用Tsallis广义熵最大推导统计平均值不变约束条件下的

q-指数函数

美国归侨冯向军博士，2017年月23日写于美丽家乡

对于非自然约束条件：

p1x1 + p2x2 +...+ pnxn = 常量C3 (这其中x1，x2，...，xn是与广义系统概率分布p1，p2，...，pn相对应的n个离散变量值），命由目标函数Tsallis广义熵，自然约束条件和上述非自然约束条件所决定的拉格朗日算子为L。有：

1/（q-1）* （1- p1^q - p2^q -...-pn^q) + C1(p1 + p2 +...+ pn - 1)

+  C2( p1x1 + p2x2 +...+ pnxn - C3)

对于拉格朗日算子L求一阶偏导数dL/dpi(i=1，2，...,n)并令之为零。有：

dL/dpi = -q/(q-1)pi^q-1 + C1 + C2xi = 0，i = 1，2，...，n。

pi = (（q-1）/q (C1 + C2xi))^1/(q-1)，i = 1，2，...，n。

命q1 = 2 - q      

pi = ((1-q1)/(2-q1)*(C1 + C2xi))^1/(1-q1)

因为 q1 -> 1时，pi ->aexp(-λx)

所以

a = ((1-q1)/(2-q1)C1)^1/(1-q1)

C2/C1 =-λ(1-q1)

pi = a(1 -λxi/（1/(1-q1))^1/（1-q1)

或

pi = a(1 -(1-q1)λxi)^1/(1-q1)，i = 1，2，...，n。（1-1）

但是当q > 0 , q1 = 2-q < 2 时，拉格朗日算子L的二阶偏导数矩阵为一主对角线上元素恒负而其余元素全为零的负定对称矩阵，因此令拉格朗日算子L一阶偏导数为零的上述分布pi 也必定是令拉格朗日算子L或约束条件下的目标函数Tsallis广义熵取得最大值或极大值的概率分布，这种分布pi符合最大Tsallis广义熵原理。

要（1-1）式成为负幂律，q1的取值范围是:

1 < q1 < 2

用完全类似的方法容易证明：在变量的几何平均值或变量的对数平均值不变的条件下，Tsallis广义熵最大给出关于变量的对数的非标准幂律分布：

pi = a(1 -(1-q1)λlog（xi）)^1/(1-q1)，i = 1，2，...，n。（1-2）