撰文 | 刘克峰，徐浩

2026年5月12日是国际女数学家日，这是数学界为纪念已故伊朗女数学家Mirzakhani（米尔扎哈尼）而设立的节日。1977年5月12日，Mirzakhani出生于德黑兰。1980-1988年两伊战争的阴影笼罩了她的童年。幸运的是，当她小学毕业时，战争终于结束。此后，她在伊朗本土接受了良好的中学和大学教育，并获得前往哈佛大学深造的机会。与她同时代的许多伊朗数学家，也沿着相似的人生轨迹，成长为杰出学者，包括2018年菲尔兹奖得主Birkar，国际数学家大会报告人Mohammadi和Nassiri，在欧美名校任教的Beheshti, Rafi, Takloo-Bighashi等，堪称伊朗数学的黄金一代。

Mirzakhani在2017年因病逝世，年仅40岁。她是首位荣获菲尔兹奖的女数学家，在短暂而璀璨的一生中，留下了20多篇论文，在动力系统、黎曼面模空间、计数几何之间架设了坚实的桥梁，深刻改变了这些领域的面貌。在她去世后，美国科学院、美国数学会、斯坦福大学、科学突破奖基金会都设立了以她名字冠名的奖项、奖学金或讲座。

Mirzakhani的研究，始于一个看似简单的问题，双曲曲面上有多少条简单闭测地线？所谓简单闭测地线，就说是没有自交点的封闭的测地线。曲面上的测地线是双曲度量下的直线，好比行星的椭圆轨道是宇宙时空中的直线。

测地线在几何学中占据着核心地位。曲面上所有闭测地线的长度构成的集合，称为长度谱。它看似与大家更熟悉的拉普拉斯算子特征值谱是完全不同的几何量，但在“听音辨鼓”的研究中，二者所包含的信息是等价的。这就好比《好汉歌》与《弯弯的月亮》虽然风格迥异，无论怎么翻唱，我们一听便知它们都是刘欢的作品。

我们讨论的曲面，也叫黎曼面，它的拓扑形状由曲面上洞的数目（即亏格）来刻画。亏格零的黎曼面是球面，亏格1的是环面，而双曲曲面就是亏格大于等于2的黎曼面。看似简单的黎曼面，却蕴含了极为丰富的数学理论——复几何与双曲几何从这里萌芽，各自发展成独立的数学分支。甚至有人说，“黎曼面主宰一切”。也许有些夸张，但也不无道理。

环面，又叫椭圆曲线，是数论学家手中的万能钥匙。怀尔斯正是以它为主要工具，证明了费马大定理。但对几何学家来说，真正的奇妙世界，要跨过亏格2才能一窥其貌。

在曲率为正的球面上，闭测地线就是大圆（例如经线和纬线），这也是国际航班通常采用的飞行路线。球面上所有闭测地线的长度都相等，显得平平无奇。也许这会给人球面过于简单的错觉，但是高维球面的复杂程度却远超想象，四位数学家Milnor, Smale, Freedman, Perelman因研究高维球面的拓扑而获得菲尔兹奖。如今，几何拓扑学中最著名的两个公开问题或许是：四维球面的光滑结构是否唯一？六维球面是否有复结构？

在具有平坦度量的环面上，情况稍有变化：取一个有理数作为斜率，便能得到一条闭测地线。然而，在负曲率的双曲曲面上，随机选取两条闭测地线，它们的长度与形状往往有天壤之别，一个一眼混沌的世界。亏格1仿佛一道分水岭，一边是一望无垠的平原，一边是崎岖幽深的山峦。

Mirzakhani思考的问题，当然也不是凭空出现。在1950年代，德国数学家Huber证明，如果允许测地线有自相交点，那么当L趋于无穷大时，双曲曲面上长度不超过L的闭测地线的数目呈指数增长e^L/L。这个结论被称为曲面的素数定理。

如果把素数p的长度定义为ln(p)，那么长度不超过L的素数的渐近增长率也是e^L/L，这就是经典的素数定理。

Huber是谱几何的先驱。上面我们提到的，曲面的长度谱等价于特征值谱，也是他最先证明的，其用到的主要工具是Selberg迹公式。巧的是，美籍挪威裔数学家Selberg于1950年获得菲尔兹奖的主要获奖工作之一，便是给出素数定理的一个初等证明。

回到Mirzakhani所研究的问题。在她最初着手时，数学家们只知道：绝大多数闭测地线都有自交点，而简单闭测地线则极为稀少。如何将它们从众多测地线中甄别出来，尚缺乏有效的方法，更不用说逐一数清它们的数目了。

Mirzakhani的第一个大胆的创见是：不直接在单个曲面上计数曲线，而是对“所有可能的曲面”取平均。这一平均操作等同于对固定的L，记s(X,L)为双曲曲面X上的长度不超过L的简单闭测地线，在黎曼面模空间上对函数s(X,L)做积分。

所有亏格g的黎曼面构成3g-3维的模空间，其上每个点代表一个曲面。这不是一个光滑的空间，在上面做积分极为困难。瑞典皇家科学院院士Faber，1990年在顶尖数学期刊《数学年鉴》发表两篇文章，分别从代数几何角度计算了亏格3和4的黎曼面模空间上的积分，已经是一项重大突破。

Mirzakhani把一个看似简单的问题，放到了一个极为宏大的框架里。她的勇气，让人想起英国数学家Donaldson，在他的博士论文中通过瞬子模空间上的积分构造四维光滑流形不变量，在博士毕业第三年就获得了菲尔兹奖。虽然Mirzakhani和Donaldson研究的是不同模空间上的积分，但是困难是相同的。

诺贝尔文学奖得主、法国作家加缪说过，“一切伟大的行动和思想，都有一个微不足道的开始。”然而，从迈出那看似微小的第一步起，前路便会逐渐显露出它的复杂与艰难——而这，恰恰是伟大之所以伟大的原因。

Mirzakhani 首先开创性地将积分理论从陈类扩展到了函数，建立了黎曼面模空间上关于 Weil-Petersson 测度的函数积分方法。在她这一精妙绝伦的公式中，带测地边界的黎曼面模空间的 Weil-Petersson 体积作为核心意外登场——这也是此类带边模空间首次出现在数学文献中。随之而来的，便是摆在 Mirzakhani 面前的一个必须克服的挑战：精确计算出该体积。

法国数学家McShane在1991年的博士论文中，证明了环面上的简单闭测地线的加权长度之和，恰好等于1/2。这个看似与Weil-Petersson体积无关的公式，成为了Mirzakhani需要的关键工具。她首先将McShane等式推广到任意亏格的黎曼面，其中的关键想法是裤子分解——将测地边界黎曼面用简单测地线进行分割，你会得到有限多个裤子形状的曲面片。利用裤子分解将无穷的测地线求和，转化为对有限种裤子构型的组合枚举。再将推广后的McShane等式在模空间上积分，就得到了Mirzakhani所需要的Weil-Petersson体积的递归公式。抛开一切应用不谈，Mirzakhani证明的这两个数学公式本身，就已经非常漂亮了。

从Mirzakhani关于Weil-Petersson体积的递归公式，不难算出长度不超过L的曲线数目s(X,L)在模空间积分的渐近。接下来还需要证明，对所有固定亏格g的曲面X，s(X,L)随着L的增长与曲面X的选取无关。这里需要用到非常深刻的Teichmuller空间动力系统的知识。Teichmuller空间是黎曼面模空间的近亲，但是和带奇异点的黎曼面模空间不同，Teichmuller空间是整体光滑的（其实它等同于欧式空间的一个开集）。

这里Mirzakhani对Teichmuller动力系统的一项重要贡献是，巧妙地将Thurston地震流与Teichmuller测地流的遍历性建立联系。遍历性是动力系统的重要概念，通俗来说就是，在极限意义下，单个个体的行为就等于平均行为。也就是说，曲面上的曲线数目在长度趋向无穷大时，都有相同的增长率。

将上述工作串联在一起， Mirzakhani最终证明，对亏格g的双曲曲面，当L趋于无穷大时，长度不超过L的曲线数目s(X,L)的渐近增长率是L的多项式，这个多项式的次数只依赖于亏格g，与曲面X无关。

最后还有一个推论，Mirzakhani从她的Weil-Petersson体积的递归公式出发，用辛约化技巧，给出Witten-Kontsevich定理的一个漂亮的新证明。后者是Kontsevich获得1998年菲尔兹奖的主要获奖工作之一。

以上都是Mirzakhani博士论文中的成果，分别发表在《数学发明》、《数学年鉴》和《美国数学会杂志》这三个顶尖数学期刊上。哈佛大学数学系博士生的办公室，就是走廊上的隔间，平均只有不到两平米。Mirzakhani就是在这样的环境下，用5年时间完成了一篇堪称伟大的博士论文。

2011年，Mirzakhani在丘先生担任主编的《微分几何杂志》上发表论文《Weil-Petersson体积增长与随机双曲曲面》，首次证明Weil-Petersson体积大亏格的精确渐近。Mirzakhani证明，当亏格趋向无穷时，许多关于曲面的重要几何量（如特征值、直径、Cheeger常数等），虽然无法得到精确的公式，但是它们相对于Weil-Petersson测度的大亏格分布，都可以由Weil-Petersson体积的渐近性质推导出来。她的这项工作开启了随机双曲曲面这一全新的数学研究领域。2010年，在印度海得拉巴国际数学家大会上，她受邀报告了这篇论文的结果。这不仅是一次学术演讲，更是一个重要数学分支的正式亮相。

Mirzakhani的这项工作，本质上用到了三个递归公式，一个是Mirzakhani自己关于Weil-Petersson体积的递归公式，另外两个是我们在研究Faber猜想以及推广Mirzakhani公式时得到的。若论重要性，在Mirzakhani的工作中，她的核心公式毫无疑问排在第一位。然而，每次她在引入预备的数学工具时，都会把我们的公式放在前面——这种安排，既有她对于学术贡献的尊重，也体现了她为人的谦和。

我们曾担任上述Mirzakhani《微分几何杂志》论文的审稿人。审稿过程中，我们发现她证明中有一处论证略显粗略，便通过邮件与她沟通。Mirzakhani非常坦诚地承认了这一点，并随后做出了修改。后来，在正式发表的论文中，她在致谢里感谢我们指出了文中的一处“错误”。其实，我们当时只是对细节提出了一点疑问，并未觉得那是什么真正的错误。而后续完整的论证，也完全是她自己补充完善的。

用递归推导渐近行为，如果递归关系像斐波那契数列那样纯粹而简单，自然很容易处理。然而，Weil-Petersson体积所满足的递归中，掺杂了psi类或高次kappa类——换句话说，我们还没有一个纯粹关于Weil-Petersson体积本身的封闭递归公式。Mirzakhani正是克服了这一巨大的技术障碍，在多个递归公式间来回切换，才最终完成了这项开创性的工作。

随机双曲曲面是几何与概率的完美结合。双曲曲面的几何性质在个体间表现出显著的多样性，然而随着亏格趋于无穷，曲面会集体展现出统一的普适性规律。不妨与量子力学作一个类比：量子力学告诉我们，微观世界是概率的，但在极限意义下，却呈现出宏观的确定性。概率论在数学界正日益受到重视，并在众多核心数学分支中发挥着意想不到的作用——最近几届菲尔兹奖中，几乎都有概率论学者的身影。芝加哥大学邓煜教授是国际上偏微分方程概率论方法的领军学者，他最近与合作者一同解决了著名的希尔伯特第六问题，更是这一趋势的有力佐证。

Mirzakhani所开创的随机双曲曲面，如今已成为国际数学界一个活跃而重要的研究领域。清华大学吴云辉教授及其团队在这一方向上取得了一系列具有国际领先水平的重要成果。最近，两位法国女数学家Anantharaman与Monk，沿着Mirzakhani开辟的研究路径，改进吴云辉-薛宇皓的迹公式方法，巧妙地引入数论与图论的工具，得到了随机双曲曲面上第一特征值的最优渐进估计1/4。这一结果受到了数学界的广泛关注。沃尔夫数学奖得主Peter Sarnak称之为里程碑似的突破。倘若Mirzakhani能够看到这些后续的进展，想必会感到由衷的欣慰。

2013年之前，领域内的专家没有人会怀疑Mirzakhani是否值得一个菲尔兹奖。她需要的只是一项能够说服外行的重量级工作。2013年，Mirzakhani与Eskin合作，在一篇200多页的长文中，证明二次微分模空间的轨道闭包和黎曼面模空间的复测地线闭包都有出人意料的良好性质。他们的结论被称为“魔杖定理”，因为它是一个全新、强大的万能工具，可以被应用于数学、物理的众多相关领域中。2014年Mirzakhani众望所归地获得菲尔兹奖。2020年与Eskin同获科学突破奖。

1994年，Mirzakhani曾经代表伊朗到香港参加国际中学生数学奥林匹克竞赛。这大概是她唯一一次到访中国。Mirzakhani的卓越成就，必将鼓舞更多的女数学家。性别从来就不是研究数学的阻碍。以王虹为代表的新一代中国女数学家，已经登上了世界最顶尖的数学舞台。相信在不远的未来，中国一定会涌现出更多优秀的女数学家。

本文的标题借用了李清照的一句词：“何须浅碧深红色，自是花中第一流。”李清照被誉为千古第一女词人，用她的词句来映照Mirzakhani的学术成就，或许再贴切不过了。Mirzakhani拥有强大的数学技巧，擅长处理繁琐的细节，将每一篇文章都写成了教科书般的风格——清晰、透彻。

回忆米尔扎哈尼

作者：徐浩

2004年，我开始在浙大数学中心跟随刘老师攻读博士。刘老师给了我两个问题：一是Faber相交数猜想，二是如何理解并推广Mirzakhani的递归公式。那时，研究Faber相交数猜想的数学家包括普林斯顿、斯坦福、马普所的大牌教授。Mirzakhani正是数学界最耀眼的新星。我觉得刘老师太高看我了。刚开始，我完全是被刘老师推着往前走，教我如何理解模空间，怎样结合我的计算机编程能力，是刘老师给了我研究模空间的勇气。他还告诉我，这个领域最厉害的数学家Kontsevich, Okounkov, Zagier都是编程高手。

我们最初尝试应用刘老师和刘秋菊、周坚证明的Marino-Vafa公式。这个公式能够推出几乎所有黎曼面模空间Hodge积分的公式，唯独无法证明Faber相交数猜想。此外，Gromov-Witten不变量的局部化方法似乎也不奏效。直到2008年，我们通过n点函数的递归公式，证明了Faber相交数猜想。四位欧美科学院院士在2011年出版的专著中，称我们证明了一个了不起的公式。2009年，我们将Mirzakhani公式推广到高次Weil-Petersson体积，同时表明Mirzakhani公式可以看作Witten-Kontsevich定理的形变。在此过程中，我们还发现了几个新的相交数递归公式。后来，Mirzakhani正是利用这些公式，研究了Weil-Petersson体积的大亏格渐近行为。我们曾通过邮件与她交流。她提了几个问题，例如我们的推广公式是否可以用来研究高次Weil-Petersson体积的渐近行为。

受这些问题的启发，刘老师和我开始尝试研究相交数的渐近性质。2011年我们证明了psi类积分的一类大亏格渐近。最一般的情形由Aggarwal和郭晋东-杨迪用不同的方法证明，这个结果在关于二次微分模空间的Masur-Veech体积研究中有重要应用。近年来，由于波士顿学院陈大卫等学者的工作，Masur-Veech体积与黎曼面模空间积分建立了密切的联系。

我们还发现psi类相交数对于亏格具有某种多项式性质。这大概是计数几何中，迄今为止所知的唯一关于亏格的多项式性质。2025年，中科大杨迪与合作者证明超相交数也有类似的多项式性质。这一发现，与张怀良-郭帅-李骏证明的Yamaguchi-Yau多项式结构猜想，以及Dubrovin-张友金关于Frobenius流形的多项式性猜想，都有着根本的不同。

2010年前后，受到李骏教授和Vakil教授的邀请，我两次访问斯坦福大学，与Mirzakhani有简短的交流。她得知我在哈佛跟随丘先生做博士后，告诉我，她很怀念在哈佛读研究生的时光。她说，丘先生组织的讨论班是系里最多的，访问他的人也是最多的，经常会有大数学家在丘先生的讨论班上作报告，她喜欢观察他们思考与回答问题的方式。

此外，丘先生的学生Alina Marian是Mirzakhani的好友，她们是同一届的哈佛博士生。或许正因如此，Mirzakhani对卡拉比-丘流形、Gromov-Witten不变量、超弦理论并不陌生，尽管这些并非她的直接研究领域。而今天来看，她的工作已对这些领域产生了深远的影响。

Mirzakhani听说我也研究凯勒几何，向我描述了如何用动力系统的方法研究凯勒-爱因斯坦度量的收敛性。她并非泛泛而谈，显然是经过非常深入的思考。这让我很惊讶，因为在我的印象中，她的文章里从未提及凯勒-爱因斯坦度量。当然，黎曼面本身便是一维的凯勒-爱因斯坦流形，因此她会思考高维情形，其实也很自然。而凯勒-爱因斯坦度量的收敛性，正是研究凯勒-爱因斯坦流形模空间的关键。我相信，Mirzakhani早已构思过如何构造凯勒-爱因斯坦流形和卡拉比-丘流形模空间。时至今日，这还是一个非常活跃且极具挑战性的难题。

刘老师和我在浙江大学指导的博士生黄轩宇和智艳辉，最近也在博士论文中延续了Mirzakhani的工作。黄轩宇把Mirzakhani-Zograf关于Weil-Petersson体积的渐近展开，完全平行推广到更难的超黎曼面情形。智艳辉的博士论文，把刘老师和我在《Mirzakhani渐近公式注记》，以及郭晋东-Norbury-杨迪-Zagier在《BGW数的组合与渐近》中发现的相交数多项式性质，进一步推广到更一般的Hodge积分和r-spin相交数。

感谢刘老师把我带入黎曼面模空间的世界，让我在领略数学之美的同时还能贡献绵薄之力。感谢Mirzakhani的工作，让我与许多研究黎曼面模空间的同龄人有了共同的学术话题。

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