4.对称性原理在物理学习中的作用

德国数学家魏尔(H﹒Weyl)在1951年给出了对称性的普遍的严格定义：对一个事物进行一次变动或操作，如果经过此操作后，该事物完全复原，则称该事物对所经历的操作是对称的，而此操作就叫做对称操作.由于操作(变换)方式不同可以有若干种不同的对称性.下面我们介绍几种不同的对称操作.

对称不仅美，而且有用.电磁波的波动方程：                                               ，其中，Ｂ为磁场强度，Ｅ为电场强度，Ｃ为光速.这个方程中Ｂ与Ｅ是对称的，麦克斯韦用纯数学的方法从这些方程中推导出可能存在的电磁波，这种电磁波后来被赫芝发现，由此可得电场与磁场的统一性.现代物理学中的对称原理确实在理论发展中起到了重要作用，但同时也面临着对称失效的问题.李政道教授将分立对称性失效的原因列为21世纪科技界面临的难题之一，反映了对于理解自然界中不对称现象的重要性和挑战.对称的相对性和绝对性是一个复杂而深入的问题，不同的物理情境和理论可能会对对称的概念有不同的理解和应用.对称的相对性指的是在某些条件或参照系下，系统或现象表现出对称性质，但在其他条件或参照系下可能不再具有这种对称.

4.1空间反演操作与镜像对称

空间反演操作类似于物体的平面镜成像，具有对某一轴线或平面的对称性.如物理学中的位置矢量r，经过空间反射后，与镜面垂直的分量反向，与镜面平行的分量则不变(如图1).再比如，求解电场的区域内有自由电荷，我们必须解泊松方程.一种重要的特殊情形是区域内只有一个或几个点电荷，区域边界是导体或介质界面，而解决这类问题，我们用镜像法就显得尤为简便.

例3接地无限大平面导体板附近有一点电荷Q，求空间中的电场.

解从物理上分析，在点电荷Q的电场作用下，导体板上出现感应电荷分布.若Q为正的，则感应电荷为负的.空间中的电场是由给定的点电荷Q以及导体面上的感应电荷共同激发的，而另一方面感应电荷共同分布又是在总电场作用下达到平衡的结果.平衡的条件就是导体的静电条件，即导体表面为一等势面，所以这问题的边界条件是：

=常数（导体面上）或者说，电场线必须与导体平板垂直.

怎样才能满足这一边界条件呢？我们设想，感应电荷对空间电场的作用能否用一个假想电荷来代替？如图（2），设想在导体板下方与电荷Q对称的位置上做一个假想电荷，然后把导体板抽去.若=-Q，则假想电荷与给定电荷Q激发的总电场如图1-5所示，由对称性容易得出，在原导体板平面上，电场线处处与它正交，因而边界条件得到满足.因此，导体板上的感应电荷确实可以用板下方一个假想电荷代替.称为Q的镜像电荷.

导体板上部空间的电场可以看作原电荷Q与镜像电荷=-Q共同激发的电场.以r表示Q到场点P的距离，表示像电荷到P的距离，P点的电势为：.

选Q到导体板上的投影点O作为坐标原点，设Q到导体板的距离为a，有

即得解.

4.2空间平移对称操作与平移对称

当某一物理规律经过坐标平移后仍与原规律相同，则为平移对称.例如，我们在一定的位置上做一个实验，然后在空间的另一个位置上建立另一套仪器（或者把原来的仪器搬过去），那么凡是在前一套仪器中按一定的时间顺序发生的一切，在后一套仪器中也将以同样的方式出现；只要我们安排好同样的条件，并且对前面讲过的一些约束予以应有的注意，即周围环境中所有使仪器不能同样工作的特征都要排除掉.这样在两地会得到相同的物理定律，即物理定律具有空间平移对称性.

4.3空间旋转对称操作与转动对称

在物理转动问题中，有些问题如果用常规方法则显得很繁琐，不容易计算，而如果用转动对称性来解决问题，则会简化很多.而转动对称如何来表述呢？例如，太阳绕通过其中心的任意轴旋转某一角度后，其现状与原状一样.进行物理实验的仪器转动某一角度后，所得到的物理规律不会因空间的转动而发生变化，即物理定律具有空间转动对称性.

例4考虑一个刚体转动问题，如图3所示，有一个质量为M，半径为R的密度均匀的圆盘，在距圆心O为d的地方挖去一个半径为r的小圆，则这个圆盘就出现了一个空洞，求这个带有空洞的圆盘以过圆心O点并垂直于这个圆盘的Z轴的转动惯量.

对于这个物体转动问题，要计算其转动惯量，一般是用转动惯量的定义式去对整个刚体进行积分运算，但由于这个刚体有一个小空洞，使得这一处地方很难进行积分运算，求解起来相当复杂.但从对称性的角度来看这个问题，就变得较为简单了.

如果将空缺的小圆盘补上，则这个大圆盘就对O点完全对称了，空洞的圆盘重新作为一个完整圆盘，其转动惯量可设为，而小圆盘对自己圆心的转动惯量可设为，再考虑到小圆盘的平移对称性，应该还有一个因为平移的转动惯量，则这个带有空洞的圆盘以过圆心O点并垂直于这个圆盘的Z轴的转动惯量就为整个刚体的转动问题变得很简单.将空缺圆盘视为一个新的完整圆盘，则其密度发生了变化，设其质量面密度分布为σ，则有(1)

则新的完整圆盘的转动惯量，为(2)

小圆盘对于自身圆心的转动惯量为(3)

再考虑平移对称性问题，则有小圆盘平移的转动惯量为(4)

则整个圆盘的转动惯量I为（5）

由此可见，利用对称性分析，这个物体的转动惯量问题变得十分简单，不需要繁杂的数学积分运算，只需要简单的代数加减法就能解决问题了.