“理查德二律背反”（悖论）是法国第戎中学的一名数学老师儒尔-理查德（Jules Richard, 1862-1956）提出的，曾在20世纪初数学基础的研究中发挥了重要作用，相信在21世纪的今天，会为重新解读哥德尔不完全性定理焕发青春，这正是现代化即是传统的现代化，。。。

1905年6月30日，法国的《科学杂志》（Revue générale des Sciences）发表了儒尔-理查德的一封信，信中他提出了一个关于集合论的二律背反：

“如果我们对所有可以用有限数量的字来定义的实数进行编号，那么我们可以用康托尔的对角线法构建一个不在这个列表中的实数。然而，这个实数已经由有限的字定义在这个列表中了。”

« Si l'on numérote tous les nombres réels définissables en un nombre fini de mots, alors on peut construire, en utilisant l'argument de la diagonale de Cantor un nombre réel hors de cette liste. Pourtant ce nombre a été défini en un nombre fini de mots. »

我将理查德的信翻译如下：

题目：数学的原理和集合问题

我们收到了第戎中学老师M. J. Richard的来信，内容如下：

在1905年3月30日的期刊中，指出了人们在集合的一般理论中遇到的某些矛盾。

不需要到序数理论那去寻找这种矛盾，这里有一个连续统研究中显而易见的问题，其他几个问题可能也与此有关：

我将通过以下考虑来定义某个数集，我将称之为集合E：

让我们写下法语26个字母的所有二二的组合，按字母顺序排列这；依次写下所有三三的组合，按字母顺序排列；然后，依次写下那些四四的组合，等等。这些排列可能包含同一字母重复多次，它们被称为重复排列。

无论整数p是多少，26个字母p到p的任何排列都可以在这个表中找到，由于一切可以用有限字数书写的东西都是字母的排列，一切可以书写的东西都会在我们刚刚指出的形成方式的表中找到。

由于数是用文字定义的，而文字是用字母定义的，所以其中一些排列将是数的定义，从排列中剔除所有不属于数定义的内容。

让u1是由排列定义的第一个数，u2是第二个，u3是第三个，等等。

这样，我们就有了按一定顺序排列的、用有限数量的字定义的所有数。

因此: 所有可以用有限字数来定义的数构成一个可数集。

现在，矛盾就在这里。我们可以形成一个不属于这个集合的数。

“让p是集合E的第n个数的第n个小数位；让我们形成一个整数部分为0的数，如果p既不等于8也不等于9，第n个小数位为p+1，在相反的情况下是1。这个数N不属于集合E。如果它是E组的第n个数字，它的第n个数字将是该数字的第n个小数位，但它不是。

我称G为引号中的一组字母。

数N是由群G的字定义的，也就是由有限的字定义的；因此它应该属于集合E。然而，我们已经看到，它并不属于它。

这就是矛盾。

这种矛盾只是表面现象。让我们回到我们的排列上；它将存在于我的表中。但是，在它所占据的位置上，它并没有意义。它谈到了集合E，而这还没有定义。所以我必须把它划掉。只有当集合E被完全定义时，群G才有意义，而这只有通过无限多的字来定义。所以没有矛盾。 

人们还可以注意到，集合E和数字N的集合形成了另一个集合。第二个集合是可数的。数字N可以在集合E的某个等级k处插入，通过将所有等级高于k的其他数字向后移动一个等级。让我们继续把E称为这样修改过的集合。那么词组G将定义一个与N不同的数字N'，因为数字N现在占据了等级k，而N'的第k位不等于集合E中第k个数字的第k位。

第戎中学教师 J. Richard

原文：https://philpapers.org/archive/RICLPD-16.pdf

Les principes des Mathématiques et le problème des ensembles

Nous avons reçu de M.J. Richard, professeur au Lycée de Dijon, ma lettre suivante :

Dans son numéro du 30 mars 1905, la Revue signale certaines contradictions qu’on rencontre dans la théorie générale des ensembles.

Il n’est pas nécessaire d’aller jusqu’à la théorie des nombres ordinaux pour trouver de telles contradictions. En voici une qui s’offre dès l’étude du continu, et à laquelle plusieurs autres se ramèneraient probablement :

Je vais définir un certain ensemble de nombres, que je nommerai l’ensemble E, à l’aide des considérations suivantes:

Ecrivons tous les arrangements deux à deux des vingt-six lettres de l’alphabet français, en rangeant ces arrangements par ordre alphabétique, puis, à la suite, tous les arrangements trois à trois, rangés par ordre alphabétique, puis, à la suite, ceux quatre à quatre, etc. Ces arrangements peuvent contenir la même lettre répétée plusieurs fois, ce sont des arrangements avec répétition.

Quel que soit l’entier p, tout arrangement des vingt-six lettres p à p se trouve dans ce tableaux, et comme tout ce qui peut s’écrire avec un nombre fini de mots est un arrangement de lettres, tout ce qui peut s’écrire se trouvera dans le tableau dont nous venons d’indiquer le mode de formation.

Le définition d’un nombre se faisant avec des mots, et ceux-ci avec des lettres, certain de ces arrangements seront des définitions de nombres. Biffons de nos arrangements tous ceux qui ne sont pas des définitions de nombres.

Soit u1 le premier nombre défini par un arrangement, u2 le second, u3 le troisième, etc.

On a ainsi, rangés dans un ordre déterminé, tous les nombres définis à l’aide d’un nombre fini de mots.

Donc : Tous les nombres qu’on peut définir à l’aide d’un nombre fini de mots forment un ensemble dénombrable.

Voici maintenant où est la contradiction. On peut former un nombre n’appartenant pas à cet ensemble.

« Soit p, la nième décimale du nième nombre de l’ensemble E ; formons un nombre avant zéro pour partie entière, et pour nième décimale p+1, si p n’est égal ni à 8 ni à 9, et l’unité dans le cas contraire ». Ce nombre N n’appartient pas à l’ensemble E. S’il était le nième nombre de l’ensemble E, son nième chiffre serait le nième chiffre décimal de ce nombre, ce qui n’est pas.

Je nomme G le groupe de lettres entre guillemets.

Le nombre N est défini par les mots du groupe G, c’est-à-dire par un nombre fini de mots ; il devrait donc appartenir à l’ensemble E. Or, on a vu qu’il n’y appartient pas.

Telle est la contradiction.

Montrons que cette contradiction n’est qu’apparente. Revenons à nos arrangements ; il existera dans mon tableau. Mais, à la place qu’il occupe, il n’a pas de sens. Il y est question de l’ensemble E, et celui-ci n’est pas encore défini. Je devrai donc le biffer. Le groupe G n’a de sens que si l’ensemble E est totalement défini, et celui-ci ne l’est que par un nombre infini de mots. Il n’y a donc pas contradiction. 

On peut encore remarquer ceci : L’ensemble de l’ensemble E et du nombre N forme un autre ensemble. Le second ensemble est dénombrable. Le nombre N peut être intercalé à un certain rang k dans l’ensemble E, en reculant d’un rang tous les autres nombres de rang supérieur à k. Continuons à appeler E l’ensemble ainsi modifié. Alors le groupe de mots G définira un nombre N’ different de N, puisque le nombre N occupe maintenant le rang k, et que le kième chiffre de N’ n’est pas égal au kième chiffre du kième nombre de l’ensemble E. 

J. Richard

Professeur au Lycée de Dijon