关于“哥德尔的不完全性定理”的讨论 - 2022/4/19 - 20 （https://www.pauljorion.com/blog/2022/04/12/unilog-2022-godels-incompleteness-theorem-revisited-par-yu-li/）

un lecteur：

阅读Druuh，我有一种感觉，那就是接近于肯定数学语言存在于永恒中，没有历史，无动于衷地等待着被发现。

爱、诗、感觉、美、物理、技术，我们有限的人工制品，我们中的穷人濒临灭绝，却没有触摸到这个圣杯。

Paul Jorion：

的确如此。对数学文本的任何讨论都是亵渎神明？或者它们是人类的作品，其起源、贡献者的个性、他们的动机、他们的兴趣都是相关的，值得研究的？

这是一场古老的辩论，前者的支持者坚持认为后者的支持者最好是无知，至少也是异端。后者感到厌烦，最终不理前者了。我并不倾向于将哥德尔视为摩西的第二次显现，也不倾向于将勒内-托姆（René Thom）视为父神的转世，我将他们的作品视为人类的作品阅读，其作者是有缺陷的，我指出他们的弱点，谴责他们的错误。

Druuh：

就你（PJ）所说的，我确认存在着巨大的误解，因为我从未这样想过，尽管你确信情况如此。

BasicRabbit：

1（提请柳渝特别注意）：柏拉图式的哲学家巴迪欧（Badiou），—如他自己定义的那样—在他的《赞美数学》（Flammarion 2017）的第96页及以后，重新证明了康托尔的定理，即整体大于部分之和，在这方面谈到了一个 "魔术"：我发现这个证明与哥德尔对其不完全性定理的 "魔术 "证明有几个共同点。

柳渝：

Druuh，感谢你坦率而尖锐的批评！

你说：--"我想说清楚，这样就不会有误解了，也就可以开始了：你所批评的是不完全性定理本身，或者说是哥德尔的证明？"

我的批评首先是针对哥德尔的证明，可以从非正式方面（证明的思想）和形式方面（证明的思想的形式化）来考察。当然，这两个方面是有内在联系的，但为了方便我们的讨论，让我们暂时集中讨论他的证明思想。

我的分析是，PM的不完全性证明与一般经典的定理证明（如毕达哥拉斯定理）有着根本的不同：PM不完全性的证明是一个 "存在性 "的证明，它需要构造出一个存在于PM中的 "不可判定的命题"，而勾股定理的证明是一个 "普遍性 « 的证明，给定平面内的一个直角三角形，它证明了其两条矩形边的长度的平方之和等于斜边的长度的平方

换句话说，要证明PM的不完全性，就必须提供一个存在于PM中的不可判定命题的实例，但哥德尔所提供的是一个类似于说谎者悖论的Q命题："说自己是不可判定的"。

这就是为什么我问：类似于说谎者悖论的悖论命题Q是PM中的不可判定命题吗？ 

我的困惑实际上也由罗素在写给莱昂-亨金的信中表达了： »我当然意识到哥德尔的工作具有根本的重要性，但我对它感到困惑。[如果一组给定的公理导致了矛盾，那么很明显，至少有一个公理必须是假的。

因此，根据哥德尔的证明，PA（Peano Arithmetics）中至少有一个悖论，换句话说，至少有一个公理是错误的。那么，这么多年过去了，人们发现了哪条公理是错误的？