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库仑定律的反平方关系不能精确成立

已有 1979 次阅读 2023-1-26 16:35 |个人分类:库仑定律|系统分类:科研笔记

通过对无限大非导电的均匀荷电的薄平片附近电场中测试点电荷的受力分析，展示了由库仑定律（ $F\propto \frac {1} {{r}^{2}}$ ）推导出的经典的电场强度公式( $E=\frac {\sigma } {2{\epsilon }_{0}}$ )是错误的。这导致库仑定律（ $F\propto \frac {1} {{r}^{2}}$ ）是错误的，而库仑定律（ $F\propto \frac {1} {{r}^{2\pm \epsilon }}$ , $\epsilon \neq 0$ ）是正确的。这也吻合自18世纪以来对库伦定律持续不断的验证实验的结果。

无限大非导电的均匀荷电的薄平片附近电场中测试点电荷的受力分析

图1.测试点电荷 ${q}_{t}$ 在一个无限大非导电的均匀荷电的薄平片L附近的P点位置。 L的电荷面密度 $\sigma$ 。 ${q}_{t}$ 正对L上以点P'‘为中心的小面积元素 $\Delta S$ , $\Delta S$ 荷电 $\Delta q$ , $\Delta q=\sigma \Delta S$ ,z 为 ${q}_{t}$ 和 L的之间的距离。

L上点P'以外的点W，以点W为中心的小面积元素 $\Delta S$ , $\Delta S$ 荷电

， $\Delta q=\sigma \Delta S$ 。

图1-2022923.jpg

1. 如图1所示，依据库仑定律 $F=\frac {\left | {{q}_{1}} \right |\left | {{q}_{2}} \right |} {4\pi {\epsilon }_{0}{r}^{2}}$ ， ${q}_{t}$ 与P’位置的电荷 $\Delta q$ 之间的电场力 ${F}_{PP'}$ ， ${F}_{PP'}=\frac {\left | {\Delta q} \right |\left | {{q}_{t}} \right |} {4\pi {\epsilon }_{0}{PP'}^{2}}=\frac {\left | {\Delta q} \right |\left | {{q}_{t}} \right |} {4\pi {\epsilon }_{0}{z}^{2}}$ 。L上P’之外其它点W的电荷面密度及符号与在点P的相同，即在点W的电荷也时是 $\Delta q=\sigma \Delta S$ 。在点W的电荷与 ${q}_{t}$ 之间的电场力 ${F}_{PW}$ ，依据库仑定律 $F=\frac {\left | {{q}_{1}} \right |\left | {{q}_{2}} \right |} {4\pi {\epsilon }_{0}{r}^{2}}$ ， ${F}_{PW}=\frac {\left | {{q}_{t}} \right |\left | {\Delta q} \right |} {4\pi {\epsilon }_{0}{PW}^{2}}$ 。以z的延长线为轴, ${F}_{PW}$ 在z轴上的分量, ${F}_{PW-z}=\frac {\left | {{q}_{t}} \right |\left | {\Delta q} \right |} {4\pi {\epsilon }_{0}{PW}^{2}}cos\theta$ 。由于 $0\leq \theta \leq \frac {\pi } {2}$ ，则 $0\leq \cos {\theta \leq }1$ ，又因 ${F}_{PW}\geq 0$ ，因此， ${F}_{PW-z}\geq 0$ 。所以 ${q}_{t}$ 与L之间的电场力 $F$ , $F\geq {F}_{PP'}$ 。

对于 $z\to 0$ 时， ${q}_{t}$ 与L之间的电场力 $F$ ，先不考虑L上点P'之外位置的电荷与 ${q}_{t}$ 之间电场力，仅考虑 ${q}_{t}$ 与P'位置的电荷 $\Delta q$ 之间的电场力： ${F}_{PP'}=\frac {\left | {\Delta q} \right |\left | {{q}_{t}} \right |} {4\pi {\epsilon }_{0}{PP'}^{2}}=\frac {\left | {\Delta q} \right |\left | {{q}_{t}} \right |} {4\pi {\epsilon }_{0}{z}^{2}}$ ，当 $z\to 0$ ， ${F}_{PP'}\to \infty$ 。因此，依据 $F\geq {F}_{PP'}$ 当 $z\to 0$ ， $F\to \infty$ ，即当 $z\to 0$ 时， ${q}_{t}$ 与L之间电场力为无限大。

2. 如图1所示，对于无限大非导电的均匀荷电的薄平片L附近的电场强度E，依据库仑定律（ $F=\frac {\left | {{q}_{1}} \right |\left | {{q}_{2}} \right |} {4\pi {\epsilon }_{0}{r}^{2}}$ ）推理， $E=\frac {\sigma } {2{\epsilon }_{0}}$ 。这展示电场强度E与距离z无关，甚至当 $z\to 0$ （1）。因此, ${q}_{t}$ 和L 之间的电场力， $F=\frac {\sigma {q}_{t}} {2{\epsilon }_{0}}$ 。它与距离z也无关, ，甚至当 $z\to 0$ 。换言之，当 $z\to 0$ ， ${q}_{t}$ 和L 之间的电场力，仍然为 $F=\frac {\sigma {q}_{t}} {2{\epsilon }_{0}}$ ，不是无限大。

讨论

图2. 荷电环的电场

演示文稿1089.jpg

图2A. 一个均匀荷正电的环，环由微元ds组成。

图2B.在P点的电场只剩下由环的微元ds所带电荷的电场dE的平行于z轴的分量，因为垂直于z轴的分量被对称微元ds所带电荷（在环的另一侧）的电场抵消了。

1. 上述分析1与分析2的结果相互矛盾。明显分析1的结果正确。

2. 参见文献1（或2），分析2依据现行大学物理学教材中经典的无限大非导电的均匀荷电的薄平片的电场强度公式 $E=\frac {\sigma } {2{\epsilon }_{0}}$ (22-27)。(22-27)基于均匀荷电碟的电场强度公式 $E=\frac {\sigma } {2{\epsilon }_{0}}\left ( {1-\frac {z} {\left ( {{z}^{2}+{R}^{2}} \right )^{1/2}}} \right )$ (22-26）；(22-26)基于 $E=\int {dE=}\frac {\sigma z} {4{\epsilon }_{0}}\int ^{R}_{0} {{\left ( {{z}^{2}+{r}^{2}} \right )^{-}}^{3/2}}\left ( {2r} \right )dr$ （22-24）；（22-24）基于均匀荷电环的电场强度公式 $E=\frac {qz} {4\pi {\epsilon }_{0}\left ( {{z}^{2\, }+{R}^{2}} \right )^{3/2}}$ (22-16)；而(22-16) 基于 $\cos {\theta =\frac {z} {r}}=\frac {z} {\left ( {{z}^{2}+{R}^{2}} \right )^{1/2}}$ (22-13)， $dE\cos {\theta }=\frac {z\lambda } {4\pi {\epsilon }_{0}\left ( {{z}^{2}+{R}^{2}} \right )^{3/2}}ds$ (22-14),如图2所示。注意！在(22-13)中用了勾股定理, (22-14)基于荷电粒子或点电荷的电场强度公式 $E=\frac {\left | {q} \right |} {4\pi {\epsilon }_{0}{r}^{2}}$ (22-3)；(22-3)基于库仑定律 $F=\frac {\left | {{q}_{1}} \right |\left | {{q}_{2}} \right |} {4\pi {\epsilon }_{0}{r}^{2}}$ 。当库伦定律 $F=\frac {\left | {{q}_{1}} \right |\left | {{q}_{2}} \right |} {4\pi {\epsilon }_{0}{r}^{2\pm \epsilon }}$ （ $F\propto \frac {1} {{r}^{2\pm \epsilon }}$ ），其中 $\epsilon \neq 0$ ，则在(22-13)中勾股定理（毕德哥拉斯定理）就不能用了，故(22-14)就不成立，并导致(22-24),(22-26)和(22-27)不成立，也就不能推导出 ${q}_{t}$ 和L 之间的电场力与距离无关的结论。

3. 自18世纪以来，以形式 $F\propto \frac {1} {{r}^{2\pm \epsilon }}$ 的库伦定律的精确度ε在不断的对库仑定律的验证中持续提高， $\epsilon$ 非常小虽已被验证，但 $\epsilon =0$ 未被验证（3）。

结论

库仑定律（ $F\propto \frac {1} {{r}^{2\pm \epsilon }}$ ），其中 $\epsilon \neq 0$ 。

致谢

1. 感谢杨正瓴宁利中孙颉王涛李务伦谢钢付小军徐芳段玉聪葛及苏保霞晏成和罗春元史永文

高宏刘秀梅钱大鹏等老师的指导与支持（4）。

2. 感谢科学网站的老师们，使我从科学网所荟萃的多位专家老师那里获得了宝贵的指导与支持。

参考文献

1. Robert Resnick, David Halliday, et al., Fundamentals of Physics, Extended 11thEdition,614-644，

ISBN: 978-1119460138(2018)

2. 张三慧，《大学物理学电磁学》第三版，12-14，ISBN: 978-7302185673(2008)

3. G Spavieri et al., Physical implications of Coulomb’s Law(2004)

doi:10.1088/0026-1394/41/5/S06

4. https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3474929&do=blog&id=1358158（2022）

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