从小学到高中到大学，我们学的几何都是建立在欧几里得的5个公设（http://userpages.umbc.edu/~rcampbel/Math306/Axioms/Euclid）之上：

公设一： 由任意一点到任意一点可作直线。

公设二： 一条有限直线可以继续延长。

公设三： 以任意点为心及任意的距离可以画圆。

公设四： 凡直角都相等。

公设五： 同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。（等价命题：过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行。）

这里公理和公设不是一个概念，《几何原理》中给出了23个定义（definitions）5个公设（Postulates）和5个公理（common Notions）。这就是我们所说的欧式几何。而非常有意思的是，人们认为公设五可以被证明或可以被替代，从而发展了非欧几何（如罗氏几何，黎曼几何），非欧几何越来越受到人们的重视。

罗氏几何第五条公设是，过直线外一点可以做两条直线和已知直线平行，这完全颠覆了人们在欧式几何中的公设。这就构成了一个新的几何空间，着实有趣。