本博文论述流体动力学基本方程的不完备性，并引发NS方程是否真能完全描述流体流动的思考。传统的流体动力学方程通过建立三个守恒（质量守恒、动量守恒和能量守恒）构建流体力学的基本方程。本博文将向大家展示一种新的构建流体力学基本方程的路线。新的路线通过构建两个守恒（质量守恒和总能量守恒）来构建流体力学的基本方程。新构建的总能量守恒在假设NS方程成立的条件下，可分解为流体动量守恒方程（也就是NS方程）和内能方程。需要强调的是新的内能方程与传统内能方程有差异。

        新内能方程与传统内能方程存在两个差异：1.多了压力的时间变化率项；2.粘性耗散引起的能量转化项与经典方程表达不同。这两个差异在于传统理论犯了两个错误：错误1是认为压力是作用于微元表面的面力，即是一种外力；错误2是建立能量守恒方程时，受力分析建立在控制体上。本文将向大家澄清两点：1.压力场本质反映流体微元在流动过程中弹性势能释放或存储；2.能量守恒必需建立在流体（流体微元）上，而非控制体上，但可借用场描述呈现。

       流体运动的描述通常采用两种不同的方法：欧拉描述，即在固定空间点上观测流动量；以及拉格朗日描述，即追踪单个流体粒子在空间和时间中的运动。纳维-斯托克斯方程通常基于拉格朗日框架下作用于流体微元的动量守恒原理推导得出。因此，它们被解释为动量守恒方程，尽管是以场量的形式表达——这正是欧拉描述的特征。描述流体运动的双重框架引出了两种不同的研究对象：流体微元（或物质微元）和控制体。流体微元是物质体，必须始终遵守守恒定律——其质量保持不变，其动量和能量仅因外力和热传递而改变。相比之下，控制体是一个固定的空间区域，流体从中流过。它本身不具有诸如质量或能量之类的内在属性；相反，它充当观测流动的“窗口”。守恒是通过表面通量和内部积累在控制体上施加的，但控制体本身没有义务守恒任何东西——流体可以自由进出，改变其内部的总质量或总能量。在当前流体动力学框架中，基本控制方程所描述的流体动量和内能变化对应于单个流体微元的变化，而引起这些变化的力和热传递则归属于控制体。这种表述的根本原因在于，流体中的某些相互作用量是与场相关的变量。由于它们分布在空间中而非依附于物质粒子，因此在分析流体间相互作用时必须通过控制体来体现（上面描述基于连续介质理论框架）。需要强调的是，尽管控制体本身不必满足守恒定律，但瞬间包含在其中的流体微元必须满足。

      在黏性流动中，黏性作用将流体微元的动能转化为内能，但每个微元的总能量在这一转化过程中仍然守恒。如先前所述，传统内能方程建立时，对控制体进行受力分析，构建外力做功表达。因此传统能量守恒方程推导过程中粘性力一定做净功，这与粘性力的认知是冲突的。

       不难证明动量定理和动能定理并非相互独立的基本原理，而是牛顿第二定律的两种等价积分形式，分别从时间和空间的角度描述了力的累积效应。考虑到流体流动本身就是一个内能-机械能耦合过程。因此我们直接可以从流体的总能量守恒出发构建流体在运动过程中的能量变化。从流体微元角度描述流体运动过程中的能量变化主要涉及到三类能量：动能、弹性势能和内能 。关于为什么只涉及这三种能量本文不展开详细论述，其合理性可通过空气动力学中的焓守恒间接佐证。

       对于流体微元，其总能量的变化可在欧拉描述下表述为：

                               (1)

E表示单位体积流体微元的总能量，e 表述单位体积微元的内能，P和V为微元的压力和体积。式1右边三项分别对应流体微元的内能、弹性势能和动能的时间变化率。根据热力学第一定律，系统能量的变化来源于外部做功和吸热。如果无外力和热传递进入流体微元，则流体微元总能量在运动过程中不变。

       在进一步构建流体的能量守恒方程前，我们先对流体微元弹性势能的时间变化率进行改写与分析。改写后的流体微元弹性势能的时间变化率为：

                           （2）

我们可以看到式2右边第二项出现了压力梯度项，出现于NS方程（动量守恒）中，第三项为所谓的压力做功项，出现于内能方程中，而第一项-压力的时间偏微分项，既不出现在传统动量守恒方程，也不出现于传统内能守恒方程中，是新推导体系下才出现的。

       从式2的分析中不难发现，压力是流体流动过程中弹性能转化为其他能量的反映，外力做功不包含压力做功。同时我们知道，粘性力将流体动能转化为流体的内能，从总能量守恒角度，粘性力不属于外力做功。从NS方程的表达可知，只有重力可视为外力。因此外力做功和传热在欧拉描述下可分别表示为：

                                                          （3）

                                                      （4）

        由式1-4，可得

              （5）

如果流场为稳态场，无外力对流体做功且流体微元绝热，总能量守恒方程退化为微分形式的焓守恒方程：

                                                      （6）

该方程可说明新描述的自洽性。另外对于稳态场，流线和迹线重合，因此式6也是某个确定流体微元在绝热和无重力条件下焓守恒的微分描述。

         式5是将粘性力看作内力给出的流体能量守恒方程。如果我们将粘性力引起的能量转化考虑进总能量方程，以牛顿流体为例，可将式5改写为：

     （7）

即粘性力引起的流体内能的增加就对应于动能的减小。

         如果我们假定NS方程可准确表述流体流动，则总能量守恒方程，可分解为机械能守恒和内能守恒方程：

                                （8）

              （9）

对比发现，本文给出的内能方程和传统方程不同（可对比Batchelor (2000)著作中式(3.4.4)和White and Corfield (2006)著作中的式（2.40)  ）。不同及不同的原因已在博文前面提出，这里不再赘述。

         式7分解为式8和式9的前提条件是式8成立，但式8恒定成立吗？从能量守恒角度我们已经看到，压力变化反映流体流动过程中弹性势能的释放与转化。式8和式9成立则对应着弹性势能在释放过程中能量形式的分配的具体形式与比例。明显，这种分配后面对应着某种更基本的（目前未知的）物理规律。因此我们是否能将总能量守恒分解为动量（动能）守恒和内能守恒，以及如果能，应该如何分解，作者个人觉得还需进行更深入研究和讨论。

本博文为本人在axiv上提交的一篇题为Reformulation of Fluid Dynamics Governing Equations Based on the Principle of Energy Conservation的文章的一部分。如果大家感兴趣可搜索查阅，（本文于今日，2026年8月19日提交axiv预估两日后可查阅，后续会分享连接）。

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