梁定祥猜想解析及证明思路

  梁定祥猜想：6的任何倍数的平方，恰好是两组孪生素数之和。

    设6的任意倍数的平方为(6n)^2，m正整数且1≤m≤(18n^2-2)，p为不小于√(18n^2)的素数，则

          (6n)^2=m+(18n^2-m) +(m+2)+(18n^2-m-2)

          m≠0modp  18n^2-m≠0modp  m+2≠0modp  18n^2-m-2≠0modp

   即

          m≠0 modp  m≠18n^2 modp  m≠p -2 modp  m≠18n^2-2 modp

   给定一正整数n，m有解，梁定祥猜想正确，否则不成立。下面分析上列四个同余不等式。

   当p为2时，四个同余不等式等价于m取模2余1的数，去模2余0的一个同余类。

   当p为3时，四个同余不等式等价于m取模3余2的数，去模3余0，1两个同余类。这里可以看出18n^2里因数3的作用，如果18n^2不是3的倍数，18n^2模3余1或2，那么(18n^2-2)模3余2或1，则m没有可取之数。因此只要是3的倍数即可，所以18n^2可换成6n^2。

   当p为不小于5的素数时，四个同余不等式最多去模p的四个同余类，m可能有解。

   n^2的作用：18n^2的个位数变为0，8或2，四个同余不等式，当p=5时，最多去模5的三个同余类，m也是可能有解。 因此，18n^2换成6n不影响问题的本质，但是可表偶数增加为偶数的1/6。

18n^2或者6n，在什么情况下成立？

回顾四生素数，设正整数n，2≤m≤n，p为不大于√(n+8)的素数，若m≠0modp , (m+2)≠0modp，(m+6)≠0modp , (m+8)≠0modp，则m,(m+2),(m+6)和(m+8)为四生素数。m≠0modp , (m+2)≠0modp，(m+6)≠0modp , (m+8)≠0modp，是去模p余0，（p－2），（p－6），（p－8）的同余类。在《素数个数公式及其推论》一文中推论18：不大于x的四胞胎(p,p+2,p+6,p+8)素数个数S(x)公式可推导出：当18n^2或者6n大于3500000时，表法数不小于1。因为梁定祥猜想已验算到这个程度，梁定祥猜想是正确的。18n^2换成6n，3500000内有几个不成立，这个可以用计算机验算。下面就6n=6，12，18，24，30几个数按本文思路验算，加深本文印象。

6n=6，1≤m≤4，p=2，在1、2、3、4中去模2余0的数后，余下1、3两个数，m分别取1和3得：

12n=6n+6n=m+(6n-m)+(m+2)+(6n-m-2)

         =1+(6-1)+(1+2)+(6-1-2)

         =1+5+3+3=(1+3)+(3+5)

         =3+(6-3)+(3+2)+(6-3-2)

         =3+3+5+1=(3+5)+(1+3)

6n=12，1≤m≤10，p=2、3，在1、2、3、4、5、6、7、8、9、10中去模2余0的数后，余下1、3、5、7、9五个数，在余下数中去模3余0、1的数后，余下5一个数，m取5得：

12n=6n+6n=m+(6n-m)+(m+2)+(6n-m-2)

         =5+(12-5)+(5+2)+(12-5-2)

         =5+7+7+5=(5+7)+(5+7)

    6n=18，1≤m≤16，p=2、3，在1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16中去模2余0的数后，余下1、3、5、7、9、11、13、15八个数，在余下数中去模3余0、1的数后，余下5、11、两个数，m分别取5和11得：

12n=6n+6n=m+(6n-m)+(m+2)+(6n-m-2)

         =5+(18-5)+(5+2)+(18-5-2)

         =5+13+7+11=(5+7)+(11+13)

         =11+(18-11)+(11+2)+(18-11-2)

         =11+7+13+5=(11+13)+(5+7)

   6n=24，1≤m≤22，p=2、3，在1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22中去模2余0的数后，余下1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21十一个数，在余下数中去模3余0、1的数后，余下5、11、17三个数，m分别取5、11和17得：

12n=6n+6n=m+(6n-m)+(m+2)+(6n-m-2)

         =5+(24-5)+(5+2)+(24-5-2)

         =5+19+7+17=(5+7)+(17+19)

         =11+(24-11)+(11+2)+(24-11-2)

         =11+13+13+11=(11+13)+(11+13)

         =17+(24-17)+(17+2)+(24-17-2)

         =17+7+19+5=(17+19)+(5+7)

   6n=30，1≤m≤28，p=2、3、5，在1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28中去模2余0的数后，余下1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27十四个数，在余下数中去模3余0、1的数后，余下5、11、17、23三个数，在余下三个数中去模5余0、3的数后，余下11、17，m分别取11和17得：

    12n=6n+6n=m+(6n-m)+(m+2)+(6n-m-2)

         =11+(30-11)+(11+2)+(30-11-2)

         =11+19+13+17=(11+13)+(17+19)

         =17+(30-17)+(17+2)+(30-17-2)

         =17+13+19+11=(17+19)+(11+13)

   验算到1000，有6n=96、 516 、786 、906，m无解。

   结论：梁定祥猜想是正确的。

         12 的倍数恰好是两组孪生素数之和，在不小于3500000时成立。