卡尔曼滤波是一种最优化递归的信号处理的数学算法，本质是数学算法，与传统的滤波器有本质的区别。

日常生活中，对某一物体进行测量，如买了一块肉用秤称重，用同样的秤来称，会发现每一次秤的重量都不完全一样，原因在于秤是有测量误差的，那如何通过多次称的重量计算出这块肉的重量呢？常见方法是用多次测量取平均值的方法来作为这块肉的重量。从这常见的生活案例中，隐藏了很多数学本质，一是被测量对象——肉没有变化过；二是测量用的秤是同一个，且一定有测量误差；三是不知道这块肉真实重量，用了统计学的平均值概念估计出这块肉的重量；那多次称重后的平均值是不是真实的重量呢？也不一定，也会存在一定的误差，只是日常生活中认为这个不确定的误差是无法确定的且已经非常小，是可以接受的而已。

用数学方法对上述案例进行描述，引出递归的方法。

设对这块肉进行了次测量，测量值为,其中,用

表示这个测量值平均后的估计值，那么个测量值平均后得到的估计值可以写成。所以有

从式(1)中可以看出，时，即只测量了一次，那估计值就是测量值，商场超市的称重都是这种做法，当，，此时的估计值就是上一次的估计值；这很容易理解，即对某物体经过很多次测量后，估计值基本稳定，增加或减少一次测量值不会对估计值有影响。

设式(1)中的,这个和后面要讲的卡尔曼滤波增益有着千丝万缕关系，则式(1)可写成

如何计算呢？

在式(1)中，通过k次测量做了平均值估计出了这块肉的重量，毕竟这是估计出的值，是不是真实值呢？不一定，特别是当测量次数k比较小的时候，这种估计值与真实值之间的误差可能还比较大，设真实值与第k次测量后的估计值之间的误差为，因为测量设备（如秤）本身就有无法消除的测量误差，设测量误差为,一般设备测量误差虽然表现出的是随机性，但其统计特性是符合某种确定参数的概率分布，可以认为这误差统计值（如方差）是常数，记为。记住以下两个公式：

如此以来，通过(2)、(3)、和(4)递归计算出测量物体的估计值。

举例，设一块肉的真实重量是1000g，秤的误差是g，测量了20次，测量值如表1所示。用上述方法计算出这块肉的估计重量。

由示例可知，初始估计值和初始估计误差不知道，可以假设第一个测量值为初始估计值，即，初始估计误差可以假设为，根据式(2)、(3)和(4)递归计算如下：

当k=1

当

当

依次根据测量值计算增益值、估计值和估计误差值，对观测值与估计值用折线图表示，如图1所示，其中蓝色表示测量值，橙色表示估计值。

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由图1可以看出，估计值与真实值1000更接近，且偏差较测量值与真实值的偏差小很多。

假设对同一个物体用不同测量工具测量，测量值因为不同测量工具自身的测量误差所致造成测量值不一样，那如何确定该物体比较准的测量值呢？还是用买肉来举例，假设一块肉的真实重量是1kg，用两个秤来称，其中第一个秤称的重量是994克，另一个秤称的是1002克，已知第一个秤的测量误差是7克，第二个秤的测量误差是5克，那用这两个秤所称出的重量估计这块肉的重量是多少？常规做法一般就是两个秤所称重量取平均，即克。用数据融合方法，即将两个不太准确的测量值融合后得到比较准的测量值，借鉴式(2)的思路。

设上例第一个秤测量值为， 该秤测量误差服从正态分布,同理第二个秤测量值为，其测量误差服从正态分布，设两个测量值融合后的估计值为，因此，列出估计值方程为：

如何选择使得估计值与真实值最接近，即估计值的误差最小？ 数学上用方差来评估误差，方差最小则表示误差最小。对式(5)，计算估计值的方差，设其为并使其最小，则融合后的估计值最优。计算的方差实际是计算真实值与估计值误差的方差，同理，的方差是,的方差是。因为和分别是两个不同测量设备（秤）测量的数据，所以，和相互独立。

式(6)中，当对的导数为0时，最小，即

解(7)，得

将代入(8)，得，则最优估计值为

克，比和更接近真实值1000。

4. 系统方程

如此以来，根据系统方程的状态方程和观测方程，计算了时刻状态量的先验估计（也称预测估计)，预测协方差，卡尔曼滤波增益，状态量估计值和估计协方差 ,状态方程误差的协方差为，观测误差的协方差为,通过设定初始估计协方差矩阵和状态量,在给定的状态转移矩阵，控制矩阵，控制量和观测矩阵基础上，通过观测值可通过卡尔曼滤波方法最优化递归估计状态量。