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奇点定理与能量条件

     广义相对论的经典解 - 比如 Schwarzschild 解 - 存在奇异性. 这其中有的奇异性 - 比如 r=2m - 可以通过坐标变换予以消除， 因而不代表物理上的奇点； 而有的奇异性 - 比如 r=0 - 则是真正的物理奇点. 很明显， 在奇点研究中， 真正的物理奇点才是我们感兴趣的对象. 那么究竟什么是广义相对论中真正的物理奇点 (简称奇点) 呢？ 初看起来， 这似乎是一个很简单的问题. 奇点显然就是那些时空结构具有某种 “病态性质” (pathological behavior) 的时空点. 但稍加推敲， 就会发现这种说法存在许多问题. 首先， “病态性质” 是一个很含糊的概念， 究竟什么样的性质是病态性质呢？ 显然需要予以精确化. 其次， 广义相对论与其它物理理论有一个很大的差异， 那就是其它物理理论都预先假定了一个背景时空的存在^[注一]， 因此， 那些理论如果出现奇点 - 比如电磁理论中点电荷所在处的场强奇点 - 我们可以明确标识奇点在背景时空中的位置. 但是广义相对论描述的是时空本身的性质. 因此广义相对论中一旦出现奇点， 往往意味着时空本身的性质无法定义. 另一方面， 物理时空被定义为带 Lorentz 度规的四维流形^[注二]， 它在每一点上都具有良好的性质. 因此， 物理时空按照定义就是没有奇点的， 换句话说， 奇点并不存在于物理时空中^[注三]. 既然奇点并不存在于物理时空中， 自然就谈不上哪一个时空点是奇点， 从而也无法把奇点定义为时空结构具有病态性质的时空点了. 但即便如此， 象 Schwarzschild 解具有奇异性这样显而易见的事实显然是无法否认的， 因此关键还在于寻找一个合适的奇点定义. 为了寻找这样的定义， 我们不妨想一想， 为什么即便把 r=0 从时空流形的定义中去除， 我们仍然认为 Schwarzschild 解具有显而易见的奇异性？ 答案很简单 (否则就不叫显而易见了)： 当一个观测者在 Schwarzschild 时空中沿径向落往中心 (即 r 趋于 0) 时， 他所观测到的时空曲率趋于发散. 由于观测者的下落是沿非类空测地线进行的^[注四]， 这启示我们这样来定义奇点： 如果时空结构沿非类空测地线出现病态性质， 则存在奇点. 这个定义不需要将奇点视为时空流形的一部分， 从而避免了上面提到的困难. 但是， 这个定义还面临两个问题： 一是 “病态性质” 这个含糊概念仍未得到澄清， 二是在这个定义中， 假如观测者沿非类空测地线需要经过无穷长时间才会接触到时空结构的病态性质， 那么奇点的存在就不具有观测意义. 为了解决这两个问题， 我们进一步要求定义中涉及的非类空测地线具有有限 “长度”， 并且是不可延拓的 (inextendible)[注五]. 这种具有有限 “长度” 的不可延拓非类空测地线被称为不完备非类空测地线 (incomplete non-spacelike geodesics).

    有了这一概念， 我们可以这样来定义奇点： 如果存在不完备非类空测地线， 则时空流形具有奇点. 这就是多数广义相对论文献采用的奇点定义. 这种存在不完备非类空测地线的时空流形被称为非类空测地不完备时空， 简称测地不完备时空 (geodesically incomplete spacetime). 在一些文献中， 按照不完备测地线的类型， 还将测地不完备时空进一步细分为类时测地不完备与类光测地不完备[注六]. 这个定义的合理性体现在： 在一个测地不完备的时空流形中， 试验粒子可以沿不完备的非类空测地线运动， 并在有限时间内从时空流形中消失. 这种试验粒子在有限时间内从时空流形中消失的行为 - 即测地不完备性 - 可以视为是对时空结构具有 “病态性质” 这一含糊用语的精确表述. 这样我们就既解决了 “病态性质” 精确化的问题， 又使奇点具有了观测意义. 在一些文献中， 还对奇点存在于过去还是未来进行区分： 如果所涉及的非类空测地线是未来 (过去) 不可延拓的， 则对应的奇点被称为未来 (过去) 奇点. 细心的读者可能注意到我们在前面的 “长度” 一词上加了引号. 一般来说， 类时测地线的长度定义为本征时间： τ = ∫ ds ,但这一定义不适合描述类光测地线， 因为后者对应的本征时间恒为零. 因此， 我们需要对长度的定义进行推广， 将之定义为所谓的广义仿射参数 (generalized affine parameter). 对于一条时空曲线 C(t) (t 为任意参数)， 广义仿射参数定义为： λ = ∫ [ΣaVa(t)Va(t)]1/2 dt ,其中 Va(t) 为曲线在 C(t) 处的切向量 ∂/∂t 沿该处某标架场 ea(t) 的分量， 曲线上各点的标价场定义为由某一点的标价场平移而来， 求和则是欧式空间中的分量求和. 显然， 这样定义的广义仿射参数是恒正的， 它的数值与标架场的选择有关. 但可以证明， 广义仿射参数的有限与否与标价场的选择无关. 因此它对于我们表述奇点的定义已经足够了. 需要注意的是， 广义仿射参数的定义适用于所有 C1 类 (即一次连续可微) 的时空曲线， 而不限于测地线. 不难证明， 类时测地线的本征时间是广义仿射参数的特例 (请读者自行证明).

     作为一个例子， 我们来看看 Schwarzschild 解中 r=0 的奇点是否满足上面所说的奇点定义. 为此我们来证明从 Schwarzschild 视界 (r=2m) 出发沿 r 减小方向的径向类时测地线的长度 (即本征时间) 是有限的. 由 Schwarzschild 度规可知： ds² = -(2m/r-1)dt² + (2m/r-1)^-1dr²

因此 (请读者补全被省略的计算细节) τ=∫ds <∫(2m/r-1)^-1/2dr ≤ πm < ∞

由此可见这种测地线的长度是有限的. 另一方面， 沿这种测地线趋近 r=0 时， Kretschmann 标量 R^μνρσR_μνρσ 发散， 因此这种测地线是不可延拓的. 这表明 Schwarzschild 解中 r=0 的奇点满足上面所说的奇点定义. 从物理上讲， 这个结果表明落入 Schwarzschild 视界的观测者会在有限本征时间内从物理时空中消失 (形象地说是 “落入奇点”). 现在我们再回到定义上来， 奇点的定义要求时空流形具有测地不完备性. 读者也许会问： 测地线究竟由于什么原因而不完备？ 另外， 虽说测地不完备性是对时空结构所具有的病态结构的精确描述， 但这 “精确” 二字是以数学上无歧义为标准的. 在物理上， 我们仍然可以问这样一个问题： 当观测者沿不完备的测地线运动时， 究竟会观测到什么样的时空病态性质？ 或者简单地说， 奇点究竟是什么样子的？ 对此， 人们曾经试图给予直观描述， 可惜一直没能找到一种直观描述足以涵盖所有可能的测地不完备性. 比如， 人们曾经认为奇点的产生意味着某些几何量 (比如曲率张量) 或物理量 (比如物质密度) 发散， 相应地， 沿不完备非类空测地线运动的观测者观测到的将是趋于无穷的潮汐作用或其它发散的物理效应. Schwarzschild 奇点及大爆炸奇点显然都具有这种性质. 但细致的研究发现， 并非所有的奇点都是如此. 一个最简单的反例是锥形时空： ds² = dt² - dr² - r²(dθ² + sin²θdφ²) ，其中 r>0， 0<φ<a<2π， 并且 φ=0 与 φ=a 粘连在一起. 这个时空是局部平坦的 (曲率张量处处为零)， 显然没有任何发散性. 但这一时空无法延拓到 r=0 (被称为锥形奇点)， 因而是测地不完备的 (类时与类光都不完备)^[注七]. 这个反例表明奇点不一定意味着发散性. 对奇点的另一种直观描述是： 奇点是时空中被挖去的点 (或点集). 比如 Schwarzschild 奇点与锥形奇点是被挖去的 r=0， 大爆炸奇点是被挖去的 t=0. 这种描述如果正确的话， 那么通向奇点的所有测地线 - 无论类时还是类光 - 必定都是不完备的. 换句话说， 如果奇点是时空中被挖去的点 (或点集)， 那么它的存在将同时意味着类时测地不完备性与类光测地不完备性. 我们上面举出的所有例子都具有这一特点. 但细致的研究表明， 这一描述同样不足以涵盖所有的奇点. 1968 年 R. P. Geroch 给出了一个共形于 Minkowski 时空的时空 (R⁴, Ω²η_ab)， 其中共形因子 Ω² 具有球对称性， 在区域 r>1 恒为 1， 在 r=0 上满足 t²Ω→0 (t→∞). 显然 (请读者自行证明)， 类时测地线 r=0 沿 t→∞ 具有不完备性， 因此这个时空流形具有类时测地不完备性. 另一方面， 所有类光测地线都将穿越区域 r≤1 而进入平直时空， 因而都是测地完备的. 由此可见这个时空具有类时测地不完备性， 但不具有类光测地不完备性^[注八]. 这个反例表明奇点并非都能理解为是从时空中被挖去的点 (或点集).

注释

[注一] 当然， 这里所谓的 “其它物理理论” 指的是不把时空本身作为研究对象的理论.

[注二] Lorentz 度规是指 signature 为 (1, -1, -1, -1) 的度规 (有些文献的定义与本文差一个整体符号). 除 Lorentz 度规外， 人们常常在时空定义中附加一些其它条件， 比如 Hausdoff 性质、 连通性， 等. 对于度规的可微性则有的假定为 C^∞， 有的假定为 C^r (r 为正整数 - 请读者思考一下， r 最小应该是多少？)， 等.

[注三] 有些物理学家试图将奇点视为时空流形的边界 - 被称为奇异边界 (singular boundary)， 但迄今尚未建立令人满意的处理方式.

[注四] 非类空即类时与类光的总称. 这里我们所说的 “观测者” 是广义的， 即试验粒子， 其中包括零质量粒子.

[注五] 这里我们首先要求时空流形本身是 “不可延拓” 的， 即无法等度规地 (isometrically) 嵌入更大的流形中. 这一要求排除了一些 trivial 的奇点， 比如在 Minkowski 时空中挖去一个时空点所造成的 “奇点”. 测地线的不可延拓性可以用来排除诸如 Schwarzschild 视界这样的表观奇点.

[注六] 显然我们也可以定义类空测地不完备性， 但由于沿类空测地线的运动是物理上不可实现的， 因此这种测地不完备性在奇点研究中不如其它两种测地不完备性那样受重视.

[注七] 这个例子比较平凡， 一个更复杂的例子是所谓的 Taub-NUT 空间， 它具有 R¹×S³ 拓扑结构， 曲率张量处处有界， 但同样是测地不完备的 (类时与类光都不完备).

[注八] 这个例子比较特设， 一个更具物理意义的例子是 Reissner-Nordström 解， 它描述的是带质量及电荷的球对称时空， Reissner-Nordström 解具有类光测地完备性， 但不具有类时测地不完备性.