第三章 数学与物理学关系综述

李醒民在他所翻译的《物理学理论的目的和结构》（皮埃尔·迪昂著）一文中讲到：“迪昂对物理学理论的目的、定义、价值、本性、功能、结构等作了广泛而深入的探讨.在他看来，物理学理论不是实在说明，而是自然定律的描述和分类”.“按照迪昂的观点，物理学理论是符号的体系，它是通过以下四个基本操作建构的：物理量的定义和测量、假设的选择、理论的数学展开以及理论与实验的比较”（见《物理学理论的目的和结构》[法]皮埃尔·迪昂著李醒民译华夏出版社1999.1）P5.迪昂则讲到：“不管怎样，有一门科学逻辑在其中达到完美的程度，从而使它容易避免，而且当它犯错误时也容易辨认错误，这门科学就是数的科学，即算术及其在代数中的扩展.它把这种完美性归功于极其简略的符号语言，在这种语言中，每一个观念都用毫不含糊定义的记号来表示，每一个演绎推理都用与严格固定的法则一致的、把记号组合起来的操作，用其正确性总是容易检验的运算来代替.这种迅速而精确的代数符号体系保证了进步，这种进步几乎完全无视竞争派的对立的学说（见《物理学理论的目的和结构》[法]皮埃尔·迪昂李醒民译华夏出版社（1999.1）P122”.

数学，是一门科学的语言.从算术到群论，数学构建了科学模型的基础.我们或许会受到一个灵感或一种类比的启发，但是精确的科学语言是需要以数学结构为基础的.或许我们所了解到的关于宇宙最基本的一些东西都和数学有着某种深刻的联系.这种联系或许可以上升为这样的一个问题：为什么数学如此有效？或许是因为我们只挑选那些有用的数学模型，而排除那些无法应用到科学的；又或许是因为作为在物理世界中进化而成的灵长类动物，我们认为是“纯粹”的数学其实反映的只是我们眼中的宇宙是如何运作的.无论何种原因，数学看起来似乎有着不合理的有效性.

1960年物理学家尤金·维格纳（Eugene Paul Wigner）在《数学在自然科学中不合理的有效性》中就表达了他惊奇于数学对物理世界的描述能力，远远超出任何纯粹人造工具的想法.的确，许多物理学家都认为数学深刻地表述了物理现实的本质.

数学在物理学中所起到的重要作用是毋庸置疑的.无论是测量、计数、还是理解世界上的任何模式或关系，数学都是必不可少的工具.然而令人惊讶的是，即使是那些纯粹为了追求美而发展出的纯数学，也能在它出现的很久之后在物理学中找到完美的应用.举个例子，数学家波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）在19世纪发展出了一套特殊的曲率几何概念.当提出这一想法时，黎曼丝毫没在意过物理学.那时的他绝对想不到，在20世纪初，他的工作会在爱因斯坦的笔下为物理学的革命性发展起到推波助澜的作用：黎曼几何正是广义相对论所需要的数学基础.根据广义相对论，引力是由于大质量物体弯曲时空结构而造成的结果.为了描述这种弯曲，爱因斯坦需要定义一个几何物体的曲率，而且不涉及该物体所嵌入的周围空间——这正是黎曼60年之前就已经做到的.这只是数学意外地在物理学中发挥关键作用的其中一个例子.纯数学思维继续引领着现代物理学的发展道路，而且它们总是能够彰显自己卓越的效力.

一旦某一物理学理论的数学描述被找到，就会发现它们通常都非常简单.这并非说物理的数学很容易，其实远非如此.它意味的是物理学的进展并不会带来更复杂的数学.物理学上的突破往往发生在出现一种全新的看待问题的方法时，这种方法需要的是一个从前没被用来思考这一问题的数学框架，又或者是全新的数学框架.在物理学史上，每当这样一个新的框架在物理学上施展时，就会发现最简单的那个方程成了描述宇宙运行规律的方程.

爱因斯坦的广义相对论就是这样一个例子.它的核心方程如下所示：

即使你无法领会其中每个符号的意思，但凭直觉也会感受到，作为一个描述宇宙中所有大型结构和过程的方程，它既优雅又简洁.

另一个将物理学中的数学与其他科学中所应用的数学区分开来的是令人难以置信的精确度.其中一个例子就是用来描述电子自旋如何对电磁场做出反应的 g 因子.通过实验，物理学家测量得到：g=2.00231930436173.根据物理学中的量子场论，我们可以从第一性原理计算出g的值：g=2.0023193043616.仔细对比就会发现，这两个数值的精确度令人惊讶地达到了小数点后的13位！！！在其他科学领域中，理论值与实验值是无法达到如此精确的.

物理学能回馈数学什么吗？能！近几十年来，我们观察到了一个有趣的新动态：物理学的观点已经渗透到数学中，解决了原本似乎完全无法企及的数学问题.一个漂亮的例子来自于物理学家在理解未知物体时最喜欢用的方法.他们会用一大堆他们理解的相当好的粒子，轰击那些未知的物体，再从这些粒子散射的方式推断出物体的属性.这也正是在大型强子对撞机（LHC）等实验中所发生的粒子碰撞的情况.自黎曼以来，数学家开始对流形（manifold）产生极大的兴趣.如果你没听过流形这一概念，那么可以想象一个弯曲且闭合的表面，比如一个球或甜甜圈的表面，而流形就是这种形状在多维空间的推广.从近处看，这些都是几何物体，看起来与我们熟悉的普通欧几里德空间完全相似.但是，它们的整体结构可以比平面或三维空间要复杂得多.它们甚至可以拥有三个以上的维度.但由于我们无法勾勒出这样的流形，所以数学家们对此仍有许多困惑.这时便可以借鉴物理学中的散射思维了.物理学家允许那些用数学方程描述的假想粒子在这些抽象流形上来回移动，使它们“感受”到它们移动时所处的空间.当所使用的假想粒子是那些可以同时出现在很多地方的量子粒子时，这种方法被证明尤其有效，而且在弦理论中粒子的概念会被弦所取代.例如，这种弦使物理学家发现某些流形是成对的，这是数学家完全没有想到的一个事实.这种方法彻底改变了几何学，并解答了一百年来都无法解决的几何问题.那么数学和物理学真的享有某种特殊的关系吗？自然的内秉是数学吗？或者这些例子只是我们选择的、或演化出的看待周围世界的方式？这是留给哲学家的问题了，或许未来我们也会找到其中的答案.最后，引用维格纳曾说过的一句话来结尾：“数学语言在表述物理定律时的适当性是一个奇迹，一个我们既不理解也不应得的奇妙天赐.”

理论物理学和现代数学中的函数、集、矩阵、线性与非线性方程组、向量、几何，拓扑、流形、导数、积分、级数、极限、实数、连续、概率、代数结构等内容，都有很深的联系.英国科学家发表文章《宇宙学的黄金时代》已经来临，指出：“在我们思考宇宙的方式方面最近取得的进展以及能够追溯时间的工具，正在使科学家们越来越接近科学的圣杯———一项包罗万象的理论……几十年来，世界上一些最杰出的物理学家一直努力寻找破解宇宙奥秘的钥匙，但收效甚微……但是，仅仅是最近几年，才得以发现了真正的答案，所有技术当中最强有力的却被证明是笔和纸(数学法)……”著名物理学家、诺贝尔奖获得者杨振宁所说“物理学的最终目标是建立一种统一的数学理论构架，这种美是最终极的美”，爱因斯坦没有获得成功，却留下了这样一段话：“物理学家的最高使命是要获得普遍的基本定律（宇宙核心定律），由此世界体系就能用单纯的演绎方法建立起来.”应用数学大师林家翘认为:自然界的事物基本上都很简单，所有的基础原理及主要问题都可以用数学方式表达，这是应用数学家的一个信仰.

虽然人们已经认识到复杂世界的演化并不是数理方法的简单化原理所能确定的，然而数理基础终究是无法绕开的，经济学家从正反馈悟出了“边际收益递增”原理，生物遗传信息的核心定理出自数学家之手``````.复杂系统对数理科学的依赖性正在不断加大加深.

由物理学理论的基本物理学原理，只有通过数学推导，才能产生可检验的物理学效应.因此，任何一个物理学理论完整的刚性框架，都是由数学构成的.经不起数学检验的理论肯定是错的（这句话不能推出“经得起检验就是对的”）.但有些物理学原理，可以在数学推导过程中产生，尤其是现代物理学理论.物理学理论是由一组物理学原理，镶嵌在数学构成的框架中，形成的一种刚性理论.只要有足够的数学可以建立框架，由一组已知的物理学原理，导出一个物理学理论可能并不难，是一个研究生就可以做的事.但一组新的物理学原理的产生是很难的，没有人能教您怎样才能创建一组新的原理.这种物理学的“镶嵌物”和数学的“刚性框架”，有着非常奇妙的关系.云南大学物理学教授张一方认为:科学的最高准则在于绝对尊重事实，在于必须能与实验相比较，能说明并预言实验事实，总之必须符合客观世界.为此不惜抛弃、修改、发展现有的任何概念、理论.这也是科学发展的一贯传统.随着物理学的发展，他的复杂性也在不断地增大.复杂性必然产生模糊性.因此，相应地一定存在模糊物理.……数学从精确数学、统计数学发展到模糊数学，物理学也是从精确物理、统计物理发展到模糊物理.任何物理理论的基本原理都应当是物理世界在某方面的基本特性的反映，它决定相应的数学工具，并由此定量描述而导出一系列可与实验相比较的物理结论.

1.建立框架过程中引出的镶嵌物

物理学家都希望，能发现一组全新且简单的物理学原理，进而带来一个刚性的理论体系.但实际有很多刚性的原理，并不是预先设定好的，而是在过程中诞生.最恰当的例子就是：迪拉克在试图通过粒子波，重建薛定谔形式的量子力学，使它能跟狭义相对论一致时，发现电子必然有一定的自旋，和存在反电子以及负能量电子的物理学原理，并取得了巨大成功.世界著名物理学家费恩曼有如下论述：“我还要说说在数学同物理学的关系方面的几件更普遍一点的事.数学家们仅仅处理推理的结构，并不真正关心他们所谈论的是什么东西.他们甚至不需要知道他们所谈论的是什么东西或者，像他们自己常说的那样，并不关心他们说的东西是否真正存在”.

2.数学框架的“便携性”

数学框架不但具有可镶嵌性，而且具有便携性.即为一组物理学原理，而建立的数学框架，有时即使是原理错了，框架仍然可以保留下来.最典型的例子还是迪拉克的电子理论.现在我们已经知道：量子力学和狭义相对论的融合，不是迪拉克所寻求的那种薛定谔形式的波动力学，而是海森堡和泡利提出的更为一般的量子场论.只是在只涉及光子、电子、反电子时，迪拉克的电子理论碰巧和量子场论具有相同的结果.但是，迪拉克为其电子理论所建立的数学框架，却作为量子场论的基本形式保留下来.因此，迪拉克的相对论波动力学死了，但理论的结构却仍然活着.

3.框架的完整性

有时一个数学理论，无意中好象是专门为一个物理学理论而创立的，具有非常好的完整性.爱因斯坦在想到用时空弯曲来表述引力时，问他的数学朋友格罗斯曼，有没有能表达三维以上空间弯曲的数学.格罗斯曼告诉并教会他，有黎曼等人在欧几里得几何上发展出来的黎曼几何.黎曼无论如何也想不到，他为爱因斯坦量身定做了一个物理学框架.爱因斯坦把“等效原理”和“时空弯曲”，原封不动地镶嵌在黎曼几何中，“轻而易举”地创建了无可挑剔的广义相对论.

4.框架的超前性

有时物理学家为了创建某种理论而苦苦思索，但忽然他们发现，数学已经为他们提供了这样的理论.典型的例子是：在物理学家寻求粒子大家庭，能生成什么样的内部对称时，发现在数学的“群”和“群论”中，早已把可能的对称都分类好了，根本无须在研究什么了.难怪物理学家威格纳说：数学（在物理学中）具有一种莫名其妙的作用.

狄拉克非常善于充分发挥自己的数学天才，所以他便“无中生有、石破惊天”地写下了达到物理学最高境界的狄拉克方程（pcα+mc²β）Ψ=EΨ．直截了当地揭示出大自然的内在规律，形成架构理论（1928年）．也就是说，狄拉克爱好用数学灵感描述唯象理论的理论物理学的研究．因此，他的文章具有清新、简洁、结构美、逻辑美以及“性灵出万象，风骨超常伦”的特点．给人以“神来之笔”和“秋水文章不染尘”的感受.早在1931年奥地利数学逻辑学家库尔特•哥德尔“通过复杂的逻辑证明，以‘在罗素佯谬系统中不存在命题PK（K）的证明’的结论，确立了著名的哥德尔定理，摧毁了伟大德国数学家大卫•希尔伯特要把数学置于无懈可击牢固基础上的宏伟计划，证明了宇宙公理和法则并非数学逻辑独家所能描述这一科学结论”（姜祖桐：《H自组织理论》）.罗素对哥德尔证明的回应是：“数学基本上不是一个了解和操纵感觉世界的工具，而是一个抽象的体系”；“我在数学里总是希望得到的那种壮丽的确定性消失在不知所措的困惑之中”.数学家外尔（H.Weyl）说：“我相信整个物理现象可以从一个普遍的具有最大数学简单性的自然法则推导出来.”Heisenberg认为：“我相信自然规律的简单性具有一种客观的特征.如果自然界引向极其简单而美丽的数学形式，引向前人所未见过的形式，我们就不得不认为这些形式是真的，认为它们是显示自然界的真正特征.”上帝是完美的，世界也是完美的，用完美的数学推导出的科学理论是完美的，一定是客观存在的.这么完美的理论，不可能不是世界的.在爱因斯坦那里，大自然的和谐、统一这种美感，已经上升为一种坚定的信念，这给他带来了无穷无尽的探索的力量和智慧.

物理与数学是科学界的两只奇葩，是互相促进的双生兄弟.不同的是物理学是关于自然界的科学而数学是逻辑的科学.它们研究的对象不同，但是一旦它们间出现交集，就可能产生巨大的突破.历史上众多的例子正说明这一点.让我们举几个大家熟知的粒子：牛顿将微积分引入力学，从此力学就不再是对现象的简单描述而成为能精确计算和做出准确预言的科学了；爱因斯坦应用黎曼几何写出了广义相对论方程，它在今天仍然是研究黑洞、宇宙演化和大天体行为的基本理论；海森堡应用线性代数建立了量子力学中和波动力学等价的矩阵力学.陈省身先生说目前数学和物理学只有10%的交叠，诚然，要能做到大师们达到的高度，我们不仅有很好的物理训练，知识积累，还要掌握很复杂的数学知识.几十年前数学物理方法（解偏微分方程和本征值问题）还是很深奥的，但今天已经是大学的基本课程了.我们今天有很多物理问题（理论的）解决不了，很大程度上是我们掌握的数学工具不够.

实际上，我们今天只会用微扰论逐阶计算一些物理量，这显然不是最终的解，我们期望计算误差越来越小，逼近真值，但谁也没法保证一定是这样的.为什么我们不能直接得到精确解呢？也许需要某位数学家帮助我们解决.据说威滕（Witten）等人在这方面做出很大成绩，但离我们的期望还很遥远.

然而有趣的是，如果是对付1023这么多的粒子，我们就可以用统计力学的方法来完美解决，这归功于伟大的物理学家玻尔兹曼.这时我们不需要关于任何个体的确切信息，而只需要对大量粒子整体的性质做完美的解释.统计学现在已经在物理之外得到广泛的应用.当然统计学是数学的重要分支，并非专为物理所设，但到了物理学家手中它成为宏观世界和微观世界间的一座桥梁，从而是我们认识到许多宏观效应的根源，这种理解是数学和物理的完美结合典范之一.

我们相信数学文化和物理文化在不断碰撞、融合，将来一定会超出陈省身先生的10%的论断，而产生出科学中更伟大的进步.

李醒民在他说翻译的《物理学理论的目的和结构》（皮埃尔·迪昂著）一文中讲到：“迪昂对物理学理论的目的、定义、价值、本性、功能、结构等作了广泛而深入的探讨.在他看来，物理学理论不是实在说明，而是自然定律的描述和分类.”，“按照迪昂的观点，物理学理论是符号的体系，它是通过以下四个基本操作建构的：物理量的定义和测量、假设的选择、理论的数学展开以及理论与实验的比较.”这与某些著名物理大师观点并不相同.著名物理学家费恩曼讲到：“我还要说说在数学同物理学的关系方面的几件更普遍一点的事.数学家们仅仅处理推理的结构，并不真正关心他们所谈论的是什么东西.他们甚至不需要知道他们所谈论的是什么东西或者，像他们自己常说的那样，并不关心他们说的东西是否真正存在.”……“物理不是数学，数学也不是物理学.两者是相辅相成的.但在物理学里你要理解词语同现实世界的联系.你最终必须把脑子里所想的东西转换为语言文字，转换为同现实世界的联系，……只有通过这种方式你才能发现你的结果是否正确.这是一个单凭数学完全无能为力去解决的问题.”北京大学物理系主任赵凯华讲到：“理论物理学家不能仅仅埋首于公式的推演，应该询问其物理实质，从中构想出鲜明的物理图像来，实验物理学家不应满足于现象和数据的记录，或某种先进的指标，而要追究其中的物理机理”.

数学是打开自然秘密的钥匙，但从物理学理论这种高度抽象中得到的数学关系，涉及到一些无法测量的量，只有一小部分可以直接验证，这就要求从本质上与现实世界保持联系.日本物理学家汤川秀树认为，这最容易理解的方法，当然是用模型所进行的类推；他说，类推法是把过去熟知的东西作为图像，抓住还不十分清楚的物质的本质，预想两者之间具有的类似点，以发现和理解与其性质类似而性质不同的新事实.我们可以用美国数学家、数学史家、数学教育家克莱因的话结束这篇文章：

“数学的另外一个基本作用（的确，这一点在现代特别突出），那就是提供自然现象的合理结构.数学的概念、方法和结论是物理学的基础.这些学科的成就大小取决于它们与数学结合的程度.数学已经给互不关联的事实的干枯骨架注入了生命，使其成了有联系的有机体，并且还将一系列彼此脱节的观察研究纳入科学的实体之中.”

沁园春.数学之光

学苑繁花，形山隐隐，数海茫茫.

览九章勾股^①，绝伦精美.算筹珠算，源远流长.

刘徽割圆^②，祖氏算率^③，勾股方程数我邦.

傲天下，看文明国度，风采飞扬！

自欧陆数学彰，诸贤士，似雄狮渐昂.

有省身^④华老^⑤，闻名举世.朴实景润^⑥，惊艳张杨^⑦.

一代英才，家曦^⑧哲轩^⑨，克难攻坚震四方.

图强计，闯数学之路，无限荣光！

注释：

①九章勾股：我国的《九章算术》《周髀算经》中都给出了勾股定理的证明，他们的证明较西欧文明古国希腊数学大家欧几里德、毕达哥拉斯的证明早了一个多世纪.勾股定理是人类历史上第一个将数形联系起来的定理.勾股定理是证明方法最多的定理之一，迄今已有500多种不同的证明方法.

②刘徽割圆：魏晋时期数学家刘徽（约225年～约295年），为了计算圆周率、圆面积，不断倍增圆内接多边形边数，以求出圆周率的方法，是极限思想在数学探索中的最早应用.

③祖氏算率：祖冲之（429年～500年）是南北朝时期的大数学家，他是世界上第一个将圆周率数值推算到小数点后第七位的人，即3.1415926的精确值！今天，圆周率的精度已达到小数点后62.8万亿位.

④省身：即陈省身先生（1911年10月～2004年12月），是20世纪最伟大的几何学家之一，被誉为“整体微分几何之父”.他发展了Gauss—Bonnet(高斯-博内)公式，被命名为“Gauss－Bonnet－陈省身公式”，提出了“陈氏示性类(Chern Class)”，成为经典杰作.

⑤华老：即中国著名数学家华罗庚(1910年11月～1985年6月)，他是中国科学院院士、美国国家科学院外籍院士、第三世界科学院院士、中国科学院数学研究所原所长，在解析数论、多复变函数论、矩阵几何学、高维数值积分、近代数论方法应用研究等领域均有卓越贡献.

⑥景润（1933年5月～1996年3月）：他提出了陈氏定理，其定理是：“任何一个充分大的大偶数，均可表示为一个素数与一个然数（为不超过两个素数之积）的和”，亦称“1+2”.距哥德巴赫猜想的证明还有一步之遥.

⑦惊艳张杨：张杨，指张广厚（1937年1月～1987年1月）、杨乐（1939年11月～2023年10月），二者均为中国科学院院士、中国现代数学家，在中国科学院数学研究所任研究员，于上个世纪八十年代共同合作，开启了用计算机证明几何定理数值并行方法，并被命名为张杨定理，该定理是描述函数值分布中的两个主要概念:亏值与奇异方问之间具体联系的定理.被数学界视为“惊艳世界的成就”，具有划时代里程碑式意义，为推进数学科学研究工作出了令人折服的巨大贡献.

⑧家曦：指陆家曦（1935年6月～1983年10月），是中国现代数学家，国家自然科学奖一等奖获得者，历任内蒙古包头市第二十四中学、第九中学物理教师，长期从事组合数学研究，是世界跨世纪数学难题“柯克曼四元系列”命题攻克者.

⑨哲轩：即陶哲轩（1975年7月～），华裔数学家，菲尔茨奖获得者、英国皇家学会院士.