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数界拾贝

已有 2079 次阅读 2013-9-6 16:26 |系统分类:科普集锦|关键词:数,点,无穷,微积分| 微积分, 无穷

很难想象古人是如何认识数的:一个苹果、一块石头、一条河……不管什么,我们发现他们有共同的东西,于是抽象出1,1=1,等号表示数量上相等;同时也产生了一些基本运算:加减乘除。后来,人们发现线段的长度也是可以度量的,也可以用份数表示,于是出现了有理数和数轴,再后来又发现了无理数,产生实数的概念,人们自然的就接受数轴上的每个点对应一个实数(即线段的长度),小学课本也是这么教的,这便是数(量)-形模型。

然而抽象出的点无大小,线无宽度,面无厚度;点又如何组成线,有限的点无论多少也不成线,于是只能借助无穷,无穷就是没有尽头,数不过来,既然数不过来,只好不了了之。后来有人说,无穷大是有阶的,不如实数比整数“多”,平面上的曲线数比直线上点“多”,不过信服力不够,也有逻辑缺陷,大家不大认同;而且,借助无穷似乎也不影响认识和计算。直到微积分的出现。

近代科学的理论化离不开数学,离不开微积分。然而微积分中最基本的等式dy/dx=f(x)却是0/0.人们应该是很失望的,无中生有啊!你若说0/0是有意义的,它就表示导数,人们总不大愿意接受,而且引发大量不解。后来极限论出世,把0/0给遮住了。然而极限就涉及无穷,说到无穷,既然没有尽头,也没有办法,你说怎样就怎样吧,似乎不错!

可是认识无极限,人们对真理的追求是不可阻挡的。微分dx到底是什么(总不是有限量△x吧,既是有限量还微什么分啊!),无穷大(小)又是什么,为什么积分可看作精确值,为什么列微分方程是省略高阶无穷小还能解出精确解?微积分(dx)好似不是我们熟知的任何数学(量)形式,那么,让我们回归到古人对数的认识,向古人学习如何认识一个新的数量吧!

当我们说1个苹果=1个苹果的时候,并不计较苹果的大小,我们只关心数量关系。那么,能不能说1.1个苹果呢?1.1个苹果是否等于1.1个苹果呢?似乎不合常理了。因为0.1已经不仅仅是数量上的,还包括它的本质,我们可以说1片苹果=1片苹果。而线段可以说1.1m=1.1m,线段由点构成,那么,1.1m+1/2个点的长度等不等于1.1m+1/个2点呢?(这里涉及一个观念,世界是无限可分的,能分的点才能构成线段。)也不能划等号,因为我们已经把线段的基本单元都分开了!(物理上的原子早就分了,连原子核都分了,而点现在才分!)点之下是什么?我们还不知道。我们说在数轴上,一个点的长度是0,它代表一个确切的数,就好比0.1个苹果相对于1个苹果是0(手里一个苹果片,问有几个苹果?),但它不是什么也没有的〇,它有它自身的性质。在苹果片的层次上,它就是1片(当然这个数量取决于你切成的片数,切成两片就是2,但总之它是有限量,若切到淀粉它就不叫苹果了!)由此,我们引出表达界的概念,所谓同表达界,就是两个量有共同的质,并且量的差距不超过质变所需要的量。(量变的积累必然引起质变,我们将这个临界量成为超级巨大量,记为∽,它是一个静态量,是一个阈值。)0.1个苹果和1个苹果是不在同一个表达界的;1.1m的线段和1.1m+1/2个点的长度也不在同一个表达界。回过头来,我们发现,∽与dx正好相反,dx正是超级巨小量,它也是一个阈值,与∽一一对应。

由此,我们的数域继续扩充并有了质的飞跃,数轴上每一个点都不在仅仅代表一个孤立的数,它有它的扩张性,其量的大小表现在下一个表达界;点也不再孤立,它有大小有度量,量的大小在下一个表达界。由此,连续的概念便自然而然,若任何相邻的点都在对方中有扩张(亦即两点“距离”为dx),我们就说它连续。研究dx和∽,我们发现,它们都是旧质到新质的过渡,都是中介量,dx是“物之生”,∽是“物之极”,dx是无中的有,∽是有中的无,它们在本质上是一致的,不过代表事物的两极(两仪)。

有了上述的系统实数模型,我们的微积分才能真正完善起来!

 



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1 马德义

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