层(Sheaf)是数学上一个自然的概念，据说最早由处在德国战俘营的Jean Leray创造。Jean Leray不仅发现了层这个数学结构，还分析了与其相关的层上同调与谱序列。后来关于层论很重要的发展有日本的Mikio Sato发展的微枝(micro support)语言，大概是底流形是弯曲流形时，对其上的层作傅里叶变换（该语言被系统的总结在Kashiwara和Schapira的《Scheaves on manifolds》）；另有Grothendieck基于层定义概型（Grothendieck说，脱离层，我们甚至不能定义概型，概型这里可以认为是对普通微分几何中流形概念的一般化抽象化与修饰），利用概型和层作为基本语言发展了他的Grothendieck site, Grothendieck topos, 并写下EGA,FGA等著作。从物理的角度来说，可以将层认为是某纤维丛全空间中所有可能的截面张开的空间。层可以认为是纤维丛理论中纤维映射的反变函子，如果认为纤维丛是从全空间到底流形的一个映射，那么层就是这个映射的反变函子。所以，某种意义上来说，层是比截面更加自然的数学结构。只需要有一个纤维丛及其纤维映射，就可以利用范畴论中的反变函子概念获得层，但截面却不可以这样。

虽然层论在数学上早已被研究和重视，但其物理意义的阐明工作却一直在继续，要知道抽象数学结构的物理含义的阐明是非常困难的问题。当然，即使这样，只要你的逻辑推理是对的，你的推论就是对的，你不需要真的知道他是啥。

对层量子化的关注，始于一个朴素而简单的想法，就是如何把希尔伯特空间推广到弯曲时空。我们知道初等量子力学（主要特征在于他是一次量子化的）中，量子态是希尔伯特空间中的一个态矢量。（希尔伯特空间可以认为是具有内积的复线性空间，只不过这个线性空间可以是无穷维的。）这个态矢量的演化由指数上为哈密顿量的幺正算子推动，这个态矢量似乎就对应电子波函数等物理实体。后来学了高等量子力学（包括二次量子化框架下的量子多体和量子场论），发现粒子(玻色子和费米子)等物理实体变成了场算符，进入的是哈密顿量而不是态矢；这个转变是重大的却并没有在哪本我看到的教材重点提及；我经过了多年的体会才理解这个转变；这个转变也是我最初学习量子场论最大的困惑之一（主要当时是没学高等量子力学、量子多体直接学的量子场论）。在高等量子力学中，粒子作为真空某点的激发态，处在Fock空间中。量子场论认为，时空流形的每个点上都有一个Fock空间，换成直白语言就是时空上每个点都有激发出粒子的潜力。量子场论中的态矢仍然是被指数上为哈密顿量的幺正变换驱动演化，但这个态矢是超越时间和空间的存在，是处在时空上每个点上Fock空间做张量积并线性扩张后的巨大高维空间，为了与初等量子力学的希尔伯特空间相区别，这里称量子场论的量子态所在的空间为巨希尔伯特空间。粒子对的非局域性纠缠关联、贝尔不等式的否定性判据正是这个巨希尔伯特空间存在性的直接证据。然而，在传统量子场论和粒子物理标准模型中，这个巨希尔伯特空间对应的时空底流形是平直的。我们知道爱因斯坦发现的广义相对论中，将引力场解释为时空的弯曲，也就是说描述时空的数学模型不再是狭义相对论对应的闵可夫斯基空间，而是伪黎曼流形，更具体的，是伪黎曼流形中的洛伦茨流形。那么底流形为洛伦茨流形时，巨希尔伯特空间会进化为什么空间呢？

目前，我对这个问题的看法就是，这个空间就是数学上早已被阐述多年的层空间。一般流传着一个说法，粒子物理标准模型所依赖的杨-米尔斯理论（规范理论）框架，就对应于数学上的纤维丛理论，特别是结构群为复SU(N)这种类型的纤维丛理论。这个说法有他对的地方，也有他不对的地方。对的地方在于，复结构群SU(N)的纤维丛理论确实在形式上和规范群为SU(N)的杨-米尔斯理论有完美的一致对应的关系，但目前为止，仍然存在两个问题：一是著名的杨-米尔斯存在性与质量间隙问题。即这种复SU(N)的纤维丛结构是从哪里起源的？我们知道，结构群为实SO(N)的纤维丛结构可以直接从流形的切矢量场、余切矢量场及其纤维丛结构导出，那么结构群为复SU(N)的纤维丛结构应该如何起源？可能的起源是多种多样的，例如从SO(10)往下破缺获得SU(4)之类的结构；也有包括额外维，特别额外维是复流形的解决方案；也一直有包括Clifford丛之类的解决方案。这里笔者更倾向于类似Clifford丛之类的解决方案，原因在于这类方案拥有结构简洁性与冗余结构少的特点。曾和黄导师讨论了三年，终于较为独立的发现一个早已在文献中写出的数学事实，就是可在狄拉克矩阵两边夹上U(4)的表示变换的转动。基于这一发现以及长期被人研究的Clifford丛数学结构，我们提出了度规开方的数学结构，并基于该数学结构的自平行输运原理导出了弯曲时空杨-米尔斯理论。然而，这一数学结构的截面是c数值的，而物理上量子场论中涉及的场算符都是q数值的（这里c可以理解为classic, q可以理解为quantum）。这就设计到第二个问题，那就是如何将纤维丛理论中c数值的截面转换为q数值的对象？目前我们认为，层（sheaf）自然的提供了该数学结构。将物理实体从纤维丛截面值的替换为取值在层的，事实上就是将场从c数值的转换到q数值的。正如前面所言，层相较截面具有更大的数学自然性。这就是笔者认为的层量子化的底层逻辑。

事实上，也有大量数学家把握到了这一趋势，例如Fukaya范畴、Floer的A first/second course in topos quantum theory, Isham和Nakayama等写的量子化诱导的层等系列。层量子化作为几何量子化的一种，开始被人关注。

想到中国历史上由来已久的一个词，层(sheaf)出不穷。如果不穷代表循环往复、永恒演化的实在与宇宙，那么层出不穷这一词真是太妙了。

附本人关于层量子化的一个工作，作为2022年的国庆献礼。该版本预计将贴在ChinaXiv上。

弯曲时空杨 –米尔斯理论和爱因斯坦 –嘉当引力理论及其层量子化.pdf