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趣味运筹学:交换压岁红包 | 马上过年了,或许你用得上

已有 289 次阅读 2018-2-13 12:17 |系统分类:生活其它


有一年过年,一位老先生给他的两个读中学的孙子每人发了一个红包作为压岁钱,并告诉他们,这两个红包中的金额一个是另一个的2倍,如果你们想撞撞运气的话,可以考虑互相交换。


现在的问题是,这两位中学生在知道自己红包中的金额之前和之后应该如何决策?假定老大拿到的红包是200元,下面我们来进行分析。


先假定两个中学生在拿到爷爷给的红包之后均未打开红包,这时正确的决策应该是交换。我们可以这样分析,假定其中某个人红包里的金额为x元,这时另一个人红包中的金额为2x或为(1/2)x的可能性即概率各为0.5,如果对方是2x,则自己增加一个x;如果对方是(1/2)x,则自己减少(1/2)x,于是可得到期望收益(1/4)x。即


0.5x−0.5(1/2)x=(1/4)x


期望收益为正数是增加的,值得交换。


当然,这只是我们的分析。现在的问题是,如果你交换了红包压岁钱就一定能增加(1/4)x吗?


如果你的回答是肯定的,那就大错特错了。因为交换的结果只能是两个,要么增加,要么减少。如此说来有读者就一定会问,这样说我们的分析又有什么意义呢?有意义!因为这里我们面对的是一个风险决策问题。处理风险决策问题的基本方法是期望值方法。期望值是以概率为权数的一个加权平均数。我们知道,概率是在大量实验的基础上得出的,它只是一件事发生的可能性,不等于必然性,必然事件发生的概率为1。就像我们说投掷一枚硬币得到正反面的概率各为0.5是一样的,它是在大量实验的基础上得出的。上述的结论意思是说,如果这种交换要进行很多次的话,最终你的收益是会增加的。


现在,话又说回来了。红包是否需要交换只是一个一次性游戏,我们不可能进行很多次。那么究竟换还是不换,这就要看你对待风险的好恶了。如果你是风险喜好型的,就换;如果你是风险厌恶型的,就不换。当然,你也可以参考上述期望值分析所提供的信息,即如果这种交换多次进行的话,预期的收益是增加的,因而选择交换也不失为明智之举。


接下来我们假定两个中学生都分别打开了自己的红包,且均已知道自己红包里的金额,那么这时是否一定要交换呢?这就另当别论了。假如老大已经知道自己红包里的金额是200元,那么老二红包里的金额要么是100元,要么是400元。老二的红包里究竟是多少呢?如果是400元,爷爷的总开支就是600元;如果是100元,则爷爷的总开支是300元。那么爷爷的总开支究竟是多少呢?这并不难确定。①可以根据爷爷往年给他们压岁钱的多少进行判断;②可以根据爷爷平时对他们的严格或宠爱程度进行判断;③可以根据爷爷当年的收入情况进行判断。假如综合判断结果,爷爷的总开支600元的可能性(或概率)是0.7,总开支是300元的可能性(或概率)是0.3,这就是后验概率。这时每个人收益增加和收益减少的概率都将不再是0.5∶0.5,而是根据后验概率进行修正后的概率,比如0.35∶0.15。


这里的决策需要用到一个条件概率公式——贝叶斯公式。



在生活实践中我们知道,不确定性经常是由信息的不完备造成的。决策的过程实际上是一个不断收集信息的过程,当信息足够完备时,决策人便不难做出最后决策。因此,当收集到一些有关决策的进一步信息Y后,对原有的各种状态Xi发生的概率的估计可能会有所变化,变化后的概率记作P(Xj|Y),这是一个条件概率,表示在得到追加信息Y后,对原有的先验概率P(Xj)的修正,故称作后验概率。由先验概率得到后验概率的过程,也称作对概率的修正,这种修正经常需要用到贝叶斯公式,所以,这种方法通常也叫作修正概率方法或贝叶斯方法。这里涉及的问题更加复杂一些,从趣味运筹学编写的目的出发,这个问题我们留给感兴趣的读者去进一步探讨,这里不再赘述。


这个问题就讲到这里了,如果觉得有意思,不妨一试哈~~


马上过年啦,恭祝大家春节快乐、假期美满!多多多收红包包包!



趣味运筹学:从田忌赛马到囚徒困境

ISBN 978-7-03-053728-7

熊义杰  编著

责任编辑:石卉

(本期编辑:王芳)


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