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统计物理短评集-2

已有 2133 次阅读 2021-8-10 17:52 |个人分类:专业科普|系统分类:科普集锦

关于对偶空间


1. 勒让德变换(Legendre Transform)建立了不变量在一对对偶空间(Dual Space)里的表示之间的联系。通过构造两变量函数(变量本身可以是函数),勒让德变换对可以在对选定变量求(变分或函数)极值的意义下理解。容易证明,勒让德变换对互逆。另一个勒让德变换函数对间满足的重要性质是:两函数对于相应互对偶变量的二阶(变分或函数)导数互逆。

 

  场论(Field Theory)中,勒让德变换联系的两个不变量是累积关联函数生成泛函顶角函数生成泛函(热力学势)。在平均场近似下,[数学上对应于鞍点近似],累积关联函数生成泛函和哈密尔顿泛函互为勒让德变换,则顶角函数生成泛函近似等于哈密尔顿泛函。

 

2. 经典物理里已经有对偶空间的概念。例如:

(a) 经典力学中的力和位移,二者的矢量空间形成对偶空间,二者内乘得能量;

(b) 分析力学中的速度和动量,二者形成对偶空间,相乘得能量;

(c) 热力学中的多对对偶量,如温度与熵,压强与体积,化学势与粒子数,磁场与磁矩等,二者之积得能量。因能量是广延量,故两对偶量必然一为强度量,一为广延量。可以仿照经典力学,称强度量(温度,压强,化学势,磁场等)广义力,广延量(熵,体积,粒子数,磁矩等)广义位移。如前所述,不变量在对偶空间里有不同的表示,在热力学中对应于不同的自由能形式,这些自由能间通过勒让德变换相联系。


3. 在统计力学里,不同对偶空间里写下的理论定义了不同的系综(Ensemble)。对于对偶空间定义的对应系综,相应配分函数间,在热力学极限的连续意义下,通过积分变换相联系。在鞍点近似的意义下,对偶空间的配分函数对间的积分变换等价于热力学函数对间的勒让德变换,[注意,热力学函数是配分函数的对数。在生成函数的意义下,热力学函数是配分函数对应的累积量]。考虑到在热力学极限下,相对涨落小到可以忽略,故鞍点近似比较可靠,这就合法化了统计力学不同系综间配分函数的积分变换与热力学对偶空间不同热力学函数(自由能)间的勒让德变换之间的等价性

 

4. 现在考虑量子物理。我们常说子物理是比经典物理高一维的理论,这是由于时间。维克转动将量子理论的实时转为虚时,时间获得与空间相同的性质,从而多出了一个欧氏空间轴。我们可以很快地从对偶空间来看这件事。如前,经典力学与热力学中,对偶量之积得能量;量子理论要多出一个时间维,因此,对偶量之积得作用量。在对偶量算符化后,就建立了由作用量为单位的不确定性关系。更加具体一点看:经典力学里的对偶量是速度与动量,其积为能量;量子力学要多乘一个时间轴,因此量子力学里的对偶量是位置与动量,其积为作用量。

 

5. 量子力学有一个公理说:可观测量由厄米算符表示。可是,显然有一个例外:时间时间在非相对论和相对论量子力学里都作为参数出现,不是厄米算符。然而空间位置是由经典力学的自由度升格而成的算符。量子力学对于时空的这种不对等的处理,导致了如负能量等等问题。一种出路是将时间与空间一样升级成算符,另一种是将空间降级成和时间一样的参数,这两种方案分别是弦论和量子场论的做法。

 

在量子力学里,时间与空间的这种地位不对称,直接导致的是当谈论不确定性原理时,尽管经常将空间-动量,时间-能量,放在一起谈,然而两个关系却是不同的。前者可由厄米算符的非对易直接得出,而后者不然,因为时间不是算符。后者说的不确定性实际上是涉及到量子动力学的关系。



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2 刘全慧 王安良

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