本资料来源于《数字图像处理：技术详解与Visual C++实践》。该书全面系统地讲述了数字图像处理领域中的15大核心话题，包括色彩空间、图像编码、频域变换、图像文件格式、几何变换、灰度变换、图像的增强处理、边缘检测、轮廓跟踪、形态学处理、图像分割、图像的加密与隐藏、小波变换、偏微分方程以及图像去噪等。本节为大家介绍混沌理论。

混沌学是一门新兴的学科，它在生物学、气象学、金融学，乃至国际关系学中的应用都极大地引起了学者们的兴趣。将混沌学这一新兴学科与密码学这一历史久远的学科有机地结合起来便催生出了崭新的混沌密码学。混沌密码学正得到广泛的重视，方兴未艾。特别是应用混沌密码学对多媒体信息进行加密已成为新兴研究热点。

一、混沌的概念

混沌理论起源于自然领域的学者对于大自然许多不可解释与预期现象的一种诠释，对于复杂多变的宇宙事物，甚至于社会科学领域，都是这一派学者所追求的主要课题。这些不同向度的系统，都具有共同的特性，也就是它们在变化无常的演绎背后，呈现出某种无法理解的不确定规则。而混沌理论的学者，就是试图去了解与掌握这些存在于秩序、复杂与混沌边缘的变动原理。

要给混沌下一个准确的定义并不容易。事实上，目前还没有较为统一的关于混沌的定义，许多学者都从不同的角度给出了不同的描述方式。其中最被广泛接受的有“Li-Yorke定义”和“Devaney R.L定义”等。简单地说，混沌（Chaos）是非线性动力系统中出现的一种确定性的、貌似无规则的运动，它不需要附加任何随机因素也可以出现类似随机的行为，即存在内在随机性，这种运动既非周期又不收敛，并且对初始值有极其敏感的依赖性。

二、混沌的理论

（1）耗散结构

在此结构中，存在着许多不同的次系统，其本身也非稳定的系统，彼此之间不相称而没有一定的比例关系，有时会陷入混沌暴乱的情境。此种不稳定的状态达到临界点或分歧点，系统内部的平衡即造成断裂，而导致长期的混沌状态，或者趋向于另一个新的、更高层次的耗散结构。基本上，它是一种稳定→崩溃→重组的更新过程。

（2）蝴蝶效应

在耗散结构中，由于各次系统的关系呈现非线性，因此细微之处即可能有巨大影响，如同蝴蝶展翅却造成飓风一般。混沌理论主张任何现象均代表某些意义，不应被歧视地丢弃。忽视表面上看来细枝末节的事件，即可能无法一窥各次系统之间的连接关系，终而造成巨大的损失。

（3）奇怪吸引子

奇怪吸引子是指其性质极为不定，有时复杂，有时却简单，令人难以捉摸。在复杂的系统里，吸引子不止一个，而其走向更是不定，有时看其似有规则可循，有时却杂乱无章，但往往产生巨大能量而左右系统的走向。

（4）回馈机能

系统的过去历史决定其进化方向。然后在随机与动态之中，系统中各吸引子导致成果的产出，一切过程可经由非线性的方程式加以代表。如此反复进行，产出的成果回馈至系统而成为新的输入，并因此产生波动而激发出下一波的新结构。

（5）非线性

混沌理论认为"非线性"才是自然和人文社会的常态，任何事物和现象间常因交互纠葛，形成错综复杂的混沌状态。组织中每种行为都只是暂时反映当时的系统状态，系统的变动是非线性、动态和暂时的，永久平衡并不存在。

三、混沌系统的特征

（1）类随机性

混沌运动存在类随机性。但是这种类随机性是由确定性方程产生的，因此一旦系统的初始状态给定，那么混沌信号序列就可以精确地再生。混沌过程的随机性实质上属于内在随机性，因此，混沌的随机性称为类随机性是比较合适的。如何理解这种类随机性呢？首先，就混沌系统产生的随机数序列而言并不一定是均匀分布的，而Golomb对伪随机周期序列提出的随机性公设则要求随机序列的元素在周期内均匀分布，当然可以对混沌系统做一些处理以改进其该方面的性能；其次，以最常见的随机性实验--掷硬币为例，那么可知无论投掷实验进行多少次，都不可能写出一个可由以前实验所得的值计算出下一次所得值的公式。混沌的类随机性的含义与这一表述是一致的，这表示混沌的类随机性意味着混沌的不可预测性。

（2）初值敏感性

混沌系统对初始值十分敏感，随着时间的推移，任意靠近的两个初始条件将表现出各自独立的时间演化。正所谓"失之毫厘，差之千里"，初始条件的任何微小变化，经过混沌系统的不断放大，都可能在未来的状态中产生极大的差别。

（3）遍历性

混沌运动的遍历性是指混沌变量能在一定范围内按其自身规律不重复地遍历所有状态，即混沌运动轨道局限于一个确定的区域内--混沌吸引域，而混沌轨道将经过吸引域内的每一个状态点。

（4）长期不可预测性

由于混沌系统所具有的轨道的不稳定性和对初值的敏感性，因此不可能长期预测将来某一时刻的动力学行为。混沌吸引子局部地起着噪声放大器的作用，一个小的起伏会导致相轨很快产生大的偏离；过去和将来没有什么必然的联系。混沌的随机性意味着混沌的不可预测性。但是，在应用科学中，"有一定的随机性"通常意味着可预测性。由于这两种概念的存在，不仅应该认为混沌的不可预测性是其主要特性，而且是比随机性更重要的特性；否则，可能导致概念上的错误。

（5）普适性

所谓普适性，是指在趋向混沌时所表现出来的共同特性，它不依靠具体的系数或者系统的运动方程而变。作为一种无周期的"高级"有序运动，如果数值实验的分辨率足够高，可以发现混杂在小尺度混沌中的有序运动。在研究混沌的转变中，出现某种标度不变性，代替通常的空间或时间周期性，这就是普适性。常提到的普适性有两种，即结构的普适性和测度的普适性。前者是指趋向混沌过程中轨线的分岔情况与定量特性不依赖于该过程的具体内容，而只与它的数学结构有关；而后者指同一映射或迭代在不同测度层次之间嵌套结构的相同，结构的形态只依靠于非线性函数展开的幂次。

（6）非周期定常态

非周期性虽然不是混沌运动的本质特征，却是它的必要特征。混沌运动必定是非周期运动，但混沌不是任意一种非周期运动，而是确定性的非周期性。所谓"确定性"，一是指混沌是由确定性动力学方程自身产生的非周期运动，不是外部扰动引起的；二是指混沌是一种定常态行为，不是系统在过渡过程中呈现的非周期性。

（7）整体稳定而局部不稳定

稳定性能够使系统受到微小扰动后仍保持原来状态的属性和能力，一个系统的存在是以结构与性能的相对稳定性为前提的。混沌具有整体稳定性，而局部不稳定性是指系统运动的某些方面的行为强烈地依赖于初始条件。

四、混沌理论发展历程

“混沌”一词原指宇宙未形成之前的混乱状态，我国及古希腊哲学家对于宇宙之起源持混沌论，主张宇宙是从混沌状态开始，逐渐形成现今有条不紊的世界的。

1890年，法国科学家庞加莱在研究三体问题时发现，三体引力相互作用能产生复杂的行为，确定的动力学方程的某些解有不可预见性。三体运动是典型的混沌现象，这一发现使庞加莱成为公认的混沌理论开创者。庞加莱还为混沌动力学理论贡献了一系列重要概念，如奇异点、分岔、同宿、异宿等，还提出了参数微绕、庞加莱截面法等混沌研究方法。到了1903年，庞加莱把动力学系统与拓扑学结合起来，指出混沌存在的可能性。此后，很多科学家在各自的研究领域为混沌的建立进行了知识积累。1918年，G.Duffing的研究揭示了非线性振动系统的奇异现象，后来在生态领域总结出Logistic方程，作为最简单的一维混沌系统，Logistic方程也是目前研究最深入、应用最广泛的混沌系统。

现代意义的混沌（Chaos）起源于20世纪五六十年代。在保守系统的研究中，Kolmogrov发现如果把一个充分接近可积Hamilton系统的不可积系统当作可积Hamilton系统的扰动来处理，则在小扰动条件下，系统的运动图像与可积系统基本一致；当扰动较大时，系统图像就会产生混沌现象。随后Arnold和Moser分别给出了较弱条件下的证明。后来，在耗散系统的研究中，美国气象学家Lorenz做出了突出贡献。1963年，Lorenz在用计算机模拟天气变化时，发现一个确定的含有3个变量的自治方程却能产生混沌解，使得气候不能精确重演。他在其著名的论文《确定性的非周期流》中揭示了混沌系统的不可预测性，并指出了非周期性和不可预见性之间的联系，由此拉开了混沌研究的序幕。他还发现了著名的“蝴蝶效应”，并开创了用数值实验方法研究混沌的先河。

20世纪是混沌科学蓬勃发展、突飞猛进的时代。混沌科学倡导者、美国海军部官员Shlesinger说：“20世纪科学将永远铭记的只有3件事——相对论、量子力学与混沌。”物理学家福特认为混沌就是20世纪物理学第3次最大的革命。湍流是自然世界寻常惯见的现象，但一直以来却都是物理学上的一个难题。1883年，英国著名实验流体力学家Reynolds通过一个实验演示了湍流的产生。可见有关湍流的研究由来已久。直到1971年，Rulle和Takens通过严密的数学分析独立地发现了奇怪吸引子，并提出了利用奇怪吸引子描述湍流形成机理的新观点，由此就出现了用混沌吸引子来揭示湍流现象的新思维。他们的工作揭示了混沌运动是与奇怪吸引子密切相关的运动，后来他们的思想发展到对时空混沌行为的研究。系统的时空混沌行为，是指在宏观的时间和空间尺度上系统所表现的极不规则的运动形式。研究时空混沌的一个实际目的是希望用它来揭示湍流的本质，因为湍流问题仍然是对现代科学的挑战。研究多自由度时空系统的复杂行为，无论从理论还是从实际都是非常重要的。

1975年，美籍华人学者李天岩及其导师约克首先在著作中使用“混沌（Chaos）”一词，为这门新兴学科树立了核心概念。1976年，美国生物学家May R.M在《自然》杂志上发表的文章向人们表明了混沌理论的惊人信息：简单的确定性数学模型——Logistic方程可以产生类似随机的行为。同年，天文学家Henon构造了Henon二维映射，发现Henon奇怪吸引子是一条无限长不封闭曲线，无限多次盘旋弯曲而不自相交割，但又局限于面积趋于零的区域内，其局部结构在更小的尺度上重复，亦即有自相似性，这揭示了混沌几何结构的另一特征。1977年，第一届国际混沌会议在意大利召开，标志着混沌科学的诞生。

20世纪80年代，混沌的理论框架被迅速填充，一系列刻画混沌系统的概念先后被确定下来。1981年，Shaw提供了用信息流观察混沌运动的新视角，给出了微分方程和映射系统中信息熵的计算公式，并发现区间迭代出现周期解时，信息熵骤然降低。1982年，Cuckenheimer利用Lyapunov指数发展了区分混沌与真正随机运动的算法。同时，人们开始用实验室实验来研究混沌问题，证实了混沌是广泛存在的一类自然现象，是一种新认识到的运动形态。1983年，Ford利用遍历理论得出，混沌产生于通常被称为确定性系统的原因在于“数学上所要求的无限精度与物理系统所提供的显然是有限精度之间的矛盾”，郝柏林更为全面地指出“如果把有限性（包括测量精度的有限性，随机检验的有限性）作为认识世界的出发点，承认自然现象的有限性，就可以从确定论和概率论的根深蒂固的对立中解脱出来。”1986年，中国第一届混沌学会议在桂林召开。