1905年6月30日，法国的《科学杂志》（Revue générale des Sciences）发表了“理查德律背反”：如果我们对所有可以用有限数量的文字来定义的实数进行编号，那么我们可以用康托尔的对角线法构建一个不在这个列表中的实数。然而，这个实数已经由有限数量的文字定义在这个列表中了。

接着对当时困扰数学逻辑界的悖论危机进行点评：

一，译文

我们在前面提到的集合理论中的矛盾，再次引起了希尔伯特的注意，他在1904年8月海德堡大会上提交的论文中提到了这一主题，这篇论文刚刚被Pièrre Boutroux翻译成法文。理查德对其进行了研究，并以一种清晰的方式提出了另一个例子。

希尔伯特特别提到了关于所有集合的集合的悖论，乍一看确实相当令人不安，除非很好地规定一个集合不能把自己作为一个元素包括进来。是否承认集合E的存在，它的元素是所有可能的集合，— 既然为了构成一个集合，只需定义什么是它的一部分，什么不是它的一部分？

或者，是否承认E不存在，既然根据定义，E是一个不包含在E中的集合？

这样，我们又回到了埃涅阿斯的芝诺。

为了摆脱这一悖论，希尔伯特在他提出的新理论中，发现有必要完全改变“集合”一词的定义：他认为集合的概念是先于其元素的概念，而不是元素的结果。这至少在原则上是一种合法的运作方式，就像所有惯例一样，不太明显的是这种变化的作用。在我们看来，在任何情况下都没有必要澄清上述矛盾：在我们看来，这种矛盾属于理查德的言论范围，这种言论相当普遍，在这类讨论中决不能忽视。为了与某些元素形成一个整体，这些元素必须首先存在。我们毫不怀疑，类似的解决方案也适用于Burali Forti 先生关于所有序数集合W的二律背反。这个，就像刚才的E一样，应该因此被认为是不存在的。

此外，很明显，事先定义的改变并不是反驳二律背反的必要条件，甚至严格来说，也不是充分条件。例如，在目前的情况下，仅仅因为有人提议研究“希尔伯特集”（即以希尔伯特的方式定义的集合），避免不了矛盾：仍然有必要禁止研究以经典方式定义的集合。只要后者是合法的（这当然是合法的，因为它是一个名义上的定义），很明显，如果正确使用，它不应该导致任何矛盾。

解决办法是将序数视为存在，而将这些数的完整集合视为不存在。希尔伯特于1900年在巴黎大会上提出此解决办法，但其形式不同，而且与他1904年通讯的主题有关。

事实上，在后者中，虽然集合的问题有一定的地位，正如我们刚才所看到的，但主要的主题是更普遍的。它与作者近年来多次坚持的思想秩序有关，为了创立一个数学或逻辑理论，希尔伯特承认，找到一个公理清单是必要的，也是充分的，从中可以证明：1.它们不存在矛盾；2.它们是相互独立的，足以对有关理论进行推理。换句话说，在数学中使用的各种定义模式中，他主张“通过定理”进行定义，而不是其他所有的定义。

这种观点的合法性可能会受到质疑，特别是在可以进行“唯名（nominales）”定义的情况下，即要定义的概念可以用更简单的概念从头开始构建的情况下，使用定理进行定义是否合适。然而，应该指出的是，即使如此，通过公设或公理进行的定义也具有唯名定义所不能要求的丰富性，这要归功于它们所允许的概括。

对于这种“推导”概念的情况，公理之间不存在矛盾是容易验证的。确切地说，只要在以前获得的概念的帮助下，提出一个满足这些公理的概念的构成就足够了，这就是几何学的情况，它可以在数字的帮助下构建。然而，正如我们刚才所看到的，一般来说，这种简单的推导概念的情况也是最无趣的。

对于第一概念本身，困难是相当不同的，直到现在似乎还无法解决。希尔伯特这次正是针对这一困难进行克服。

如同所有的否定论证一样，这种困难在于基本公理可以形成的推理和逻辑组合的多重性。某种程度上，可以预见不会出现矛盾的完整系列的结果。

但首先，我们必须提出问题，我们所说的所有可能的逻辑组合是什么意思？我们知道，这是近年来整个逻辑学派，如皮亚诺、罗素等人深入研究的课题。最好能将这一学派的工作与希尔伯特目前的研究相协调，令人遗憾的是，在海德堡（Heidelberg）提交的总结文章中，希尔伯特没有时间指出这两种观点之间的一致性。例如，很明显，有必要了解我们刚才提到的诸作者所规定的所有逻辑规则是否被引入到有关的逻辑组合中。乍一看(loc. eit., p.94)，我们很想相信只考虑到了三段论的原则；但最后(p.102)似乎表明，事情不应该这样理解。

另一方面，到目前为止所陈述的逻辑原则是唯一存在的、可以被人类思维使用的原则吗？我们只能说，所有的推理—尤其是所有的数学推理--目前的构造似乎都只建立在这些原则之上。但是，正如在人类历史上可能有一段时间没有人想到使用例如完全归纳法一样，并不是绝对清楚未来不会发现第一概念的一些其他属性，而不是可以还原为我们所知道的那些概念。

如果我们把演绎逻辑的一般原则看作是预先存在的数学，那么，正如我们所看到的，希尔伯特只能通过一个公设断言他的公理不存在矛盾，即尚不为人知的逻辑原则不存在。如果说这种不存在是很有可能的，那么，它不能被认为是一种被证明的真理。

但是，面对前面的反对意见，另一种态度是可能的，这也是作者明显采取的态度。它包括将逻辑学和数学视为一个单一的整体，一个单一的理论，以一系列公理为基础，其不矛盾性仍有待确定。

从这个角度来看，希尔伯特的推理必须被认为是以一种完整的方式确立了算术公理之间没有矛盾。至少，如果像我们假设的那样，他已经能够考虑到所有已知的逻辑规则，正如我们刚才所说，我们已经同意将这些规则视为唯一存在的规则，情况就是这样。

现在，我们该如何看待这样一个出发点呢？

逻辑学和数学之间没有明确的分离，这一点可以毫无困难地承认。但在“真”和“不矛盾”这两个词之间建立的识别，这两个词被认为是同义词，也许会引起更多的反对意见。

在希尔伯特的论文发表的同时，海德堡大会的总报告为我们带来了柯尼希（König）的论文的最后文本。这个人的结论是（正如我们以前说过的），不可能把连续体放在一个有秩序的集合的形式中，他引用了伯恩斯坦（M.Bernstein）关于序数的一个定理。在他目前的文本中，作者只是以一种可疑的形式给出了他的结果，因为他不认为Bernstein的定理已经被证明，没有任何可能的争议。

因此，我们仍然认为Zermelo的相反结论是有根据的，至少，就我们而言，我们认为他的证明没有被我们在3月30日的评论中提到的反对意见所削弱。

二，原文

Les contradictions que nous signalions précédemment dans la théorie des ensembles, et dont M. J. Richard étudie et éclaire d’une manière définitive un autre exemple, ont, de nouveau, attiré l’attention de M. Hibert. C’est un sujet sur lequel il revient dans sa Communication présentée en aout 1904 au Congrès de Heidelberg, communication qui vient d’être traduite en français par M. Pièrre Boutroux.

M.Hibert fait spécialement allusion au paradoxe qui concerne l’ensemble de tous les ensembles, et qui, en effet, est, au premier abord, assez troublant, du moins s’il est bien spécifié qu’un ensemble ne doit pas se renfermer lui-même comme élément. Faut-il admettre que l’ensemble E, ayant pour éléments tous les ensembles possibles, existe, - puisqu’il suffit, pour constituer un ensemble, d’avoir défini ce qui en fait partie et ce qui n’en fait pas partie?

Faut-il admettre qu’il n’existe pas, puisque, dans le cas contraire, E serait, par définition, un ensemble non contenu dans E ?

Nous voilà revenus à Zénon d’Elée.

Pour échapper à ce paradoxe, M. Hilbert, dans la nouvelle théorie qu’il propose, juge nécessaire de changer complètement la définition du mot « ensemble » : il regarde la notion d’un ensemble comme antérieure à celle de ses éléments, au lieu qu’elle en soit le résultat. C’est, au moins en principe, une manière d’opérer assurément légitime, comme toutes les conventions. Ce qui est moins évident, c’est l’utilité d’un pareil changement. Il ne nous parait pas nécessaire, en tout cas, pour éclaircir la contradiction signalée plus haut : celle-ci, à notre avis, relève des remarques de M. Richard, lesquelles ont une portée tout à fait générale et ne doivent pas être perdues de vue dans ces sortes de discussions. Pour former un ensemble avec certains éléments, encore faut-il que ceux-ci existent au préalable. Il ne nous parait pas douteux qu’une solution tout analogue ne s’applique à l’antinomie de M. Burali Forti sur l’ensemble W de tous les nombres ordinaux. Celui-ci, comme l’ensemble E de tout à l’heure, devrait, en conséquence, être considéré comme non existant.

Au reste, il est évident a priori qu’un changement dans les définitions n’est pas nécessaire pour réfuter une antinomie, et même qu’il n’y suffit pas à proprement parler. Dans le cas présent, par exemple, la contradiction n’est pas évitée par ce seul fait qu’on a proposé d’étudier des « ensembles hillertiens » (c’est-à-dire des ensembles définis à la façon de M. Hilbert) : il faudrait encore interdire d’étudier des ensembles définis par la voie classique. Du moment que cette dernière est légitime (ce qui est assurément le cas, puisque c’est une définition nominale), il est clair que, correctement employée, elle ne doit conduire à aucune contradiction.

La solution qui consiste à considérer les nombres ordinaux comme existants, mais l’ensemble complet de ces nombres comme non existant, avis été indiquée par M. Hilbert en 1900 au Congrès de Paris, mais sous une forme différente, qui se rattache d’ailleurs au sujet de sa Communication de 1904.

Dans cette dernière, en effet, bien que la question des ensembles tienne, comme nous venons de le voir, une certaine place, l’objet principal est plus général. Il se rattache à un ordre d’idées sur lequel l’auteur a insisté à maintes reprises dans ces dernières années. Pour fonder une théorie mathématiques ou logique, M. Hilbert admet qu’il est nécessaire et suffisant de trouver une liste d’axiomes desquels on puisse prouver : 1. Qu’ils sont exemptes de contradiction; 2. qu’ils sont indépendants entre eux et suffisent pour raisonner sur la théorie e question. Autrement dit, parmi les divers modes de définition utilisée en Mathématiques, il préconise, à l’exclusion de toutes les autres, les définitions « par postulats ».

On peut contester la légitimité de ce point de vue, et particulièrement l’opportunité de recourir aux définitions par postulats dans les cas où les définitions « nominales » sont possibles, c’est-à-dire où les notions à définir peuvent être construites de toutes pièces à l’aide de notions plus simples. Notons cependant que, même alors, les définitions par postulats ou par axiomes ont une fécondité à laquelle les définitions nominales ne peuvent prétendre, grace aux généralisations qu’elles permettent.

Pour ce cas de notions « dérivées », l’absence de contradiction entre les axiomes est aisée à vérifier. Il suffit, précisément, d’alléguer la constitution, à l’aide de notions antérieurement acquises, d’un concept satisfaisant à ces axiomes. C’est ce qui arrive pour la Géométrie, que l’on peut construire à l’aide des nombres. Seulement, comme nous venons de le voir, ce cas simple des notions dérivées est aussi, en général, le moins intéressant.

Pour les notions premières elles-mêmes, la difficulté est tout autre et paraissait jusqu’ici insoluble. C’est à elle que s’attaque, cette fois, M. Hilbert.

Cette difficulté, comme dans toutes les démonstrations négatives, réside dans la multiplicité des raisonnements, des combinaisons logiques que l’on peut former avec les axiomes fondamentaux. C’est prévoir, en quelque sorte, la série complète des résultats ne présenteront pas de contradiction.

Mais, avant tout, il faut commencer par poser la question. Qu’entendrions-nous par toutes les combinaisons logiques possibles ? C’est, on le sait, un sujet profondément étudié, dans ces dernières années, par toute une école de logiciens, tels que MM. Peano, Russell, etc. Une coordination serait souhaitable, entre les travaux de cette Ecole et les recherches actuelles de M. Hilbert, et l’on peut regretter que, dans la rédaction sommaire qu’il a présentée à Heidelberg, l’auteur n’ait pas eu le temps d’indiquer la concordance entre les deux points de vue. Il est clair, par exemple, qu’il y airait lieu de savoir si toutes les règles de logique, telles qu’elles ont été posées par les auteurs que nous venons de nommer, sont introduites dans les combinaisons logiques dont il s’agit. Au premier abord (loc. eit., p.94), on est tenté de croire que le seul principe du syllogisme est pris en considération ; mais la fin du travail (p.102) semble indiquer que les choses ne doivent pas être entendues ainsi.

D’autre part, les principes de logique énoncés jusqu’ici sont-ils les seuls qui existent et qui pourront être utilisés par l’esprit humain ? Tout ce que nous pouvons dire, c’est que tous les raisonnements - particulièrement tous les raisonnements mathématiques -  actuellement construits paraissent reposer sur ces principes seuls. Mais, aussi bien qu’il a pu exister, dans l’histoire de la pensée humaine, une époque où personne n’avait songé à se servir, par exemple, de l’induction complète, il n’est pas absolument évident que l’avenir ne fera pas découvrir quelque autre propriété des notions premières, non réductible à celles que nous connaissons.

Si l’on considère les principes généraux de la Logique déductive comme préexistant aux Mathématiques, M. Hilbert ne peut, on le voit, affirmer l’absence de contradiction de ses axiomes que moyennant un postulat, à savoir l’inexistence de principes logiques encore inconnus. S’il est vrai que cette inexistence, est assez probable, on ne peut la regarder, cependant, comme une vérité démontrée.

Mais, en face de l’objection précédente, une autre attitude est possible, et c’est celle-là qu’adopte visiblement l’auteur. Elle consiste à considérer la Logique et la Mathématique comme formant un seul tout, une seule théorie, fondée sur une série d’axiomes dont il reste à établir la non-contradiction.

A ce point de vue, les raisonnements de M. Hilbert doivent être considérés comme établissant d’une manière complète l’absence de contradiction entre les axiomes de l’Arithmétique. Il en est ainsi, du moins, si, comme il y a lieu de le supposer, il a pu tenir compte de toutes les règles logiques connues, règles que nous sommes convenus, nous venons de le dire, de regarder comme les seules existantes.

Maintenant, que faut-il penser d’un tel point de départ ?

Qu’il n’y ait pas de séparation bien tranchée entre la Logique et les Mathématiques, c’est ce qu’on pourra admettre sans difficulté. Mais l’identification qui se trouve établie entre les mots « vrai » et « non contradictoire », ces deux locutions étant en somme considérées comme synonymes, soulèvera peut-être plus d’objections.

En même temps que la communication de M. Hilbert, le compte rendu général des travaux du Congrès de Heidelberg nous apporte le texte définitif de celle de M. König. Celle-ci, concluant (comme nous l’avons dit précédemment) à l’impossibilité de mettre le continu sous forme d’un ensemble bien ordonné, invoquait un théorème de M. Bernstein sur les nombres ordinaux. Dans son texte actuel, l’auteur ne donne plus son résultat que sous forme dubitative, parce qu’il ne considère pas comme démontré, sans contestation possible, le théorème de M. Bernstein.

Il reste donc à considérer comme fondée la conclusion opposée de M. Zermelo, si, du moins, comme nous le ferions pour notre part, on estime que la démonstration de ce dernier n’est pas entamée par les objections dont nous avons parlé dans la Revue du 30 mars.

参考文献：

【1】https://philpapers.org/archive/RICLPD-16.pdf

【2】https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=2322490&do=blog&id=1346017