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2、能量条件

纵观人类科学史，可以发现，一切理论或模型的成败，关键就在于，由人类经验语言构筑的用作认知标准的被称为“基本观念”的“刚杆或标尺”（scale），是否与客观存在物的本质相一致，是否与客观存在物的边界条件相一致。这对任何形式表述的理论，特别是空间理论，都是一样的。

物理学家们所用的能量条件主要分为两类： 一类被称为逐点能量条件 (pointwise energy condition)， 它们给出的是每个时空点上能量动量张量所满足的条件； 另一类被称为平均能量条件 (average energy condition)， 它们给出的是能量动量张量在平均意义上沿特定的类时或类光曲线所满足的条件。 这两类中的每一类都包含几种不同的能量条件， 下面着重介绍逐点能量条件。

      首先对能量动量张量本身的形式做一个简单分析。 为了让度规张量的形式尽可能简化， 人们通常在所谓的正交标架场 (tetrad) 下讨论能量动量张量的形式^[注一]。 正交标架场 (以下简称标架场) 由一组正交归一的基矢量 (e_a)^μ 张成， 其中拉丁字母 a, b, ... 标识标架场的基矢量， 希腊字母 μ, ν, ... 表示基矢量的时空指标。 标架场的基矢量满足下列正交归一条件：

η^ab(e_a)^μ(e_b)^ν = g^μν,     g_μν(e_a)^μ(e_b)^ν = η_ab

很明显， 标架场不是唯一的， 对一个标架场作局域 Lorentz 变换得到的仍然是标架场。 由于 Lorentz 群具有旋量表示 (切空间中的一般线性变换群 GL(4, R) 则没有旋量表示)， 因此标架场在讨论引力场与旋量场的相互作用时是非常重要的工具。 对于我们所要讨论的能量条件来说， 标架场的优点在于能量动量张量在标架场中的分量具有明确的测量意义。

    Hawking 曾经把标架场下的能量动量张量分为四种类型， 每种类型均可通过标架场中的 Lorentz 变换约化为一个正则形式 (canonical form)。 这其中最重要的是第 I 类， 其正则形式为：

T^ab = diag(ρ, p₁, p₂, p₃)

其中 diag 表示对角矩阵， ρ 为标架场中的静止观测者 (即世界线切线沿基矢 e₀ 方向的观测者) 测量到的能量密度， p_i 则为沿三个正交空间方向的主压强。 除了极少数特殊情形外， 这种类型的能量动量张量涵盖了几乎所有物理上有意义的物质分布情形， 下面将只讨论这种类型。

      第 I 类能量动量张量的正则形式其实就是该张量的对角化， 但能量动量张量是一个实对称张量， 按照线性代数中熟知的定理， 实对称张量必定可以通过正交变换对角化， 既然如此， 能量动量张量岂不都应该是第 I 类的？ 为什么在 Hawking 的分类中会出现不止一种类型呢？ 这其中的原因在于普通线性代数所讨论的内积空间具有正定的度规， 而广义相对论中的时空度规不是正定的 (请读者想一想， 度规的非正定性是如何破坏线性代数中有关实对称张量对角化的证明的？)。

下面我们就对几种主要的逐点能量条件做一个简单介绍：

弱能量条件 (weak energy condition): 对所有类时矢量 V_a， T^abV_aV_b ≥ 0。

利用 T^ab 的正则形式， 我们可以证明： 弱能量条件等价于 ρ≥0 及 ρ+p_i≥0 (i=1, 2, 3)。 充分性的证明非常简单： 取 V_a=e₀ (即静止观测者) 可得 ρ≥0； 取 V_a→e₀+e_i (注意 V_a 是趋于而非等于 e₀+e_i， 因为后者是类光的) 则可得 ρ+p_i≥0。 接下来再证必要性： 假设 ρ≥0 及 ρ+p_i≥0， 则

T^abV_aV_b = ρV₀² + Σ_ip_iV_i² ≥ ρ(V₀² - Σ_iV_i²) ≥ 0

其中第一个 “≥” 用到了 ρ+p_i≥0， 第二个 “≥” 用到了 ρ≥0 及 V_a 类时。

在弱能量条件中最重要的部分是 ρ≥0， 它表明能量密度处处为正。 需要注意的是， 虽然上面的推导是在使正则形式成立的特殊标架场中进行的， 但 ρ≥0 这一结果适用于沿任意类时世界线运动的观测者所测得的能量密度 (请读者想一想这是为什么？)。 由于物理上可以实现的所有观测者都是沿类时世界线运动的， 因此弱能量条件表明任何物理观测者测得的能量密度都处处为正。

在弱能量条件中让 V_a 趋于类光， 由能量条件的连续性可以得到：

零能量条件 (null energy condition): 对所有类光矢量 k_a， T^abk_ak_b ≥ 0。

显然 (请读者自行证明)， 零能量条件等价于 ρ+p_i≥0 (i=1, 2, 3)。 零能量条件是一个非常弱的能量条件， 比弱能量条件更弱。

强能量条件 (strong energy condition): 对所有类时矢量 V_a， [T^ab-(1/2)g^abT]V_aV_b ≥ 0。

由于 Einstein 场方程可以改写为 R^ab = 8πG[T^ab-(1/2)g^abT] (其中 T=T^a_a 为能量动量张量的迹)， 因此强能量条件等价于一个几何条件 R^abV_aV_b ≥ 0^[注二]。 从物理上讲， 强能量条件等价于 ρ+Σ_ip_i≥0 及 ρ+p_i≥0 (i=1, 2, 3)。 这一点的证明非常简单， 只需注意到在正则形式下：

T^ab-(1/2)g^abT = (1/2)diag(ρ+Σ_ip_i, ρ+2p₁-Σ_ip_i, ρ+2p₂-Σ_ip_i, ρ+2p₃-Σ_ip_i)

然后做与弱能量条件相同的论证即可 (请读者自行推导上式并完成论证)。

显然， 强能量条件比零能量条件强。 但是与强弱二字的正常含义不符的是， 强能量条件与弱能量条件互不包含， 而非前者强于后者。 事实上， 多数物质的主压强 p_i 是正的， 对于这些物质， 强能量条件其实比弱能量条件还弱^[注三]。

主能量条件 (dominant energy condition): 对所有类时矢量 V_a， T^abV_aV_b ≥ 0， 并且 T^abV_b 非类空。

这个能量条件是在弱能量条件之上增添了能流密度矢量 T^abV_b 非类空这一额外限制。 在正则形式下这一额外限制可以表述为： ||T^abV_b||² = ρ²V₀² - Σ_ip_i²V_i² ≥ 0。 取 V_b→e₀+e_i 可得 ρ²≥p_i²。 这比弱能量条件中的 ρ+p_i≥0 要强。 为了证明 ρ²≥p_i² 也是保证额外限制成立的充分条件， 只需注意到：

||T^abV_b||² = ρ²V₀² - Σ_ip_i²V_i² ≥ ρ²(V₀² - Σ_iV_i²) ≥ 0

这里第一个 “≥” 用到了 ρ²≥p_i²， 第二个 “≥” 用到了 ρ≥0 及 V_b 类时。 将这一结果附加到弱能量条件上可得： 主能量条件等价于 ρ≥|p_i| (i=1, 2, 3)。 从定义及上述结果均可看出， 主能量条件显然比弱能量条件强 (从而也比零能量条件强)。 但它与强能量条件互不包含。

看到这里， 有些读者可能会产生这样一个疑问： 那就是主能量条件中的额外限制是说能流密度矢量非类空。 我们知道， 在相对论中如果一个四维矢量类空， 就必定可以找到一个参照系， 使该矢量的时间分量为负。 对于能流密度矢量来说， 时间分量就是能量密度， 因此如果能流密度矢量类空， 就说明必定存在一个参照系， 在其中能量密度为负。 但弱能量条件已经表明任何物理观测者测得的能量密度都处处为正， 这岂不等于排除了能流密度矢量类空的可能性？ 如果这样的话， 主能量条件中的额外限制变成了弱能量条件的推论， 而这两种能量条件岂不变成等价的了？ 这种推理显然是错误的， 但它究竟错在哪里呢？ 有兴趣的读者不妨思考一下， 以加深对能量条件及其观测意义的理解。

迹能量条件 (trace energy condition): T ≡ T^a_a ≥ 0。

这是我们要介绍的最后一种逐点能量条件。 它的表述与度规张量的符号约定有关， 在本系列中我们所用的约定是 η_ab = diag(1, -1, -1, -1)。 如果做相反的约定， 则迹能量条件的表述为 T≤0。 在正则形式下， 迹能量条件等价于 ρ-Σ_ip_i≥0， 它与其它能量条件互不包含。

注释

[注一] 标架基矢 (e_a)^μ 是时空坐标的函数， 因此叫做标架场。 Tetrad 这个名称通常是指四维的标架场， tetra- 这个词头的含意是 “四”。 标架场的另一个常见的名称是 vierbein， 源于表示 “四” 的德语词头 vier。 在其它维数下， 标架场还有一些常用的名称， 比如 triad， pentad， funfbein， elfbein， vielbein， 等。

[注二] 这里不考虑宇宙学项。 其它能量条件也可以用类似的方式改写成几何条件。

[注三] 由于强能量条件可以写成 T^abV_aV_b≥(1/2)T， 而弱能量条件为 T^abV_aV_b≥0， 由于通常 T≥0， 因此如果把这两个能量条件视为是对 T^abV_aV_b 的约束条件， 则强能量条件比弱能量条件强。 当然这种命名理由也不严格， 因为 T≥0 其实就是迹能量条件， 并非是无条件成立的物理事实。