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【论文推荐】程代展, 胡晓明, 申铁龙丨非线性控制系统的复杂性

已有 885 次阅读 2026-9-23 14:41 |个人分类:论文推荐|系统分类:博客资讯

编辑荐语

本期将给大家分享"非线性控制系统的复杂性(Complexity of nonlinear nontrol systems)". 如您对本期相关内容有好的理解与建议, 欢迎评论区留言.

"线性系统是一个系统, 非线性系统是全部系统." 关肇直先生的这句名言, 精准道出了非线性控制系统的本质复杂性. 本文以此为纲, 系统综述了非线性控制理论中具有代表性的核心问题——可控性、镇定、解耦、输出调节、H∞控制等, 并与可线性化系统进行深入比较, 明确指出可线性化系统仅是全体非线性系统中的一个零测集, 远不足以代表非线性控制的典型复杂性. 文章回溯了从Brockett几何控制理论到反步法、输出调节、小增益、自抗扰等经典方法的演进脉络, 同时探讨了几何工具在次黎曼几何、同伦逼近、集群能控性等前沿问题中的持续生命力. 作者既不回避几何理论对模型精度与数学门槛的苛刻要求, 也坚定捍卫其不可替代的理论洞察力. 本文视野深邃、论证严谨, 既是对非线性系统复杂性的一次深刻阐释, 也是对几何控制理论价值的有力辩护, 值得控制领域的研究者与工程师静心品读.

论文介绍

非线性控制系统的复杂性

Complexity of nonlinear nontrol systems

程代展1, 胡晓明2†, 申铁龙3

机构: 1. 中国科学院数学与系统科学研究院系统科学研究所; 2. 瑞典皇家理工学院(KTH) 数学系; 3. 上智大学工程与应用科学系

引用: 程代展, 胡晓明, 申铁龙. 非线性控制系统的复杂性. 控制理论与应用, 2026, 43(8): 1631 – 1638

DOI: 10.7641/CTA.2026.60102

全文链接:

https://jcta.ijournals.cn/cta_cn/ch/reader/view_abstract.aspx?file_no=CCTA260102&flag=1

摘要

非线性是复杂性的一个基本体现, 它在线性与非线性控制系统的分析与综合中反映出许多完全不同的性质, 非线性系统的这些不同于线性系统的特性是其固有的非线性本质的反映. 本文综述非线性控制的一些有代表性的结果, 包括可控性、镇定、解耦、输出调节、H∞控制等问题, 并与相应的可线性化系统比较, 以说明可线性化控制系统不能代表具有典型复杂性的非线性控制系统.

引言

复杂性科学曾被称为21世纪的科学. 而当人们谈论复杂性时, 则几乎必提非线性, 非线性大概可视为复杂的第一特征. 那么, 到底什么是非线性? 特别是在系统控制理论中, 非线性系统与线性系统到底有什么本质的区别? 非线性系统的复杂性表现在什么地方? 这些问题对非线性控制系统有兴趣的学者是绕不开的问题. 非线性控制系统早已有之, 比如瓦特的飞球调速器(1768)就是一个非线性系统. 但是, 真正从几何上给出非线性控制系统的结构, 推动非线性系统控制理论及应用实现历史性大飞跃的是由Brockett于1972年首次提出的非线性系统的几何控制理论, 并在随后的数十年间取得了飞速发展. 它清晰地给出了非线性系统的结构特征与控制设计方法, 包括: 反馈线性化、反步法、零动态、输出调节、H∞控制等, 从而解决了大量非线性控制设计问题.

有人质疑, 非线性系统的现有理论, 无法像线性系统控制理论那样, 随心所欲地进行控制设计, 事实上的确如此. 但是, 将线性系统与非线性系统进行类比是不恰当的. 关肇直先生有一句名言: “线性系统是一个系统, 非线性系统是全部系统.” 这句话形像地说明了“线性”与“非线性”的本质不同, “ 非线性”或可视为“线性”的余集, 却不是它的对称集. 要求所有的系统都具有某个特定系统的良好性质, 这是不合逻辑的. 实际上, 在Whitney拓扑下可以证明: 能线性化的非线性系统, 只是一个零测集[1].

本文讨论如下的仿射非线性系统:

640 (1).png

这里M为一个n维流形, 作为特例, M = R n . 不熟悉流形的读者, 直接把M当作n维欧氏空间即可, 一个更一般的非线性系统(状态空间方程)

640 (2).png

但只要令

640 (3).png

将(x, u)当作新状态变量, v当作控制, 则式(2)就变成了式(1). 因此, 式(1)可视为一般非线性控制系统.

非线性系统的状态空间一般为微分流形. 一个微分流形, 是由一个第二可数的Hausdorff拓扑空间, 再加上相容的局部坐标结构形成的[2] . 为什么非线性系统的状态空间不可以像线性系统那样, 简单地用欧氏空间R n来表示呢? 这是由于非线性系统处理对像的多样性引起的. 例如, Brockett的几何控制理论的初创论文献[3]讨论的对像是卫星姿态控制, 状态空间是SO(3), 一个特殊正交矩阵集, 它是一个李群. 观测是其一个正规子群的陪集空间. Brockett在这篇文章中给出了能控性的充要条件, 相应的能观性充要条件是多年后由文献[4]给出的.

力学中有大量基于广义坐标的拉格朗日系统或哈密顿系统, 广义坐标构成的状态空间都不大可能会微分同胚于一个欧氏空间, 多半是各种紧流形. 有兴趣的读者可参见力学系统几何控制方面的专著, 如文献[5].

这些系统完全不可能有一个全局反馈等价的线性系统. 因此, 非线性控制系统一般假定其状态空间为一个n维流形. 它当然包括最简单的n维欧氏空间.

现状与展望

非线性系统的几何理论, 是控制理论中的一个重要组成部分, 其成果十分丰硕. 基于非线性几何理论提出的大量工程设计方法, 包括: 反步法 (backstepping)、输出调节(output regulation)、小增益理论(small gain)[28]、微分代数方法[29–30]、变结构控制(滑模控制)[31–32]、输入–状态稳定性, 还有韩京清教授原创的自抗扰方法[33]等, 在众多工程系统控制中得到广泛应用. 许多大师的经典著作, 可供学生与科研人员学习、参考, 如文献[14, 16, 34]等.

时至今日, 非线性系统的几何理论依然是国际控制学界持续关注的研究方向, 尽管不再占据主流地位. 当前若干前沿问题仍借助几何工具深入探索, 例如, 次黎曼几何方法[35]以及从这一方法产生的测地线(对应非完整约束系统能量最优控制的解) 的正则性问题[36–37]; 利用同伦逼近考虑非线性系统的能控性及控制设计问题[13, 38]; 基于李代数方法的集群能控性判据[39–40]及其在神经网络万有逼近理论中的应用[41]等.

几何理论亦有其固有局限. 首先, 其高度抽象的数学语言对工程师与工科学生构成较高的学习门槛; 其次, 该方法对模型精度要求严苛, 在实际应用中鲁棒性往往不足. 尽管如此, 不应“泼洗澡水连孩子一齐倒掉”–—几何理论提供的深刻洞见与方法论仍是应对复杂非线性问题的宝贵财富.

线性系统理论已臻成熟, 其良好的线性与全局特性为系统综合提供了完备平台. 可线性化的非线性系统, 其控制设计可转化为相应线性系统问题, 核心在于“线性化”本身, 而即便在状态反馈框架下, 全局线性化问题亦未彻底解决.

然而, 线性系统(包括可线性化的非线性系统)并未真正触及非线性特性的本质. 非线性系统控制理论的终极挑战, 恰在于揭示并驾驭这些“非线性”本身. 当前虽有大量工程上可用的成熟方法, 但非线性系统的内在机理仍如蒙纱女神, 尚未完全显露. 拓扑学与微分几何作为其基本理论工具, 将在未来继续发挥不可替代的作用–—从局部到全局, 从线性化到本质非线性, 从结构分析到鲁棒综合. 非线性系统几何理论的未来, 或将在数学深化的同时, 寻求与数据驱动、智能方法的有机融合, 以回应工程实践对普适性与鲁棒性的双重呼唤.

致谢: 本文在写作过程中得到海内外多位非线性控制专家的支持和帮助, 特此致谢!

作者简介

程代展博士, 教授, 目前研究方向为非线性控制、复杂系统理论、切换系统、多自主体系统、矩阵的半张量积及逻辑动态系统等;

胡晓明博士, 教授, 目前研究方向为非线性反馈控制、非线性观测器设计、传感与主动感知、多自体系统的建模、分析及控制等;

申铁龙博士, 教授, 目前研究方向为动力学系统控制理论及其在机电系统、汽车动力系统中的应用等.

期刊介绍

《控制理论与应用》(Control Theory & Applications)是经国家科学技术部批准, 教育部主管, 由华南理工大学和中国科学院数学与系统科学研究院联合主办的全国性一级学术刊物, 1984年创刊, 月刊, 国内外公开发行. 《控制理论与应用》是中国科学引文数据库首批统计源期刊之一，中文核心期刊，入选中国精品科技期刊顶尖学术论文F5000项目，中国科协自动化学科领域高质量科技期刊目录以及中国科协百篇优秀科技论文遴选计划，2021年入选广东省高质量科技期刊建设项目，2022-2024年连续获得基金委资助（科技活动专项）。

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