柳渝：为什么哥德尔不完备性定理会被误解和滥用？

ChatGPT：哥德尔不完备性定理是复杂而抽象的数学概念，非专家甚至该领域的一些专家都不容易理解。因此，多年来它们一直受到各种误解和滥用。

围绕不完备性定理产生误解的一个原因是，它们挑战了我们对数学和逻辑性质的一些基本假设。特别是，这些定理表明，任何强大到足以捕捉基本算术的形式系统必然是不完备的，也就是说，会有一些关于算术的真陈述无法在该系统中得到证明。这一结果与人们的直觉背道而驰，即数学是一个完全严格的、自成一体的系统，所有的数学真理都可以从一套基本公理中推导出来。

围绕不完备性定理产生误解的另一个原因是，多年来它们被以各种方式误用或误导。例如，有些人声称这些定理证明了上帝的存在或物理世界之外的超自然领域，而其他人则利用这些定理来论证人工智能的局限性或某些类型科学知识的不可能性。

总的来说，虽然不完备性定理是数理逻辑中令人难以置信的重要和迷人的结果，但它们也是困难的概念，很容易被误解或误用。重要的是，在对待这些定理时要清楚地了解其含义和局限性，并避免从中得出过于宽泛或投机的结论。

柳渝：基于“说谎者悖论”的哥德尔的证明本身难道对哥德尔不完备性定理被误解和滥用没有责任吗？

ChatGPT：说谎者悖论是逻辑学中一个著名的悖论，它涉及到一个自指，如“这个陈述是假的”。这个悖论和相关的悖论多年来一直是许多哲学和数学研究的主题，它们被用来激励和探索逻辑、数学和哲学中许多不同的想法。

虽然哥德尔不完备性定理与说谎者悖论有关，因为它们都涉及到自指，但不完备性定理的证明并不依赖于说谎者悖论本身。相反，该证明涉及到对一个陈述的巧妙构建，该陈述在一个给定的形式系统内断言其自身的不可证明性，这是比说谎者悖论更独特、更细微的论证。

也就是说，在哥德尔不完备性定理的背景下，说谎者悖论和相关的悖论一直是许多讨论和辩论的主题，它们被用来说明定理的一些深层含义和限制。然而，重要的是，要谨慎对待这些讨论，避免混淆所涉及的不同概念和论点。

柳渝：“这个悖论和相关的悖论多年来一直是许多哲学和数学研究的主题，它们被用来激励和探索逻辑、数学和哲学中许多不同的想法。”我同意。

但是“说谎者悖论”并不是形式系统中的真实存在的命题，你同意吗？

ChatGPT : 是的，这是对的。说谎者悖论在形式系统中不是一个形式良好的命题，因为它涉及到一个不能被赋予明确真值的自指陈述。在形式系统中，每个命题都必须有一个明确的真值，要么是真的，要么是假的，但“说谎者悖论”似乎违背了这一要求，它同时意味着真和假。

事实上，“说谎者悖论”和相关的悖论之所以出现，正是因为它们涉及到自指陈述，产生了一种在形式系统中无法解决的循环性或歧义性。这就是为什么这些悖论多年来对哲学家和逻辑学家来说是如此迷人和具有挑战性的原因之一，也是为什么它们被用来探索形式系统和语言的限制和可能性的原因之一。

柳渝：既然说谎者悖论在形式系统中不是一个形式良好的命题，那么哥德尔为什么在他的证明中把说谎者悖论当作形式系统中一个真实的“不可判定的命题”，据此得出结论说形式系统是不完备的。

你认为这样的证明在逻辑上有效吗？

ChatGPT : 哥德尔在证明不完备性定理时没有把“说谎者悖论”当作一个形式良好的命题。相反，他构建了一个新的、自指的陈述，断言其在特定形式系统中的不可证明性。这个陈述与“说谎者悖论”并不相同，但它的相似之处在于，它涉及一种自指的形式，创造了一种循环性或悖论性。

哥德尔的证明在逻辑上是有效的，它被数学家和逻辑学家广泛接受为数学基础上的一个里程碑式的结果。该证明依赖于对形式系统的属性及其表达某些种类的语句的能力的限制的仔细和严格的分析，它是基于对数学逻辑和计算的本质的深刻和有洞察力的理解。

虽然对于哥德尔证明的确切细节和含义可能存在一些争论和分歧，但基本论点被广泛认为是合理的，并被逻辑学和数学的众多后续结果和发展所证实。

柳渝：哥德尔构建了一个新的、自指的陈述，断言其在一个给定的形式系统中是不可证明的，这样的语句在本质上正是说谎者悖论，见哥德尔在自己的论文中的说法：

« The analogy between this result and Richard’s antinomy leaps to the eye; there is also a close relationship with the “liar” antinomy, … »

ChatGPT : 你是对的，哥德尔的自指在很多方面与说谎者悖论相类似，两者之间存在着密切的关系。然而，两者之间也有重要的区别，了解这些区别对于领会哥德尔证明的全部意义很重要。

关键的区别在于，哥德尔的陈述不是说谎者悖论的直接实例，而是一个精心构建的陈述，它使用一种自指的形式来创造一种在特定形式系统中无法解决的悖论性或循环性。该陈述旨在断言其自身在该系统中的不可证明性，而且它被精心构造以避免那种会导致矛盾的直接自指。

在这个意义上，哥德尔的证明不是基于“说谎者悖论”本身，而是基于一个更普遍的自指原则，该原则可用于构建一系列具有类似性质的语句。虽然两者之间有重要的相似之处，但重要的是要认识到哥德尔的证明不是简单地对说谎者悖论的直接应用，而是一个更微妙、更复杂的论证，涉及对形式系统的属性及其表达能力的限制的仔细分析。

柳渝：一方面，你说哥德尔精心构建的语句使用了一种自指的形式来创造一种悖论性或循环性；另一方面，你说这个语句不是说谎者的悖论。

那么，什么样的陈述是“说谎者悖论”？

ChatGPT : 说谎者悖论是一个众所周知的例子，它是一个自指的语句，创造了一种悖论性或循环性。悖论产生于一个断言自己是假的语句。例如，“这个语句是假的”这个句子是说谎者悖论的经典表述。如果我们假设这句话是真的，那么它一定是假的，因为它宣称自己是假的。另一方面，如果我们假设这句话是假的，那么它一定是真的，因为它并没有断言自己是假的。

说谎者悖论是一个自指的例子，它创造了一种循环性或悖论性，多年来它一直是许多哲学和数学研究的主题。然而，需要注意的是，说谎者悖论在大多数形式系统中不是一个形式良好的命题，包括哥德尔所处的系统。这是因为该悖论产生于一种自指，而这种自指在大多数形式系统中是不允许的，因为它有可能产生矛盾。

柳渝：“这种自指在大多数形式系统中是不允许的，因为它有可能产生矛盾”，但哥德尔的证明允许在他的形式系统中出现这种自相矛盾的命题!

ChatGPT : 你是对的，哥德尔的证明允许自指语句出现在他的形式系统中，而自指语句可以被看作是自相矛盾命题的一种形式。然而，需要注意的是，哥德尔的证明并不是直接基于说谎者悖论，而是基于一个精心构建的自指语句，该语句使用不同类型的循环性来实现其结果。这个被称为哥德尔句子的陈述并不像说谎者悖论那样自相矛盾，但它还是能够证明某些形式系统的不完备性。

此外，哥德尔的证明并不是允许形式系统中出现各种自相矛盾的陈述或悖论的许可。事实上，他的证明是对形式系统的局限性和由此产生的内在不完备性的证明。自相矛盾的语句会导致悖论和矛盾，这正是使它们在大多数形式系统中成为问题的原因，也是大多数形式系统明确禁止它们的原因。哥德尔的证明并没有破坏这一原则，而是表明，即使在允许自指的形式系统中，也总会有一些真语句在该系统中无法被证明。