应用数学的重要分支

       最后，在整个数学体系中来看，渐近方法是应用数学的一个重要分支。我们习惯上把数学分为纯粹数学和应用数学，其实还有一种说法听起来也很有道理——数学分为应用数学和“尚未得到应用的数学”，也就是说数学知识都是为了应用而发展，或总有一天可以在某些方面得到应用的。

      有些同学对数学的发展史感兴趣，图书馆里或网络上可以找到不少关于数学史的书籍。我不是学数学的，对数学发展的历史了解并不清楚，就不展开讲了。凭借平时从各处得到的零散知识，大概知道远古时候人类的数学知识从计数开始，再有就是加减乘除运算和几何丈量等，这都是在人类生活、生产中要应用到的重要知识。也有少数长于思辨的哲学家，会思考诸如“芝诺（Zeno）佯谬”和“一尺之捶，日取其半，万世不竭”这类具有深刻哲理的数学问题。当然，最让人惊叹的还是古希腊数学家欧几里得（Euclid）所著的《几何原本》，其公理化的形式和严密的思维逻辑，成为后世数学甚至科学演绎体系的典范。

图9 芝诺第一佯谬：阿基里斯追不上乌龟（图片来自网络）

       中世纪的欧洲，神学盛行，科学（包括数学）研究和传播受到很大打击和禁锢。在一千年左右时期内，值得称道的数学进展屈指可数，数学家多是神职人员。直到文艺复兴后，科学发展才进入黄金时期。17世纪开始，欧洲涌现出了史无前例的数学和科学思潮，其中最显著的事件包括牛顿（Sir Isaac Newton，1643-1727）和莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646－1716）发明微积分、笛卡尔（Rene Descartes，1596-1650）发展解析几何、帕斯卡（Blaise Pascal，1662-1624）和费马（Pierre de Fermat，1607－1665）研究概率论等等。进入18世纪后，数学界人才辈出，欧拉（Leonhard Euler，1707－1783）、拉格朗日（Joseph Lagrange，1736－1813）、拉普拉斯（Pierre-Simon marquis de Laplace，1749－1827）等在数学的很多领域，包括拓扑学、图论、微积分、组合数学、复分析、数论、代数、微积分、变分法和统计学等，都做出了开创性的、突出的贡献。在此时期及以前，这些数学家一般也是物理学家，相关数学理论一般和实际问题是密不可分的，因而纯粹数学和应用数学没有明确界限。

图10 数学图谱（图片来自网络）

       19世纪的重大数学发展包括非欧几何、抽象代数、函数论、群论和集合论等，在此期间，数学开始严密化，以柯西为代表的一些数学家开始重视逻辑推理，纯粹数学和应用数学开始分道扬镳，“人猿相揖别”了。在1900年国际数学家大会的演说中，希尔伯特（David Hilbert，1862-1943）列出了23个数学界的未解决问题。这些问题覆盖了许多不同的数学领域，随后成为了20世纪数学研究的中心。据维基百科介绍，如今10个问题已经解决，7个问题部分解决，而2个问题依然是开放的；还有4个问题由于太含糊，因此不能判断有没有解决。20世纪又出现了很多新的数学领域，比如博弈论和计算数学等，很多渐近理论也是在此期间建立的。在20世纪结束时，有超过百种数学的专门领域，而数学学科分类标准则长达几十页。

       如果按照纯粹数学和应用数学来笼统划分，我们所熟知的纯粹数学领域包括代数（实数、复数、布尔代数、线性代数等）、几何（欧氏几何、射影几何、解析几何、微分几何、非欧几何、黎曼几何、拓扑学等）和分析（实变函数、复变函数、泛函分析）等，应用数学包括数学物理、概率与统计、运筹学、计算数学和其他一些新兴数学（例如金融数学和生物数学）。从具体方法上说，常用的应用数学方法有量纲分析、线性方程叠加原理、非线性方程的变换方法、非线性方程的几何方法、数学物理的近似方法、变分方法、数值方法等。图10给出了一些数学研究领域的形象展示。

       在一般人的印象里，纯粹数学家和应用数学家的气质也不同，可能很容易分辨，比如认为前者有点不食人间烟火、思想深邃甚至性格偏执、孤僻不合群（如陈景润等），后者则比较平易近人、和蔼可亲、讲求实际并善于为人处世。图11以科学漫画的夸张形式对此进行了善意而形象的调侃，其中说到纯粹数学家从不用计算器、说话行事严谨等，而应用数学家计算7乘8也要用计算器、离开实际例子就不能解释抽象概念等。事实上，虽然以上科学漫画的夸张调侃不能完全当真，但也能反映一些应用数学与纯粹数学的不同。

图11 数学家气质和习惯对比（图片来自网络）

      应用数学的首要特征是它同自然科学和工程实际紧密联系，不完全依赖逻辑推理，因而有一个从不那么严格到建立完整理论体系的过程。这是我们在学习及以后工作过程中要特别注意的。我们这里举三个典型的例子。

      第一个例子是傅立叶级数。1807年，法国数学家约瑟夫·傅里叶（Jean Baptiste Joseph Fourier，1768－1830）提出任何函数都可以展开为三角级数，并用它来求解了热传导方程。一维热传导方程

\begin{equation*} \begin{aligned} &\frac{\partial T}{\partial t}=a^{2} \frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}} \quad(0<x<\pi)\\ &T(0, t)=T(\pi, t)=0\\ &T(x, 0)=f(x) \end{aligned} \end{equation*}

的正弦级数解及相应傅立叶系数可表示为：

$$ T(x, t)=\sum_{j=1}^{\infty} b_{j} \sin j x e^{-a^{2} j^{2} t},  \qquad b_{j}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(\tau) \sin j \tau \textrm{d} \tau.$$

但是，傅立叶的原始论文却被拉格朗日、拉普拉斯和勒让德评审时批评为“数学上不严格”，甚至被拒绝出版。但恰恰是这种“不严格”的真知灼见成了数学物理中的重要方法，并为抽象集合论和希尔伯特空间提供了理论基础，被开尔文勋爵（William Thomson, Lord Kelvin，1824－1907）称为“最伟大的数学诗篇”。傅里叶级数收敛性的充分必要条件的证明出现很晚（尚有争议），但是对于实际问题中出现的函数，却有很多种可用的收敛判别条件，它在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、力学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

       第二个例子是运算微积法，它相当于拉普拉斯变换在微分方程求解中的应用。这种方法最早是由赫维赛德（Oliver Heaviside，1850-1925）——英国一个自学成才的机电工程师提出的。赫维赛德在求解电工学的微分方程时，凭借物理直觉和经验，规定了符号$p$的代数运算与微分、积分运算之间的对应关系：

$$ p^{n} \widetilde{x} \Longleftrightarrow \frac{\textrm{d}^{n}}{\textrm{d} t^{n}}x, \qquad  \frac{\tilde{x}}{p^{n}} \Longleftrightarrow \iiint x \cdots \textrm{d} t. $$

利用该关系，就可以把解微分方程转化为解代数方程，大大降低了求解难度。这种方法对很多问题确实有效，但由于没有考虑初始条件的影响，也很容易导致错误的结果，因而遭到当时主流数学家的责难和批评。直到1920年，英国数学家布拉米奇(Thomas John I'Anson Bromwich, 1875-1929）把这种方法与复变函数中的拉普拉斯变换联系起来，才使它具备了坚实的理论基础。

        第三个例子是Dirac $ \delta $函数。$ \delta $函数是由物理学家狄拉克（Paul Dirac，1902-1984）提出来，用于表示点电荷、质点等理想模型中物理量密度分布的一种广义函数。它在除零以外的点上都等于零，且其在整个定义域上的积分等于1。形式上，它可看作是在原点处无限高、无限细，但是总面积为1的一个尖峰，如图12所示。根据其定义，可以有积分运算：

$$ \int f(x)\delta(x-a)\textrm{d}x=f(a) .$$

从纯数学的角度来看，$ \delta $函数是很怪异、极不严格的，在20世纪初受到很多数学家的强烈质疑。直到1950年代，法国数学家施瓦茨（Laurent-Moise Schwartz，1915-2002）才发展出一套分布与广义函数的令人满意的严谨理论。现在我们知道，$ \delta $函数在很多学科都有广泛应用。

图12 $ \delta $函数（图片来自网络）

       除了以上例子，还有几句话常被用来形象说明应用数学的特点，其一曰“一个不亲自检查桥梁每一部分坚固性就不过桥的旅行者是走不远的”，其二曰“如果不把所有问题搞清楚就不放心，那么飞机是永远也飞不起来的”，其三曰“因为我不能理解消化过程就拒绝晚餐吗？”也就是说，在实际问题中，有些事情是要冒险的，应用数学有其必要性。当然，为了防止过大偏差，可以采用实验数据，或与实际情况对比，检验近似方法的可靠性，并不断修正改进。

       美国应用数学家普拉格（William Prager，1903-1980）认为“应用数学是连接纯粹数学与科学技术的桥梁”。通过这座桥梁，一方面可把来自生产实践的数学理论问题提供给纯粹数学家，另一方面可将现有的数学理论用于解决实际问题。

       其实在生活和工作中，我们每个人都在有意无意地利用数学知识解决实际问题，可以称得上是“应用数学工作者”了。总结一下，应用数学工作者怎么来解决问题的呢？有这样五个步骤：

1. Formulation or Modeling：建模分析，用数学语言来归纳、描述科学问题；
   

2. Solution：用现有或创新方法来解决数学问题；

3. Interpretation：阐释解的物理意义；

4. Verification：检验解的有效性；

5. Generalization：通过一般化，建立新的数学分支。

       第五步要求较高，一般人做不到。在一般人的研究工作中，要产生一个有意义的工作，前四步是必需的。但反观现在会议和期刊杂志上的工作，很多人可能仅仅做了第二步，而且利用的是现有成熟方法，尤其是商业软件。学习这门课程后，希望大家在自己的科研工作中，能够完整做完前四步，争取做到第五步。

课程学习方法

       以上介绍了课程的性质，接下来在课程学习方法上给大家一些建议。对于偏应用数学类的课程，同学们总是担心自己的数学基础不够。为了解决信心和兴趣方面的问题，尤其还要考虑到当下病毒疫情影响下，人心惶惶，网络在线授课，必须采用合适的学习方法。老师要“教得其法”，学生要“学得其道”。

       学习这门课程最重要的是领会渐近方法的核心思想，其次是掌握一些基本分析方法。渐近方法本身就体现了一种方法论，每一章节、每一个具体知识点，也都由一个核心思想统领，这是我们课程的精髓所在。学完这门课多年后，你可以不记得具体的公式推导，但不能忘了这个核心思想和精髓。那么渐近方法的核心思想和精髓到底是什么呢？

       个人愚见，渐近方法（尤其是摄动方法）的核心思想和精髓是：通过合理的逐级近似，把一个非常困难、无法直接解决的问题，转化为一系列相对简单、可直接求解的问题。 通俗点讲，就是抓主要矛盾，大事化小，小事化了。注意，此处的“了”，是要把它解决了，不是放下不管了，或当作没事了。这么一说，它是否就像哲学或政治书中教过我们的基本原理？是否等价于长辈或“大师”口中的人生哲理？它也是正确解决复杂人际关系甚至国际争端的基本原则。大家想一想是不是这么回事？这个思想说起来简单，但要想真正理解领会并能够灵活运用，其实是很不简单的。你学会了它，就是掌握了一项高超技能，成为你的特长。下次做自我介绍时，除了说画画、音乐、体育特长外，也可以自豪地说：我会渐近方法！擅长“渐近”，就是会用近似方法解决超级难题。

       所以，当大家在学这门课的时候，可以脱离了课本，超越了具体的科研问题，你掌握了核心思想方法，也可以把它应用于日常生活中的方方面面。反过来，你也可以把某些日常生活的经验，推广应用于我们的课程中。我接下来的授课内容都将围绕这一核心思想展开，通过举一些有趣的例子和联系日常生活中的经验来帮助大家理解，进行启发和引导，让大家自然而然地想到具体问题的解决思路（尽量避免使用“显然”、“易得”和“不难想象”等术语）。通过这样的教学方法，争取让大家都有收获，不管是数学基础稍差一点的，还是好一点的。

       事实上，所谓的本科数学基础是什么呢？我感觉本科数学知识，主要是记忆性的，就是对确定性的、成熟的知识的掌握，就像背英语单词一样。我们回想一下，本科数学都学了什么呢？关于极限的一些公理和定理，要记住吧？微积分求导法则、积分公式，这是最基本的。怎么掌握呢？还是要靠记忆，比如要记多项式怎么求导，指数函数、对数函数怎么求导等等。Fourier变换、Laplace变换、复变函数和数理方程等，都要记一些东西吧？比如某些特定类型的方程，它的通解是什么等等。这样细说起来，当时要记忆的东西真不少，但是学过之后不久就忘了。我现在要是碰到某些复杂的积分公式，就要去查表，求解某些方程时，要去查数学手册。当然，现在也可以网上搜索一下，更简单快捷。我认为除了一些非常基本的东西，没必要去背诵记忆。如果我没有准备，你突然拿一个方程让我求解，我很可能当场给你做不出来。我想你拿一个复杂一点的积分（可解析求解的类型）去问丘成桐或陶哲轩，他也不一定能马上就给你答案。不能用这种办法来评判某人数学水平的高低，特别是年纪大了之后，记忆力会衰退。当然，有些问题我虽然不能立即解出来，也许我可以判定这个问题是否有精确解，或者数学手册上是否可以查到，这就需要一点经验积累。

       大家再回想一下刚才列出的大学本科所学的数学基础知识，共性是什么呢？它们的一个共性就是：（绝大部分）都是精确解，没有涉及误差和近似的思想。要掌握它们，主要靠记忆力，能够调动主观能动性来自由发挥的空间极少。书本上告诉你“$1+1=2$”，你要是把答案写成“$2.1$”或“$1.999$”，那就都算错。我们这门课讲的是什么呢？近似！应用数学就是教你怎么做近似。

       所以，从核心思想上说，我们这门课和以前的数学基础课程的关系并不大。说到数学基础不好，有影响吗？说一点影响都没有，那是不可能的。比如遇到某个积分，有人脑瓜好，又学的多（比如费曼），一下就看出它的解了；另一个人没学过，就要翻书查表，或者费好大劲，推导一个小时才能得到解。这种情况是确实存在，但是对于学习本课程来说，影响并不大，这点差别也可以通过你的课下预习与补习来加以补救。预习课本，发现某个基础知识不足，就补习相关知识。渐近方法的核心思想和基本方法，对每位同学来说都是新鲜的。不论本科基础知识高低，你掌握了它，这门课你就学好了，我们的教学目的也就达到了。

       当然，我们还有作业和考试，你也不能只在作业本或试卷上写一段人生哲理来答题。但我们只是通过典型的、简单的题目来考察同学们对渐近思想的理解认识程度，对基本分析方法的掌握程度，让大家在练习中对相关思想融会贯通。这些题目在渐近方法中的地位，就像三角函数、指数、对数函数微积分在高等数学中的地位，总不能一点东西也不记忆吧？考试也是开卷，允许查看课本和数学参考书。在以后的科研过程中，遇到相关问题，要用到渐近方法时，也不会有人限制你翻看参考书。我们也很少会遇到和课本习题完全一样的问题，但只要核心思想和基本方法掌握了，就可以灵活处理。以我个人为例，在科研工作中直接套用现成公式的情况只有一次，但是渐近的思想在很多关键问题分析中都用到了。

       总之，通过以上这些解释，我希望能给没有信心的同学找到信心，也能给没有兴趣的同学增加兴趣。信心和兴趣也不是说说就有了，还要在具体学习中来寻找。

课程内容概要

       由于时间限制，课本上的内容不会全部都讲，课上主要讲最基本的概念和常用的方法，其他内容大家可以根据兴趣自学。拟讲授的内容分为下面几大部分，且各部分内容也有轻重详略之分。

• 绪言
  

• 渐近级数

• 积分的渐近展开

• 波动问题与渐近积分

• 微分方程的渐近解（局部解）

• WKB方法

• *流动稳定性

• 奇异摄动方法

• *实际问题中的应用举例

教材与参考书

教材：李家春，周显初编著，数学物理中的渐近方法（1998），科学出版社

参考书：

1. H. Nayfeh，  Introduction to Perturbation Techniques (1984)
   

2. H. Nayfeh，  Problems in Perturbation (1985) （有中译本）

3. H. Nayfeh，  Perturbation Methods (1973) (有中译本)

4. Carl M. Bender， Steven A. Orszag，Advanced Mathematical Methods for Scieutists and Engineeis（1999）(中译本《高等应用数学方法》)

5. J. A. Mudock，  Perturbations (1991)

6. J. Kevorkian and J. D. Cole，  Perturbation Methods in Applied Mathmetics (1981)

7. M. Van Dyke，Perturbation Methods in Fluid Mechanics (1975) (有中译本)

8. 钱伟长主编，奇异摄动理论及其在力学中的应用（1981），科学出版社

9. 谢定裕，渐近方法 (1983) ，友谊出版公司

   
   

（2020年2月14日完成初稿，2月16日修订。）