引言： Gamma 函数是阶乘的推广吗? 

众所周知， 定义在复数域上的Gamma函数在正整数1  2 3 ···上的值为

Γ(n+1) = n! =1·2·3···n                   （1）

于是大家常说函数Γ(z)是阶乘n!的推广 ， 但这是错的。

为什么呢？ 这要看另一个简单的预备函数σ。

对于n=0, 1，2，3，··· 定义函数

σ(n)=0+1+2+3+···+n=n(n+1)/2.       (2)

根据右端， 这个函数的定义域可以扩大到整个实数，

σ(x) = x(x+1)/2.

例如

σ(-1)=0， 

σ(-2)=1， 

σ(-1/2)=-1/8.

这就好象要说， 从0连加到-1， 其和为0；连加到-2， 其和为1； 连加到-1/2， 其和为-1/8，完全语无伦次， 不知所云。 那么这些值的意义是什么呢？ 

容易知道，σ(x)有如下性质

 σ(x+1) = x+1 + σ(x).

反复使用这一性质， 我们知道

 σ(x+n) = σ(x-1) + x + (x+1) + (x+2) + ... + (x+n)

或者

σ(x+n) - σ(x-1) = x + (x+1) + (x+2) + ... +(x+n)         (3)

右端是从实数 x开始的连加， 是从0连加的推广，

如果x=0, 这就是连加公式（2）。 （注σ(-1)=0.）

 例1   x=-1, n=4， 我们有

-1+0+1+2+3=σ(3)-σ(-2)=6-1=5.

不难知道， 

σ(-1)=0

σ(-2)=0+1

...

σ(-n-1)=0+1+2+3+···+n=σ(n).

σ函数在负整数的值， 是重复了正数的连加， 完全不是负数的连加， 或者说

负σ函数是负整数的连加

-σ(-n-1)=0-1-2-3···-n. 

例2   x=1/2, n=4， 我们有

1/2+3/2+5/2+7/2+9/2 

=σ(9/2) - σ(-1/2) 

= 99/8 - (-1/8)

=100/8=25/2

结论. σ(x)可以用于计算连加， 但是本身不是连加的推广。 

如何理解σ(x)呢， 可以这样想：

记

-∞+···+（-2）+（-1）+ 0 = 某个很大的负数

于是

-∞+···+（-2）                   =  很大的负数+1

-∞+···+（-2）+（-1）+ 0+1  =  很大的负数+1

一般地

-∞+···+（-2）+（-1）+ 0+1+···n  = 很大的负数 + σ(n)

于是任何一串连续整数的相加可以由首尾σ(n)的差值计算

m + (m+1) + ··· + k = σ(k) - σ(m-1)

更一般的形式自然是

σ(x+n) - σ(x-1)=x+(x+1)+(x+2)+...+(x+n)

形象一点， 可以把σ函数看作一只小鸡， 它每天的食量渐渐增大，

x，(x+1)，(x+2)，...，(x+n)

它一共吃了多少饲料可以从体重增量得到。鸡的体重一般不是饲料的总量，

只用当鸡的初始体重为零时（这是神话）， 鸡的体重才和饲料总重相同。    

结语： 

Gamma 函数和连乘的一般关系为 

Γ(z)z(z+1)(z+2)···(z+n-1) = Γ(z+n)     (4)

或者 

z(z+1)(z+2)···(z+n-1)=Γ(z+n)/Γ(z)

当z=1时， 我们得到公式（1）， 因为 

Γ(1) =  0!=1. 

当z≠1时， 我们可以这样理解 （4）

-∞···（z-2）（z-1）=  Γ(z)· 很大的数

-∞···（z-2）（z-1）z(z+1)(z+2)···(z+n-1) = Γ(z+n)·很大的数

相除即可得到(4).  

Γ(z)是一种越长越快的动物的体重， 体重增大的倍数与日俱增， 增长到第n+1天的体重为

Γ(z)z(z+1)(z+2)···(z+n-1)=Γ(z+n).

只有z=1是， 

1·2···（n-1）= Γ(n)

是说这种动物第一天体重正好是1Kg， 每天体重是前一天的1倍， 2倍，···， n倍,  第n+1天的体重是阶乘n！， 其他动物体重与增大倍数不同。 

gamma函数不是阶乘的推广， 只是碰巧在自变量为正整数是和阶乘相同。