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量子几何与现代物理学

爱因斯坦还说：“为了真正证明量子关系，显然需要新的数学语言.无论如何，用微分方程组和积分条件来记录自然规律，正如我们今天所做的那样，是同合理的想法矛盾的.理论物理学的基础重新受到震撼，实验要求我们能够在新的更高的水平上找到描述自然规律的方法.新思想要到什么时候才会出现呢？谁要是能够活到那个时候并且能够看到这一点，那该是多么幸福啊.一个明智的科学家．应该在探索科学真理的过程中，清醒地看到外部标准和内部标准的应有地位，充分发挥二者的有效作用，使之珠联璧合、相得益彰，把科学认识推向前进.从特殊的感性知识到逻辑自洽的理论体系的发展，必须依靠数学.没有新的逻辑自洽的数学形式的出现，新的物理学的普遍理论体系是不可能产生的.物理科学所描绘的是实在的一个分析性的方面；经验告诉我们，物理学所绘制的囹表使我们能够预测，有时还能控制自然界的作用.知识的大综合是时常进行的.字谜画中的各个方块突然配合起来了；不同的孤立的概念由某一个伟大的科学家融合起来了，这时就会出现壮观的盛况——牛顿创立天体演化学，麦克斯韦把光和电统一起来，爱因斯坦把万有引力归结为空间和时间的一个共同特性，都是这样的情况.一切迹象都说明，还会有这样一次综合.在这样一个综合中，相对论，量子论和波动力学可能会归入到某一个包罗万象的、统一的、单一的基本概念里去.

1.拓扑学，这门研究几何对象在连续变形下保持不变性质的数学分支，乍看之下似乎与物理学相去甚远.然而，近几十年来，这个看似抽象的领域已深深融入物理学的织锦，揭示了空间形状与物质行为之间的深刻联系.拓扑学的核心在于根据物体的内在属性而非度量属性对它们进行分类.例如，咖啡杯和甜甜圈在拓扑上是等价的，因为可以通过连续变形将一个转变为另一个，而无需撕裂或穿孔.这种在连续变换下不变性的概念在物理学中是一个强大的工具，因为系统经常会由于外力或内在动力学而发生变形.

2. 宇宙学中的拓扑2.1 拓扑缺陷在宇宙学中，拓扑有助于理解拓扑缺陷的形成和演化，如宇宙弦、域壁和单极子.这些缺陷是早期宇宙相变的遗迹，可以提供关于早期宇宙条件的见解.2.2 拓扑膨胀拓扑还在宇宙膨胀模型中起作用，宇宙膨胀是早期宇宙中的快速膨胀时期.某些拓扑配置可以驱动膨胀动力学，从而更好地理解宇宙的大尺度结构.

3. 结论拓扑已成为现代物理学中不可或缺的工具，为理解复杂物理现象提供了深刻的见解和新颖的方法.从研究奇异物质相到量子场论中的基本相互作用，再到宇宙的演化，拓扑继续塑造我们对物理世界的理解.随着研究的进展，我们可以期待在拓扑与物理学交叉领域出现更多令人兴奋的发展.

20世纪理论物理学家说得最多的话题是广义相对论和量子理论，而量子几何正是为现代物理学这两大支柱整合服务的.因为空间量子化不仅是许多物理学家曾经的猜测，而且因量子化概念本身的广泛应用已开启了人们的想象，传统的量子引力方案是继承广义相对论经典的表述方式，即以度规场作为基本场量，一个连续的背景时空会是量子场论中紫外发散的根源.1971年R.Penrose首先提出了一个具体的离散空间模型，其代数形式与自旋所满足的代数关系相似，被称为spinnetwork.1986年后，A.Ashtekar等物理学家借鉴了A.Sen的研究工作，在正则量子化方案中引进了一种全新的表述方式，即以自对偶自旋联络作为基本场量，这组场量通常被称为Ashtekar变量，由此为正则量子引力的研究开创了一番新的天地.同时T.Jacobson和L.Smolin发现Ashtekar变量的Wilsonloop满足Wheeler-DeWitt方程.在此基础上C.Rovelli和Smolin提出把这种Wilsonloop作为量子引力的基本态，从而形成了现代量子引力理论的一个重要方案:Loop  Quantum Gravity.1994年Rovelli和Smolin研究了Loop Quantum Gravity中的面积与体积算符的本征值，结果发现这些本征值都是离散的，它们对应的本征态和Penrose的spinnetwork存在密切的对应关系.Loop Quantum Gravity因此也被称为量子几何(Quantum Geometry).这里它完全避免使用度规场，从而也不再引进所谓的背景度规，因此被称为是一种背景无关的量子引力理论.一些物理学家认为Loop Quantum Gravity的这种背景无关性是符合量子引力的物理本质的，因为广义相对论的一个最基本的结论就是时空度规本身由动力学规律所决定，因而量子引力理论是关于时空度规本身的量子理论.在这样的理论中经典的背景度规不应该有独立的存在，而只能作为量子场的期待值出现.

量子场论纲领认为，场（量子场）才是第一性的实在，粒子不是永固不变的而只是派生的，通过激发和退激，粒子（＝场量子）在场中产生和湮灭，相互作用是通过量子场来实现的.量子场以局域耦合和场量子的为基础.总之，这种系统阐述方式，是植根于通过局域耦合概念而建立的算符场的定域激发概念.从数学角度看，抽象的希尔伯特空间中的对称变换群，构成一般量子力学的数学基础，可观察量是用其中的线性厄米算符表示的.量子场论所处理的是所谓的定域场（局域场）.也就是说，场变量只在一个点空间才有定义，定域场相当于一个算符，定域的场算符.量子场论确立之后，能够用场理论的产生和湮灭算符方便而精确地描述所有相关过程（包括玻色子、费米子的场，还包括其间的基本相互作用）.换句话说，费米子和玻色子都被看作是一个场的量子.在场论的这种表述中，引入产生和湮灭算符（即a，a*或b，b*）以增加或减少在某种量子态中的粒子数.一个振子振幅的算符能够产生或者毁灭振子的一个量子.这样，物理上场量子的产生和湮灭过程以及哲学上的生成论思想，其关键性特征可以通过精致的数学形式加以刻画.可见，宇宙奥秘深藏于数学规律的毕达哥拉斯主义理念，对由量子场所代表的流变的微观物理世界并没有例外.

尽管在引力场几何化纲领和量子场纲领之间，从相互作用机制上说存在着深刻的区别（前者涉及宏观、外部空间，后者涉及微观、抽象空间）.然而，引力场与量子场在场本体论上却仍然有一致性.曹天予在《规范理论和基础物理学的几何化》（1987）中提出了将规范场与引力场进行细致类比的思想.如果从规范场论的眼光来看引力场，那么局域规范对称性就可消除时空的平坦性，而仿射联络能够在弯曲时空中起到联络不同时空点方向的作用.与引力场的弯曲时空相似，物理系统的内部空间的方向在不同时空点也是不同的.因此局域规范对称性也要求引入规范势，这相应于规范作用，以便联络在不同时空点的内方向.这样，规范势在规范理论的纤维丛空间中所起的作用，恰好等同于仿射联络在广义相对论的弯曲时空所起的作用，因此规范相互作用应当看作一种新的几何化.

LoopQuantumGravity所采用的新的基本场量绝非只是一种巧妙的变量代换手段.因为从几何上讲，Yang-Mills场的规范势本身就是纤维丛上的联络场，因此以联络作为引力理论的基本变量体现了将引力场视为规范场的物理思想.不仅如此，自旋联络对于研究引力与物质场(尤其是旋量场)的耦合几乎是必不可少的框架，因此以联络作为引力理论的基本变量也为进一步研究这种耦合提供了舞台.Rovelli和Smolin等人发现在LoopQuantumGravity中由广义协变性，即称为微分同胚不变性所导致的约束条件与数学上的“节理论”有着密切的关联，从而使得约束条件的求解得到强有力的数学工具的支持.LoopQuantumGravity与节理论之间的这种联系看似神秘，其实在概念上并不难理解，微分同胚不变性的存在使得Wilsonloop中具有实质意义的信息具有拓扑不变性，而节理论正是研究loop拓扑不变性的数学理论.对LoopQuantumGravity与物质场(比如Yang-Mills场)耦合体系的研究显示，具有空间量子化特征的LoopQuantumGravity确实极有可能消除普通场论的紫外发散.

我们知道一个量子系统的波函数由包含了对系统有影响的各种外场的作用.这种方程对于波函数Ψ是线性的，也就是说如果Ψ1和Ψ2是方程的解，那么它们的任何线性组合也同样是方程的解.这被称为态迭加原理，在量子理论的现代表述中作为公理出现，是量子理论最基本的原理之一.但是一旦引进引力相互作用，情况就不同了.因为由波函数所描述的系统本身就是引力相互作用的源，而引力相互作用又会反过来影响波函数，这就在系统的演化中引进了非线性耦合，从而破坏了量子理论的态迭加原理.不仅如此，进一步的分析还表明量子理论和广义相对论耦合体系的解是不稳定的.其次，广义相对论和量子理论在各自“适用”的领域中也都面临一些尖锐的问题.例如量子理论同样被无穷大所困扰，虽然由于所谓重整化方法的使用而暂得偏安一隅.但从理论结构的角度看，这些无穷大的出现预示着今天的量子理论很可能只是某种更基础的理论在低能区的“有效理论”.因此广义相对论和量子理论不可能是物理理论的终结，寻求一个包含广义相对论和量子理论基本特点的更普遍的理论是一种合乎逻辑和经验的努力.引力量子化早期的尝试，几乎用遍了所有已知的场量子化方法.最主要的方案有两大类：协变量子化和正则量子化.协变量子化方法试图保持广义相对论的协变性，基本的做法是把度规张量分解为背景部分和涨落部份.但不同的文献对背景部份的选择又不尽相同，这种方法和广义相对论领域中传统的弱场展开方法一脉相承，思路是把引力相互作用理解为在一个背景时空中引力子的相互作用.在低级近似下协变量子引力很自然地包含自旋为2的无质量粒子，即引力子.由于这种分解展开使用的主要是微扰方法，随着一些涉及理论重整化性质的重要定理被相继证明，基本上结束了早期协变量子引力的生命.

与协变量子化方法不同，正则量子化方法一开始就引进了时间轴，把四维时空流形分割为三维空间和一维时间，从而破坏了明显的广义协变性.时间轴一旦选定，就可以定义系统的Hamilton量(哈密顿量)，，并运用有约束场论中普遍使用的Dirac正则量子化方法.与协变量子化方法一样，早期的正则量子化方法也遇到了大量的困难，这些困难既有数学上的，也有物理上的，比如无法找到合适的可观测量和物理态.当然量子引力还有另一种极为流行的方案是超弦理论.与传统的量子几何相比，量子引力只不过是超弦理论的一个部份.从量子引力的角度来看，传统的量子几何是正则量子化方案的发展，而超弦理论则通常被视为是协变量子化方案的发展.这是由于当年受困于不可重整性，人们曾经对协变量子化方法做过许多推广，比如引进超对称性，引进高阶微商项等，这些推广后来都殊途同归地出现在超弦理论的微扰表述中.因此虽然超弦理论本身的起源与量子引力无关，但它的形式体系在量子引力领域中通常被视为是协变量子化方案的发展.经过十几年的发展，目前LoopQuantumGravity已经具有了一个数学上相当严格的框架.除背景无关性之外，LoopQuantumGravity与其它量子引力理论相比还具有一个很重要的优势，那就是它的理论框架是非微扰的.一个国际合作的研究小组在１月１７日出版的英国《自然》杂志上，报告了他们对于地球重力场量子化的观测结果.他们让冷却到非常接近绝对零度的中子在重力场中运动，同时用一个探测器观测中子的下落.结果他们发现，中子的下落过程不是连续的，而是从一个位置“跳”到了另外一个位置，这一过程与理论的预测相符合，从而实际观测到了引力场的量子效应.不带电微粒子（如中子）在低真空度的管室内，在地球引力场的自由下落，不是沿下垂线连续落下的，而是阶梯式下落的.这表明引力场实际上也是象原子内的电磁场那样，也有能级的，是离散的.行星、卫星稳定轨道的不连续分布早就表明了这点，只是人们没从这一观点上去认识而已！

爱因斯坦的广义相对论场方程直接支配运动方程，而无须引入任何新的常量.事实上，爱因斯坦的广义相对论的运动方程可以直接从表述能量——动量张量的散度等于0的方程△r=T_ur中得出，因此electricfield的方程应当直接得出量子跃迁的条件.在任何自恰的场理论基础中，不应该在场的概念上附加任何粒子概念.整个理论的基础应仅仅建立在偏微分方程及其非奇性解上.^【1】

拓扑学是研究几何图形连续性质即在连续变形下保持不变的一门学科，1873年麦克斯韦把拓扑学的连通性理论应用于电磁学的研究.如果考虑到拓扑空间结构没有时间轴，那么electricfield的理论基础可能不是仅仅建立在偏微分方程及其非奇性解上.中微子不带quantityofelectricity而具有引力质量说明其只具有度量结构，不具有拓扑结构.电磁质量与引力质量的差异性是对称的相对性的表现形式，例如数值在实数集上量子分布与连续分布、度量空间结构与拓扑空间结构、惯性差异等.

目前，物理学在最基本的问题上还远未形成比较一致的认识，物质的最基本单元是球粒子、是弦、是圈还是孤立波，各种理论有不同的说法.四种自然力的微观作用机制也没有建立起相应的物理力学模型，现有的模型也基本属于数学、几何模型.往往人们在设想物理模型的过程中陷入绝境时，会倒退回数学领域，即：建立与观测事实相拟合的数学、几何模型.

哥白尼创立日心说的初衷不是因为地心说的计算与观测不符，而是系统的复杂性让人难以容忍.哥白尼创立日心说后的一百多年间，地心说仍然处于主导地位.除宗教的原因外，其中也因为日心说的理论计算与观测数据符合的精度并未超越地心说.海王星的发现，才最终证明了日心说的正确性，也证明了牛顿力学体系的正确性.

虽然主流物理学家认为：物理力学模型只是建设物理学大厦的脚手架，大厦建好后是可以拆除的，但在物理学大厦还在继续增高的过程中，长期没有脚手架是危险的.“假如没有高风险，量子引力理论什么都不是（包括弦、圈等量子引力理论）.”——圈量子引力理论的创始人，李·斯莫林说.一个缺乏基本物理模型的物理学，单靠数学这一根拐杖到底能够走多远，谁也说不准.可以预想，现代物理学需要一场哥白尼式的革命.

因为创造论是物理学界无法接受的概念，所以大爆炸宇宙学营垒总是面临着无法逃避的讨厌问题：“宇宙中这么多的物质和能量到底是从哪里来的？”“在大爆炸之前世界到底是什么样子？”为了回答这些问题，一个新的理论流派—量子引力—应运而生.

1970年代，一些理论家将超对称理论和广义相对论结合，提出“超引力理论”，可是因为计算非常复杂，用霍金的话来说就是需要计算200年都不知道结果是否能够收敛，因此只好作罢.1984年，格林(M.B. Green)和施瓦兹(J.H. Schwarz) 提出10维空间的超弦理论（superstring theory），其中 6维空间“卷缩”在普朗克长度（10⁻³⁵ 米）的微小空间.这个理论宣称有可能统一所有的作用力，包括万有引力，所以被称为“万能理论”（Theory of Everything）.因为超弦理论是10维空间的抽象数学理论，根本无法和物理世界的任何物理量挂钩，也没有任何人能对6个“额外维度”的物理意义作出任何解释.数学家们只能推说：反正这些维度卷缩在10−35 米的微观空间，我们观察不到，所以不要追究它们的物理意义.奇怪的是，人们观察不到的东西，数学家们能够算得出来.

更令数学家们头疼的是，不同的拓扑学家至少提出了5种不同版本的超弦理论互相竞争.1995年，惠腾 (E. Witten) 提出了一种猜想，就是这5种不同的超弦理论可能是11维空间中的超弦理论的不同表示.加上第11个维度以后，超弦就变成了“超膜”（membrane 或 brane）.“弦论”变成“膜论”（Membrane theory）或者 M-理论.“膜论”的结构至今并不清楚，但是已经有人猜想，大爆炸是因为“膜”上的皱褶的偶然碰撞而产生的.这种碰撞可以很多很多，我们的宇宙只不过是无数的皱褶碰撞之一，所以宇宙应该有无穷多个.

在“人有多大胆，纸有多大产”的时代，M-理论并不是绝无仅有的万能理论.由阿西特卡尔 (Abhay Ashtekar) 和斯莫林(L. Smolin) 等人于世纪之交发展出来的“圈量子引力”（Loop quantum gravity, 简称LQG）就是另一个“万能理论”.

在圈量子引力理论中时间和空间是离散的不连续的量子化了的空间，空间被看成是由无数的尺寸为普朗克长度的有限圈组成的“自旋网”（spin networks）.根据这个理论，我们宇宙的大爆炸来自于上一个大湮灭.所以LQG在理论结构上类似于“振荡宇宙模型”和佛教的生死轮回理论.

无论是M-理论还是圈量子引力理论，除了能够似是而非地为大爆炸理论回答“宇宙是如何创生的”问题以外，对于大爆炸宇宙学的其他问题，比如地心说性质，因果联络问题，稳定问题，暗物质暗能量等等问题，毫无帮助.可是这些量子引力理论本身的问题可是非常之大.M-理论中的额外维度没有任何实验基础和实验证据，也给不出任何物理量供实验物理学家们检验，因此这种理论只是一种拓扑学习题，算不得物理理论.至于圈量子引力理论，其致命的问题在毫无根据的离散空间假定.因为这些关系，量子引力理论并没有被主流理论物理学界所普遍接受.粒子物理标准模型的创立者之一，世界著名的理论物理学家、美国科学院院士，1979年诺贝尔物理奖得主格拉肖说：“超弦理论将演变出一些只有在未来 的神学院里的神学家们导演的活动.自黑暗的中世纪以来，我们第一次看到崇高的科学研究最终的结局竟然是再次以信仰取代科学.”知名物理学家杨振宁先生认为弦论不能够给出任何一个物理量供实验物理学家检验.也就是说，这个理论和实际的物理世界毫不搭界.另一位诺贝尔奖得主魏尔特曼(Martinus Veltman)认为超弦理论“连被称为错误都不够资格”.除非超弦理论家们从高维空间或曰“额外隐形维度”回到现实的三维空间和一维时间，他们的理论就和实际的四维时空中的物理现象没有任何关 系.一个和物理世界毫不搭界的理论要得到学界的承认也难.

参考文献：

【1】       爱因斯坦  著.方在庆、韩文博、何维国 译.《爱因斯坦晚年文集》，海南出版社，2000年3月第1版.