从无为原理到标准时频变换

一种不同于正交优先的调和分析思想及其二十年发展

学术回顾稿｜2006—2026｜2026年10月

摘要

传统调和分析以傅里叶展开、正交分解和谱表示为重要基础，但正交性并非识别和谐信号的唯一途径。标准时频变换（Normal Time-Frequency Transform，NTFT）以“和谐者无为”为构造思想，要求单一和谐函数在自身频率处经变换后保留原有的振幅、相位和时间结构，并且在该频率处形成严格最大响应。本文回顾从标准化小波方法、2009年理论著作、极移与地球自转研究，到海洋潮汐、GNSS反射测高、地震与固体潮等应用的发展脉络；讨论单分量保真、多分量近似恢复、核函数频率选择性之间的数学联系；辨析NTFT与正交方法的互补关系，并提出“和谐保真优先”作为值得进一步公理化的调和分析研究纲领。本文对已发表成果、数值实验与开放问题作出区分，附代表性文献及待核查条目。

关键词：无为原理；标准时频变换；NTFT；调和分析；和谐性；无为滤波；时频分离

一、引言：从正交分解到和谐显现

傅里叶分析通过把复杂运动表示为不同频率的指数或三角函数来研究信号，正交性为展开系数计算和能量关系提供便利。然而，“如何展开信号”与“如何忠实呈现信号中已有的和谐结构”是相关但不等同的问题。有限窗口内的两个不同频率谐波通常并不严格正交，非平稳数据还包含时变振幅和相位，因此实际分析不能只依赖严格正交关系。

f(t) = Σₖ Aₖ exp[i(ωₖt + φₖ)]

NTFT采取原理先行的构造路线：先规定信号在其自身和谐频率处应保留原有结构，再设计满足这一约束的时频变换。这不是对傅里叶理论的否定；现代调和分析早已包含非正交表示与时频局部化。NTFT的特点，在于明确地将“无为性”置于变换核的定义条件之中。

二、无为原理及其数学要求

对于复和谐函数 h(t)=Aexp[i(ω₀t+φ)]，在恰当的归一化与核约定下，无为原理规定：

𝒯[h](t, ω₀) = h(t)

这表明在和谐频率处，变换保留信号的振幅、相位与时变结构。以一般线性积分形式表示时频变换：

𝒯ψ[f](τ, ϖ) = ∫ f(t) ψ̄(t−τ, ϖ) dt

与NTFT有关的公开文献以核函数的频率响应表述标准化条件。采用对应文献的归一化及变换约定，其核心要求为：

ψ̂(ω, ϖ) = 1  （ω = ϖ）

|ψ̂(ω, ϖ)| < 1  （ω ≠ ϖ）

前一条件代表严格和谐保真；后一条件代表自身频率处的严格唯一极大响应。唯一极大并不自动代表高频率分辨率：若主瓣过宽，邻近频率仍然可能发生显著泄漏。

三、单分量严格保真与多分量近似恢复

对于由若干不同频率谐波叠加而成的信号，假定NTFT为线性变换：

f(t) = Σₖ₌₁ᴺ hₖ(t) + n(t)

在ωⱼ处，变换输出由目标分量、其他分量的交叉响应与噪声共同组成：

𝒯[f](t, ωⱼ) = hⱼ(t) + εⱼ(t)

因此“单一和谐函数严格恢复”与“多分量近似恢复”必须区分。对于有限个互异恒频分量，若核的非零频差响应随有效观测时长增大而衰减，则交叉泄漏可以趋近于零。这一结论需要实际核函数、采样方式、边界处理和稳定性假设，不能无条件推广到任意数据。

当 T → ∞，且 Hₜ(Δω) → 0（Δω ≠ 0）时，𝒯ₜ[f](t,ωⱼ) → hⱼ(t)

正交性是实现分解的一种有力条件，但并不是所有可辨识谐波都必须在有限窗口中严格正交。相反，频率唯一响应、核的集中性以及误差控制共同决定NTFT可实现的分离能力。

四、二十年发展阶段

五、代表性应用及其意义

5.1 地球极移与地球自转

2007年Liu、Hsu与Grafarend将标准Morlet小波方法应用于地球极移；2014年Su等将NTFT用于长期极移预测。这类数据既包含周年分量、Chandler摆动等周期成分，也包含缓慢变化的振幅和相位；NTFT为周期跟踪和预测提供另一种技术路径［1，4］。

5.2 海洋潮汐与调和分析

2018年Cai等利用NTFT进行短期潮位预测，报告了真实验潮数据上的预报效果。2019年Li等将最小二乘估计与无为方法结合，检验了多个验潮站；相关研究也指出K₁/P₁和K₂/S₂等邻近潮汐分量在短记录中难以区分［8，9］。这些工作既显示方法的实用性，也明确了频率间距和记录长度的限制。

5.3 GNSS反射测高

2024年Gao等在IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing报告NTFT辅助GNSS-R海面高程反演，并与Lomb–Scargle周期图、小波方案进行比较。不同测站结果并非完全一致，正适合用来评价方法的适用边界［10］。

5.4 地震、地球自由振荡和重力固体潮

NTFT及其相关方法被用于地震初至拾取、自由振荡识别和固体潮参数分析。2025年前后已有重力固体潮潮汐参数计算研究，2026年又有基于动态重力固体潮振幅因子的研究使用NTFT思路［11—14］。这些方向表明其应用不限于单一地球科学数据类型。

5.5 和谐度谱：对和谐性自身进行量化

2023年Liu等发表Harmonicity Spectrum，结合标准时频分析与相关性来刻画和谐程度［7］。由此，研究重点从谐波在正确频率处的保真，延伸到对弱和谐结构的识别，构成NTFT谱系中重要的后续方向。

六、一种不同于正交优先的调和分析思想

传统方法的重要组织原则是正交展开：选择函数族、计算投影系数、重构信号。NTFT强调的另一条路径是：规定谐波在其自身频率处成为变换不动点，并利用频率响应的唯一最大性使该结构显现。因此，可以把NTFT的思想概括为“和谐优先、保真优先”。

正交分析：  函数间关系 → 系数表示 → 信号重构

NTFT思路： 信号自身和谐 → 频率处无为 → 分量显现

这一差异是设计原则及研究视角上的差异，而不是互斥的数学分野。短时傅里叶变换等工具经过恰当归一化也可能满足单谐波不变性；NTFT在整个调和分析中的独创贡献，应通过核的函数类、反演公式、分离误差、噪声鲁棒性以及独立实测比较进一步确定。

七、科学史地位与未来研究问题

公开出版物证明，NTFT具有可追溯的理论出发点、持续发展的方法谱系以及跨多个应用领域的案例。已经证实的是：它不再只是理念构想，而有正式论文、专著和数据分析实践。仍待全面回答的是：它的公理化范围究竟多大，是否能形成相对于已有非正交框架的统一稳定性定理，以及研究共同体对其基础性意义的接受程度。

后续工作可以着重：（1）将无为条件表述为函数空间内的算子不动点要求；（2）证明一般核函数下的存在性、唯一性与误差上界；（3）规范多分量、有限采样与强噪声的基准测试；（4）区分原创团队应用与独立采用；（5）建设可复现的公开数据和代码比较体系。

八、结论

从“和谐者无为”的直觉到NTFT的数学定义，再到多种实际观测应用，体现出一种以信号内在结构约束分析工具的研究路径。NTFT最鲜明的思想贡献不是简单替代傅里叶分析，而是在正交分解之外，强调以和谐保真性与频率选择性共同组织时频分析。无为原理所代表的调和分析哲学转向，已经通过NTFT的数学构造、理论发展和长期应用成为可以考察的学术事实。问题不再是这种思想能否付诸实践，而是如何准确评价它对调和分析发展的历史贡献。

参考文献

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[17] 韩宇飞等. 连续重力观测潮汐与非潮汐信号提取与处理平台设计与实现. 中国地震, 2024.〔卷期页码待核〕

[18] Su X. Standard Time-Frequency Transform Theory and Its Geoscience Application. 中国科学院大学学位论文, 2014.〔中英文正式题名待核〕

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[20] Duan P, Liu G, Hu X, Sun Y, Li H. Possible damping model of the 6 year oscillation signal in length of day. Physics of the Earth and Planetary Interiors, 2017, 265: 35–42. DOI: 10.1016/j.pepi.2017.02.002.

文献说明：本稿根据前述公开资料检索整理；部分参考条目仅能确认主题、年份或DOI，明确标为“待核”。正式投稿前应逐条比对出版商原文、补全作者与卷期页码，并核查每项工作与NTFT的直接关系。

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