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[转载]量子力学中的物质波与概率波

已有 1446 次阅读 2019-7-8 07:36 |系统分类:科研笔记|文章来源:转载

(作者:葛惟昆、张天蓉)


量子力学的基本出发点, 就是物质的波粒二象性,由德布罗意公式所表述:


式中h 是量子力学的基石:普朗克常数,p 是物体的动量,l 是相应的物质的波长。德布罗意公式虽然基于猜想,但却是普适的。一个巨大的物体,也会有相应的波长,不过这和个波长接近于零,没有实际意义。

 

爱因斯坦给与德布罗意的大胆假设极高的评价:“我相信这是我们揭开物理学最难谜题的第一道曙光。”那么这个波到底是什么样的波,它的运动学方程是什么样的呢?薛定谔解决了这个问题,虽然他曾经认为德布罗意的论文“纯属垃圾”。薛定谔在1926年给出了量子力学的基本方程式:薛定谔方程,并成为量子力学的基石。它是一个非相对论的处理微观粒子的波动方程,有两个形式,即非定态(含时间的)

这里 m是粒子质量,第一项是动能算符,第二项是势能。所以薛定谔方程实质上是关于能量的恒等式,或者就是能量守恒的量子力学表达式。由薛定谔方程这样一个二阶微分方程解出的,就是能量的本征函数。它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律,其在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样,是量子力学的基本假设之一。描述微观粒子状态的波函数为Ψx,y,z,t),质量为m的微观粒子在势场Ux,y,z,t)中运动。在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下,由薛定谔方程可解出波函数Ψx,y,z,t)。

这样解出的波函数有什么物理意义呢?玻恩对波函数给出了概率解释。就是说,由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值(期望值)。当势函数U不依赖于时间t时,粒子具有确定的能量,粒子的状态称为定态。定态时的波函数可写成Ψx,y,z,称为定态波函数,满足定态薛定谔方程.这一方程在数学上称为本征方程,式中E为本征值,它是定态能量,Ψx,y,z又称为属于能量本征值E的本征函数。

现在的问题是,这样解出的波函数,当然对应着一种波动,那么它和德布罗意公式给出的波(以波长标示)是一回事吗?德布罗意和薛定谔的两个公式,其物理内涵是一致的吗?一般把德布罗意波称为物质波,因为它解释了粒子作为物质同时也以波的形式存在;而薛定谔方程给出的波,一般称为概率波,基于上面所说的玻恩的概率解释。

 

实际上,当德拜在1925年向薛定谔介绍德布罗意波的概念时,就已经意识到:如果要当成波处理的话,总该有个波动方程。薛定谔方程就此应运而生。所以从逻辑上说,德布罗意的物质波,和薛定谔波动方程处理的波(后来常被成为概率波)是一脉相承的, 应当是一回事。

 

现在我们来看,有这个波函数所描述的系统(具体来说一个粒子),是否具有德布罗意方程所定义的波长?

 

对于光子,非常直截了当:


把光子的动量定义为p = mc(注意,光子没有静止质量,但是有动量),则很容易得到光子的德布罗意公式

对于光子以外的一般粒子。我们来看看伟大的天才狄拉克是如何处理这个问题的。在狄拉克著名的《量子力学原理》一书中,他正是在运动方程关于自由粒子一节(§30)中,引入了德布罗意波的概念,虽然从历史的角度来看,后者的提出并不基于量子力学运动方程。狄拉克认为,“量子力学最深刻也是最基本的应用,就是处理一个仅含一个自由粒子的体系”。这里需要的动力学变量是笛卡尔坐标,x,y,z 和它们的共轭动量 px,py,pz。非相对论(粒子速度远小于光速)的哈密顿的表达式是

考虑一个动量的本征态。动量的本征值为px, py, pz。对于自由粒子来说,其动量算符和哈密顿是対易的。所以动量的本征态也必然是能量的本征态,即定态,其哈密顿的本征值则为

 

 

因此,在狄拉克的相对论性波动方程的框架内,德布罗意波和德布罗意波长都是自然的结果,也就是说,由德布罗意公式表述的物质波,和波动方程给出的概率波,在本质上是一回事。

 

对自由粒子做简单的非相对论处理,也很简单。如果依旧把薛定谔方程中的哈密

 

对于 一般情况下的粒子,处于一个非零的势场中,且受到外力的作用,它所对应的就不在是自由粒子的本征函数,但仍然可以用一个波函数Ψx,y,z,t来描述。这时我们可以求解动量的值。

假定波函数代表的是平面波,这也是一个简单的问题,因为平面波波函数的形式和自由粒子是一样的。

 

根据量子力学原理,任何波函数都可以展开成本征函数的叠加,所以我们只要考虑本征函数就可以了。

 

具体来看一些简单的系统。 一维无限深势阱是最简单的。 这里根据循环边界条件

 

即德布罗意公式。

 

还可以有更多的具体实例来验证这一点。而对于非平面波的薛定谔方程解,表示的是一个波包,没有确切定义的波长,无从与德布罗意公式比较。


(本文转自微信公众号“天舸”,7/7/2019文章,作者:葛惟昆、张天蓉)

 

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