之前博文介绍过一种通过切平面模拟球面上的布朗运动的办法（球面上的布朗运动 http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=739225&do=blog&id=1052159  ） ， 除了这种方法之外，还有其他可以在球面上产生随机运动的方法吗？当然，其中有一种方法饶有趣味 [1]，我们都直到一维的圆可以通过一点与某固定点（圆心）组成的直线旋转360度得到，而二维球面可以利用某个圆旋转180度得到，那么球面也将是三维球体的赤道（三维的球到底会长成啥样？？），赤道周围环绕着薄带（宽度为E），因而可以通过在三维球面上产生布朗粒子（已经有比较有效的办法），让产生的布朗粒子与薄带上的点对应起来，当取极限E-->0,则得到了二维球面上的布朗运动情况了。当然，这里需要介绍的并不是这个先跑到三维球面再跑回二维球面的办法。

Fig.1球坐标系示意图

  我们都知道，二维的球面可以用球坐标系建立其角度与球面上的点的关系，即：

x=rsinθcosφ

y=rsinθsinφ

z=rcosθ

  对于单位球，半径为1,此时，只需要选择角度theta和fai随机变化，利用随机数，让theta和fai和平面上的x，y一样。当考虑二维平面的随机行走时，粒子有四种选择，分别是向上（0,1），向下（-0,-1），向左（-1,0），向右（1,0。此时的theta和fai同样可以有类似的组合，即考虑粒子的下一步是向东走一步，或者向西，或者向北，或向南。

     每次的结果位置做为新的起点位置重复此上面的操作。最终可以得到球面上的布朗运动的轨迹如Fig.2所示：

Fig.2球面上的布朗运动。图中，1为t=4000此的结果，2为t=40000此的结果，3为t=200000此的结果，t为布朗粒子运动的步数（或称之为时间）

  对于二维平面上的布朗运动，我们都知道在无其他干扰的情况下，是属于正常扩散的，即布朗粒子的均方位移（meansquare displacement）随着时间t的关系为

<r^2>~ t¹  

其中<>是求平均。

  通过计算，可以得到此时的球面上布朗粒子的运动的均方位移与时间的关系见Fig.3,

Fig.3球面上的布朗粒子的均方位移与时间的关系

 啊哈，看来球面上的布朗粒子依然是正常扩散！

 那么问题来了，如果球面上的布朗运动可以通过这种方法产生，那切平面的办法还有必要吗？当然，切平面的方法可以对任意的曲面都适用呢！一般情况，曲面上的点总是可以得到切平面的，如果要考虑凹凸不平的曲面上的布朗粒子的运动，我们只能用类似于切平面方法的方法了。

注1：本文只是对上篇博文（球面上的布朗运动 http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=739225&do=blog&id=1052159）)  的一个补充。

注2：Fig. 1 来自网络

Reference:

[1]T. Carlsson, T. Ekholm, and C. Elvingson, “Algorithm for generating a Brownian motion on a sphere,” J. Phys. A: Math. Theor. 43 , 505001-1–10 (2010).