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球面上的布朗运动 精选

已有 6168 次阅读 2017-5-1 01:20 |个人分类:那些贝壳们|系统分类:科研笔记| 布朗运动, 扩散, 曲面, 切面, 球面上的布朗运动


1. 布朗运动

  布朗运动是悬浮在气体或者液体中的颗粒受到其他高速运动的粒子的碰撞,产生的随机运动。由于受到的撞击的力的大小和方向不同,因而导致量随机的运动效果。

  关于布朗运动,得追溯回1827年,植物学家R.Brown观察到在水中的花粉粒子的随机运动,但却一直困惑于产生这种运动的原因,另外,很多人也依然还不相信原子的存在,直到1905年,爱因斯坦发表量一篇文章,阐述了水中的花粉颗粒的运动是由于受到水分子撞击的结果,得到了著名的爱因斯坦关系,并于1908年被JeanPerrin在实验中得到证实。后来,法国科学家郎之万提出了描述随机运动的郎之万方程,近几十年,为了描述不同的随机行为,提出了有分数阶郎之万方程以及郎之万方程的一般形式等。    

               

Fig.1 二维随机行走            

                                                             

  布朗运动已经被研究了一百多年了,在许多的物理,化学,生物学,经济,社会等学科中,许多行为都可以运用布朗运动来描述,例如微小的细菌的随机运动,动荡的股市,空气中的粉尘等等。虽然经过了一百多年的研究,但是,以布朗运动为代表的随机运动却依然在吸引着科学家的目光。如近几年的关于activeBrownianmotion与生物学中一些微观生物的运动相结合的研究等。而此时,我们尝试着去了解的是另一话题,虽然大多数情况我们会研究二维平面或者三维空间中的随机运动,但是,如果现在粒子运动在弯曲的表面上呢?会是什么样子的?



2. 到球面上去


Fig.2 ‘小蚂蚁去球面上旅行’

2.1 为什么要到球面上来

  当一只海象在海洋中遨游,广阔的大海中,海象显得是那么的渺小。它时而向东,时而向西,它是仅仅随着洋流在运动吗?当然不是,甚至有时候看起来是那么的随机,以至于更像是在做随机的运动。一个细胞膜上的蛋白质,常常在膜上进行着随机的运动,还有大肠杆菌在旋转的液体中的运动等等。大自然中不止有平滑的曲面,还有各种弯曲的表面,因而,因而我们需要关注曲面上或者具体的说,是二维球面上的布朗运动,至于其他的曲面,则可以用相似的方法来分析。


2.2 计算模拟--tangentplane (切面)

   针对在球面上的布朗粒子,如果只是用理论分析,是不够的,计算机模拟为我们更好的了解它带来了便利。然而,我们该怎么模拟它呢?


Fig.3 曲面的切平面

   首先,我们需要了解一下tangentplane或者tangentspace,即切平面。曲面上的任何一点我们都可以得到它的切平面,如Fig.3示,此时,曲面上的点以及向量分别可以在切平面上有相应的一一对应。

为了更好的理解切平面,我们将举一个例子来说明。例如,我们现在有一个曲面,其表达式为

z=x^2+y^2+xy

   现在需要知道在点(1,0,1)处的切平面的情况。曲面的表达式其可以写成:

f=x^2+y^2+xy-z=0

   计算每一点的法向向量为


其中,


因而法向单位向量的表达式为


故而得到了(1,0,1)处的法向单位向量


该点的切平面为该点的r.n


那么,当我们知道量如何得到切平面,之后呢?


2.3 模拟球面上的布朗运动

啊哈,当我们知道了切平面,那么我们就有了一个模拟球面上的布朗运动的办法。如Fig.4所示。


Fig.4 球面上的布朗运动的模拟

1.首先我们选择北极点做为起始点。计算其切平面,然后,在切平面上,利用高斯随机数在切平面上让粒子的投影产生一个随机步,之后再把相应的点的位置信息投影回球面上。

2.接下来,以新产生的点为起点,计算其切平面,在该平面上用同样的办法,产生新的随机步。

3.然后,经过成千上万步之后,就将得到球面上的布朗粒子的轨迹了。


3. 得到球面布朗运动之后


  过完这阵子,我也想有一个自己的球面上的布朗运动,你呢?也想试试吗?基本的方法已经在这里了。没准可以做个小研究,就当是练习吧。例如有如下几个问题:


   1.对于球面上的布朗粒子,爱因斯坦关系是否依然不变?

   2.球面上的布朗粒子的扩散行为是怎样的?

   3.如果加入外力影响布朗粒子,会怎么样呢?

  4.有没有可能和你的平时的研究有啥半毛钱关系呢?


  或者有空安静下来,想玩点编程的游戏的时候,就权当一种娱乐吧。也没必要想那么多,先上手试试。  

  看,我的布朗粒子正在球面上飞奔了!



注:1. Fig.2-3 来源于网络。

   2. Fig.4来源于Henry (Hank) Besser and Branden Carrier的poster,'Brownian Motion on Manifolds' 。






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