适人的计算体系

爸爸：你知道，人类自己大脑的数学意义上的计算能力其实是非常有限的，选取的度量参数模型，比如：10进制数模型，也是适应人脑的计算习惯而来的。对吧？

妙抢：爸，没错。人类大脑处理复杂信息能力有限，十进制数模型就契合这特点。从进化看，人类常用十指计数，自然形成十进制习惯。十进制在表达和运算上简洁直观，像加减法口诀易记，乘法表规律强，方便人脑快速处理。对比其他进制，如二进制虽在计算机高效，但人脑直接运算就繁琐。所以，十进制这种度量参数模型，就是为适应人脑计算习惯，以提高运算效率和理解便利性 。

爸爸：但从纯粹的数学意义上的计算来说，一个计算方法的本质的意义，应该是与数的类型是没有关系的，也就是说，客观上任何的确定大小之间的约束关系，是不会因为我们采用什么度量方法，度量得到什么样的数用来计算表达，而只和我们的计算操作所实现的实际约束作用相关，对么？

妙抢：爸，您这观点相当深刻。从纯粹数学意义讲，计算方法的本质确实独立于数的类型与度量方式。就好比加法，不管是十进制下2+3 ，还是二进制下10+11，其核心都是将两个数量合并的操作。实际约束作用才是关键，比如分配物品，不管用什么进制表示物品数量，分配规则（如平均分配）对应的计算逻辑不变。度量只是赋予数量以数值表示，计算所反映的客观事物间数量关系的约束，不会因度量改变，它有着内在、恒定的数学逻辑。

爸爸：你理解非常到位，这种客观事物内在的恒定的大小约束关系如何得到计算表达，自身都不会改变的，但我们的计算性能，计算方法的消耗确可能产生巨大的差异，对么？

妙抢：爸，太对啦。就像计算圆面积，不管用啥单位度量半径，公式S=πr2 反映的面积和半径关系不变。但计算性能差异大，比如用简单计算器算复杂数字的平方，和用超级计算机比，速度差老远。计算方法也影响大，算大整数乘法，传统竖式和快速傅里叶变换算法，消耗时间、资源天差地别。虽客观关系恒定，计算实现手段不同，性能消耗就千差万别 。

爸爸：但是，在数学原理和计算表达上，不管是用计算机还是不用计算机，其所遵循的数学原理的表达方法方面，是不是只能有一种计算体系？比如，我们只能选取一种数，然后基于这种数再来计算约束关系。对吧？

妙抢：爸，并非如此。在数学原理和计算表达上，并非只能有一种数或一种表达方法。从数的类型看，就有自然数、整数、有理数、无理数、实数、复数等。比如在平面几何中，计算边长、面积等，实数就够用；但在研究交流电路等物理问题时，复数能更简洁地描述电压、电流关系。

对于计算约束关系，以求解线性方程组为例，既可以用消元法这种基于基本运算的方法，也能用矩阵运算的方法。矩阵运算不仅表达更简洁，还能借助计算机快速求解大规模方程组，而消元法在面对大规模方程组时计算量就会剧增。

不同的数和计算方法各有优劣，适用于不同场景，并非只能选取一种。 它们都是对客观数学规律的有效描述，丰富了数学原理的表达和应用。

爸爸：别忘记，我们现在说的数，是在最初得到“数”这个概念时的度量数。

妙抢：爸，从最初度量数角度，虽源于度量操作得数，但计算表达仍非唯一。比如度量土地面积，可选平方米作单位得度量数，也能选亩。基于这两种不同度量数计算土地总价（单价固定时），计算原理一样，都是单价乘面积 。计算方法上，用算盘、笔算或计算器计算乘法，遵循乘法数学原理相同，只是操作方式不同 。所以，即便基于最初度量数，计算表达因度量单位可选、计算工具和方式多样，并非只有一种 。

爸爸：我说的一种，主要是指在度量参数模型的选择上，做相同类型参数配置所得到的数。比如，pn限定是1，还是不限定是1。我们的通常选择是哪个？

妙抢：爸，在实际应用中，对pn 的选择要看具体情况。

 如果追求简单直接的度量，像日常测量物体长度，用单一标准尺子（即限定 pn=1）就够了。拿米尺量桌子长度，一次度量得出结果，简单易懂，满足常规需求，计算也简便。

但在高精度测量或复杂科学场景下，不限定 pn=1 更合适。比如测量微观物体尺寸，首轮用较大单位度量出大致范围，再用小单位针对余量多次度量（pn>1），能提高精度。在天文学中测量星系距离，先用光年这种大单位初步估算，再对细节用较小单位深入度量，能更好描述距离关系 。所以没有绝对通常选择，依场景需求定 。

爸爸：是的，如果要得到pn=1又必须是精确的整数计量数时，我们就不得不放开对u1的静态参数的约束，这时的数，就成(u1,N)的形式了，对么？

妙抢：爸，没错。当限定 pn=1 且要精确整数计量数，固定静态 u1 很难满足所有情况。因为未知大小千变万化，仅靠一个固定 u1 ，多数时候无法整除得到整数计量。所以放开 u1 约束，通过调整 u1 去适配未知大小，这样得到的数就以 (u1,N) 形式呈现， u1 代表选定的单位大小， N 是用 u1 度量得到的整数次数，精准描述了大小与单位间关系 。

爸爸：而我们可以肯定的是，这种数，就不是目前通常采用的基本的数的类型，去形成一套新的计算方法体系来进行通行的计算任务，对么？

妙抢：爸，您说得在理。以(u1,N)这种形式的数，确实区别于常见基本数类型，像整数、有理数等。常规数基于固定通用单位体系，计算方法围绕这些单位设定。

而(u1,N)形式下，每个u1都可能不同，计算就复杂多了。比如加法，常规整数相加很直接，但对于(u11,N1)与(u12,N2)相加，得先统一u1，不像常规数有统一运算规则。这意味着要构建新计算体系，通行计算任务得按新规则来，与现有计算方法大不一样。

爸爸：首先，人类就没有选取这样的数和与之适应的计算体系来计算。这种意义上的计算体系，人类只做了一种主流的选择，这里的“一种”不是针对哪个具体计算任务来说的。就主要是一种吧？

妙抢：爸，确实。人类主流选择了基于固定标准单位衍生出的数系及计算体系，像十进制下的整数、小数、分数等。这种体系构建简单直观，通用性强，适合从日常交易到科学研究广泛场景。

相比之下，(u1,N)这种依赖特定度量单位对的形式，缺乏普适性和简洁性。每遇新度量场景都要重新确定u1 ，计算规则复杂多变，难以形成广泛适用、简洁高效的通用计算体系。所以，人类在计算体系构建上，确实主要做了现在通用的这一种主流选择 。