念. 对此分析, 需要回顾历史.

1925年, 海森堡追逐爱因斯坦的可操作性原则, 大胆地抛弃了粒子轨迹的概念, 建立了矩阵力学, 标志着量子力学的正式建立. 

1948年, 费曼在波科诺会议上提出基于粒子轨迹的路径积分法, 受到玻尔、狄拉克等物理学巨擘的强烈质疑, 其核心就是费曼不仅使用了粒子轨迹的概念, 还使用了所有可能的非物理轨迹(不满足能量和动量守恒的轨迹)来定义他的积分, 这严重挑战了自海森堡以来的"无轨迹"教条. 

1952年,波姆提出导航波理论, 该理论意图恢复粒子路径的实在性. 

1979年, 惠勒提出著名的延迟选择实验, 把量子历史的干涉性变成一个实验可以验证的事实. 除了海森堡的矩阵力学之外, 费曼的路径积分, 波姆的隐变量和惠勒的延迟选择实验都强调粒子轨迹对于理论的重要性. 于是, 现在的困境就是, 我们既然要坚持海森堡的可操作性原则, 并且想确立路径积分原理的基础地位, 那么我们就不能像海森堡那样完全地抛弃粒子轨迹, 同时我们也不能像费曼那样承认一切粒子路径的客观实在性, 也不能像波姆那样通过引进导航波或量子势来拯救粒子路径, 最后我们还要更好地解释惠勒延迟选择实验. 说到底, 问题就是: 如何更好地看待粒子轨迹或量子历史的概念, 以便符合上面的所有要求?

对于量子引力理论, 背景无关性是一个重要的约束. 因此如何协调它和粒子轨迹, 量子历史的概念, 以及路径积分原理的矛盾就是一个根本性的理论问题. 非常关键的是贝兹构造和因果凝聚框架对解决这个问题给出了重要的启示, 即挽救路径积分的一个可能出路就是转向量子语境性.  粒子轨迹或量子历史的概念应该被替换为量子语境, 历史求和应该替换为语境求和. 

路径积分依赖一个固定不变的通用语境, 即背景时空, 要想使得它符合背景无关性, 自然就是把时空这个通用语境换成任意容许的语境. 这恰恰就是贝兹构造所体现的精神, 它把一个固定的格点系统, 换成任意容许的格点系统. 粒子的轨迹是量子信息相对于时空这个语境的意义, 如果换成任意的语境, 粒子轨迹就不是量子信息的唯一解释了.

未完待续